孫杜衡
開普勒曾贊美“黃金分割”是幾何學(xué)中的“瑰寶”。黃金分割法最初由畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn),即整段與較大分段之比等于較大分段與較小分段之比,數(shù)學(xué)史上稱為“中外比分割”。底邊與腰的比為黃金數(shù)的等腰三角形被人們譽(yù)為最美黃金三角形。下面,讓我們一起來感受黃金三角形的神奇吧。
黃金三角形分兩類,如圖1,一類是頂角為36°,兩個底角為72°的三角形,其底邊與腰之比等于[5-12];另一類是頂角為108°,兩個底角為36°,其腰與底邊之比等于[5-12],我們分別稱它們?yōu)椤包S金一號”和“黃金二號”。
我們只要能抓住黃金三角形“角”和“邊”的特征,就容易識別它,然后用數(shù)學(xué)工具作出它,并能運(yùn)用它解決數(shù)學(xué)題。
作一作:不用量角器,使用直尺和圓規(guī),你可以作出黃金三角形嗎?
沒有量角器,我們只能從“邊”去思考,比較直接的思路是構(gòu)造出兩條長度之比為[5-12]的線段,如果能聯(lián)想到在數(shù)軸上可以表示出[5]的點,那么,問題就迎刃而解了,如圖2。
其實,解決問題的關(guān)鍵是找出一條線段上的黃金分割點。如圖3,設(shè)線段AC=1,過點C作CD⊥AC,使CD=[12]AC,連接AD,以點D為圓心,DC的長為半徑畫弧,交AD于點E,以點A為圓心,AE長為半徑畫弧,交AC于點B,點B就是線段AC的黃金分割點。
歐幾里得曾經(jīng)介紹過一種作法。如圖4,設(shè)正方形邊長為1,E為AC中點,連接BE,延長CA到F,使EF=EB,以FA為邊長做正方形FAHG,點H是線段AB的黃金分割點。只要找到了線段的黃金分割點,就可以輕而易舉地畫出黃金三角形。
分一分:“黃金一號”的72°角與“黃金二號”的108°角是互補(bǔ)關(guān)系,這兩個圖形可以拼成一個大的黃金三角形,如圖5,那么一個黃金三角形是否可以分割成若干個小的黃金三角形?如圖6,在△ABC中,∠A=36°,∠ACB=72°,CD是∠ACB的平分線,試找出圖中所有的黃金三角形,并說明理由。
圖6中有3個明顯的黃金三角形,但我們?nèi)绻鞒觥螧的平分線BE,連接DE,如圖7,這時就能找出5個“黃金一號”:△ADE、△CBD、△BCE、△COE、△BOD;4個“黃金二號”:△DOE、△COB、△CED、△BDE。再作出△ADE兩個底角的平分線,重復(fù)上述的操作,最上面總有一個黃金三角形等著我們?nèi)ゲ僮鳎缓蟮玫綗o窮個黃金三角形,就像一條黃金鏈一樣,十分神奇。如果我們再把OF、OG連接起來,在出現(xiàn)倒置的黃金三角形△OFG時,還能清晰地發(fā)現(xiàn)“五角星”,如圖8,每個“五角星”是由5個“黃金一號”和5個重疊的“黃金二號”組成的。
黃金三角形在古代中東和中世紀(jì)西方建筑中經(jīng)常出現(xiàn),如古埃及的金字塔、埃菲爾鐵塔等?,F(xiàn)代建筑中的黃金三角形也顯示出和諧、簡潔之美,如蘇州拙政園中的亭臺樓閣,蘇州大學(xué)的鐘樓、方塔以及貝聿銘設(shè)計的蘇州博物館新館。
(作者單位:蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院)