深思考 巧轉(zhuǎn)化 重積累

陳緩

縱觀2022年全國(guó)各地的中考數(shù)學(xué)試題，考點(diǎn)豐富、形式多樣的圓仍是各地區(qū)考查的重頭戲之一。其中，對(duì)圓的相關(guān)概念和性質(zhì)、與圓有關(guān)的位置關(guān)系、圓的內(nèi)接多邊形等知識(shí)的考查頻頻出現(xiàn)。下面，本文精選2022年的部分中考題進(jìn)行剖析，以幫助同學(xué)們更好地了解圓的中考命題動(dòng)向，掌握基本解題思路和方法。

一、圓的有關(guān)概念和性質(zhì)

例1 （2022·四川瀘州）如圖1，AB是⊙O的直徑，OD垂直于弦AC于點(diǎn)D，DO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E。若AC=[42]，DE=4，則BC的長(zhǎng)度是（ ）。

A.1 B.[2] C.2 D.4

【分析】由垂徑定理可知，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，則OD是△ABC的中位線，從而得到BC=2OD。要求OD的長(zhǎng)度，不妨設(shè)OD=x，則AO=OE=4-x，BC=2x。在Rt△AOD中，由勾股定理可得AD2+OD2=AO2，即（[22]）2+x2=（4-x）2，求出x的值則可以進(jìn)一步求出BC。

解：∵OD⊥AC于點(diǎn)D，OE是半徑，

∴∠ODA=90°，

AD=DC=[12]AC=[12]×[42]=[22]。

在△ABC中，OA=OB，AD=DC，

∴OD是△ABC的中位線。

∴OD∥BC，OD=[12]BC。

設(shè)OD=x，則AO=OE=4-x，BC=2x。

在Rt△AOD中，∠ODA=90°，由勾股定理可得AD2+OD2=AO2。

∴（[22]）2+x2=（4-x）2，解得x=1。

∴BC=2x=2。

故選C。

【點(diǎn)評(píng)】本題巧妙地將圓與三角形的相關(guān)知識(shí)結(jié)合起來(lái)，求圓中弦的長(zhǎng)度，重點(diǎn)考查垂徑定理、三角形中位線的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)。解決本題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)勾股定理列出方程，再結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)求解。

二、與圓有關(guān)的位置關(guān)系

例2 （2022·浙江紹興）如圖2，半徑為6的⊙O與Rt△ABC的邊AB相切于點(diǎn)A，交邊BC于點(diǎn)C、D，∠B=90°，連接OD、AD。

（1）若∠ACB=20°，求[AD]的長(zhǎng)（結(jié)果保留π）；

（2）求證：AD平分∠BDO。

【分析】（1）連接OA，已知∠ACB=20°，根據(jù)圓周角定理，可得∠AOD=40°，再利用弧長(zhǎng)公式求得[AD]的長(zhǎng)。

（2）根據(jù)AB切⊙O于點(diǎn)A，∠B=90°，可得OA∥BC，則∠OAD=∠ADB，另一方面，由OA=OD，得∠OAD=∠ODA，從而得AD平分∠BDO。

解：（1）如圖2，連接OA。

∵∠ACB=20°，[AD]=[AD]，

∴∠AOD=2∠ACB=2×20°=40°。

∴[AD]的長(zhǎng)為[40×π×6180]=[4π3]。

（2）∵AB與⊙O相切于點(diǎn)A，

∴OA⊥AB。

∴∠OAB=90°。

∴∠OAB+∠B=90°+90°=180°。

∴OA∥BC。

∴∠ADB=∠OAD。

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA。

∴∠ODA=∠ADB。

∴AD平分∠BDO。

【點(diǎn)評(píng)】本題是一道有關(guān)直線與圓的位置關(guān)系的問(wèn)題，主要考查弧長(zhǎng)公式、圓周角定理、切線的性質(zhì)等知識(shí)。同學(xué)們要注意：遇到切線時(shí)，一般要作過(guò)切點(diǎn)的半徑，以便利用切線的性質(zhì)定理來(lái)求解。

三、圓的內(nèi)接多邊形

例3 （2022·江蘇常州）如圖3，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，若∠ABC=45°，AC=[2]，則⊙O的半徑是 。

【分析】如何巧妙地利用∠ABC=45°這個(gè)條件呢？連接CO并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)D，連接AD。根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，可得∠ADC=45°，再利用直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠CAD=90°，然后在Rt△ACD中，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出CD的長(zhǎng)，從而求出⊙O的半徑。

解：連接CO并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)D，連接AD。

∵[AC]=[AC]，

∴∠ADC=∠ABC=45°。

∵CD是⊙O的直徑，

∴∠CAD=90°。

∴AD=AC=[2]。

在Rt△ACD中，∠CAD=90°，由勾股定理可得CD2=AC2+AD2。

∴CD=[22+22]=2。

∴⊙O的半徑是1。

【點(diǎn)評(píng)】本題是求三角形外接圓半徑的問(wèn)題，重點(diǎn)考查了三角形的外接圓和外心，圓周角定理及其推論，以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。解決本題的關(guān)鍵是能根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線，從而實(shí)現(xiàn)有效的轉(zhuǎn)化。

例4 （2022·四川自貢）如圖4，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，∠ABD=20°，則∠BCD的度數(shù)是（ ）。

A.90° B.100° C.110° D.120°

【分析】根據(jù)AB是⊙O的直徑，可以得到∠ADB=90°，再根據(jù)∠ABD=20°和直角三角形兩銳角互余，可以得到∠A的度數(shù)，最后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，即可得到∠BCD的度數(shù)。

解：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°。

∴∠A+∠ABD=90°。

∴∠A=90°-∠ABD=90°-20°=70°。

∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，

∴∠BCD+∠A=180°。

∴∠BCD=180°-∠A=180°-70°=110°。

故選C。

【點(diǎn)評(píng)】本題是一道圓內(nèi)接四邊形中求內(nèi)角度數(shù)的問(wèn)題，考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理的推論、直角三角形兩銳角互余等。解決本題的關(guān)鍵是能夠?qū)徢孱}意，明確角之間的數(shù)量關(guān)系。同學(xué)們可以開動(dòng)腦筋，繼續(xù)想一想不同的方法，你一定會(huì)有更多的收獲和體會(huì)。

在近幾年各地的中考中，圓的有關(guān)性質(zhì)，如垂徑定理、圓周角定理、切線的判定與性質(zhì)等，一般以計(jì)算或證明的形式考查，與圓有關(guān)的應(yīng)用題、閱讀理解題仍是中考命題的熱點(diǎn)。同學(xué)們要學(xué)會(huì)不斷地總結(jié)，提煉方法和經(jīng)驗(yàn)，將問(wèn)題化隱為顯、化難為易，進(jìn)而巧妙地解決。

（作者單位：江蘇省南京市致遠(yuǎn)初級(jí)中學(xué)）