張麗
圓中的最值問題是初中數(shù)學(xué)的難點問題,這類問題具有知識面廣、綜合性強(qiáng)的特點,是考試中的熱門題型。因此,本文選取了圓中兩類常見的線段最值問題,透過問題,尋找本質(zhì),歸納方法,以幫助大家構(gòu)建“會一題通一類”的方法策略。
基于“三角形中兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊”的最值問題
例1 如圖1,設(shè)⊙O的半徑為r,圓外一點P到圓心O的距離為d,則點P到⊙O圓周上的點的最小距離為__________ ,最大距離為 __________ 。
【解析】點P的位置、⊙O的大小和位置是確定的,但圓周上的點有無數(shù)個。
如圖2,在⊙O上任取一點C(異于點A、B)。在△PCO中,PO+CO>PC>PO-CO(三角形的兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊),PO+BO>PC>PO-AO,即PB>PC>PA。
當(dāng)點C與點A重合,即點C在線段PO上時,PC取最小值=PA=d-r;當(dāng)點C與點B重合時,即點C在線段PO的延長線上時,PC取最大值=PB=d+r。
例2 如圖3,已知正方形ABCD的邊長為2,點E是邊BC上的動點,BF⊥AE交CD于點F,垂足為G,連接CG。求CG的最值。
【解析】由“定邊AB=2,且定邊所對的定角∠BGA=90°”可知,點G在以AB的中點O為圓心,AO長為半徑的隱圓上,點G隨著點E的運動而運動,點G最左運動到點B,最右運動到AC與BD的交點N,即點G的運動軌跡為[BN]。如圖4,CG的最小值=CO-BO=[5]-1;由于點G取不到線段CO的延長線與⊙O的交點處,所以CG的最大值不等于CO+BO,此時由CN=[12]AC=[2],CB=2,得CG的最大值=BC=2。
【歸納】圓外定點與圓上的點的距離的最值:連接圓外定點與圓心,與圓交于一點,圓外定點到這個交點的距離為最小值;延長圓外定點與圓心的線段,和圓交于另一點,圓外定點到這個交點的距離為最大值。利用這一結(jié)論可以快速地解決圓外一點到圓上點的距離最值問題,做到化動為靜,轉(zhuǎn)為定量計算。
基于“垂線段最短”的最值問題
例3 如圖5,在直角坐標(biāo)系中,⊙A的圓心A的坐標(biāo)為(-1,0),半徑為1,點P為直線y=-[34]x+3上的動點,過點P作⊙A的切線,切點為Q,則切線長PQ的最小值為。
【解析】由于PQ是⊙A的切線,由切線的性質(zhì)知PQ⊥AQ,因此構(gòu)造Rt△APQ,由勾股定理可得PQ=[PA2-AQ2]=[PA2-1],所以PQ的最小值就轉(zhuǎn)化為PA的最小值。點A是定點,點P在定直線上運動,由“垂線段最短”知,當(dāng)AP垂直于直線y=-[34]x+3時,AP最小,得PQ的最小值為[22]。
例4 如圖6,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB=[22],D是線段BC上的一個動點,以AD為直徑畫⊙O分別交AB、AC于點E、F,連接EF,則線段EF的最小值為 。
【解析】如圖7,根據(jù)弦EF所對的圓周角∠BAC為定角,同弦所對的圓周角相等,直徑所對的圓周角為直角,可將∠BAC轉(zhuǎn)化為Rt△EMF中的∠EMF,得到EF=[32]AD?;蛉鐖D8,在⊙O中,由垂徑定理、圓周角定理,在Rt△EOH中找到EH=[32]EO,即EF=[32]AD。由“垂線段最短”知,當(dāng)AD⊥BC時,AD最小,即求出線段EF的最小值。該最小值為[3]。
【歸納】綜合運用圓的垂徑定理、圓周角定理、切線長定理,把所求線段長度的最小值轉(zhuǎn)化成定點到定直線(線段)的最小值,根據(jù)“垂線段最短”,即可求解。
(作者單位:江蘇省南京市致遠(yuǎn)初級中學(xué))