孔春芳

［摘 ?要］ 章建躍博士曾說(shuō)，教數(shù)學(xué)根本上就是教概念的. 可見(jiàn)概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性，而數(shù)學(xué)概念的理解對(duì)學(xué)生抽象思維的要求較高. 目前，我國(guó)初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)狀況是，大多數(shù)數(shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的追求是“一個(gè)概念，三項(xiàng)注意，幾個(gè)例題，大量練習(xí)”的應(yīng)試模式. 造成這種現(xiàn)狀的主要原因有以下幾點(diǎn)：①教師的觀念陳舊，基本功較差；②教師的重心錯(cuò)位，教學(xué)的時(shí)效性差；③很多概念較抽象，學(xué)生有恐懼心理. 因此，文章探討了基于理解的初中數(shù)學(xué)概念深度學(xué)習(xí)策略.

［關(guān)鍵詞］ 理解；數(shù)學(xué)概念；深度學(xué)習(xí)；策略

理解是學(xué)習(xí)者探究事實(shí)意義的結(jié)果，教育中怎樣強(qiáng)調(diào)概念理解的重要性都不過(guò)分. 理解既是智慧而有效地使用知識(shí)和技能，又是努力后了解的結(jié)果. 真正的理解，包含另一種形式的遷移，可遷移的理解是評(píng)估學(xué)生在不同情境中審慎且有效應(yīng)用知識(shí)的能力，理解的6個(gè)側(cè)面“解釋、闡明、應(yīng)用、洞察、神入、自知”表現(xiàn)了遷移的能力. 知識(shí)只需要獲取，但理解必須是領(lǐng)悟. 傳統(tǒng)的概念教學(xué)有兩個(gè)誤區(qū)，一是只動(dòng)手不動(dòng)腦的活動(dòng)導(dǎo)向設(shè)計(jì)，二是灌輸式學(xué)習(xí)設(shè)計(jì). 學(xué)生根據(jù)教材或教師的講授、在規(guī)定時(shí)間內(nèi)學(xué)習(xí)內(nèi)容，兩種類(lèi)型的概念教學(xué)，學(xué)生能領(lǐng)悟哪些相關(guān)知識(shí)呢？因此UbD逆向設(shè)計(jì)了三個(gè)階段：先確定預(yù)期的結(jié)果，再確定合適的評(píng)估依據(jù)，最后設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)體驗(yàn). 這樣的前后順序，有效確保了整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，始終圍繞教學(xué)重點(diǎn)，既提高了設(shè)計(jì)的協(xié)調(diào)一致性，又提高了教學(xué)的有效性. 下面筆者將探究基于理解的初中數(shù)學(xué)概念深度學(xué)習(xí)策略.

概念引入，分為四種概念引入類(lèi)型

（1）由生活實(shí)例引入. 數(shù)學(xué)源于生活又服務(wù)于生活，比如負(fù)數(shù)的引入，在我們的日常生活當(dāng)中，實(shí)際上都不乏用負(fù)數(shù)表示的現(xiàn)象. 如電梯上表示樓層有1，2，-1，-2，…；再如冬天的某城市最低溫度是-3 ℃，冰箱的冷凍室是-18 ℃. 這些負(fù)數(shù)的意義是什么呢？小學(xué)生都不難理解. 因此一句話(huà)“像-1，-2這樣的數(shù)就叫做負(fù)數(shù)”就引入了概念. 但如果這樣去傳授負(fù)數(shù)概念，那么學(xué)生就會(huì)失去很多. 實(shí)際上，我們應(yīng)該先讓學(xué)生感受到現(xiàn)實(shí)世界充滿(mǎn)了具有相反意義的量，從而認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)與人類(lèi)生活的密切聯(lián)系. 那么，為什么要引進(jìn)負(fù)數(shù)？為什么要這樣表示？負(fù)數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義和文化價(jià)值是什么？我們可以展現(xiàn)給學(xué)生負(fù)數(shù)產(chǎn)生、發(fā)展的歷史，讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿(mǎn)著探索和創(chuàng)造，從淺顯的知識(shí)中挖掘出深刻的內(nèi)涵，這樣學(xué)生才會(huì)深刻地理解負(fù)數(shù)的含義，在書(shū)寫(xiě)和計(jì)算時(shí)負(fù)號(hào)才不容易丟失.

（2）由概念背景引入. 比如平方根概念：求平方根是平方運(yùn)算的逆運(yùn)算，也是對(duì)今后學(xué)習(xí)二次根式的預(yù)備知識(shí)，還是應(yīng)用直接開(kāi)平方法解一元二次方程的重要依據(jù). 平方根概念處于非常重要的地位，起著承前啟后的作用. 平方根概念本身較難理解，更源于對(duì)根號(hào)的極度陌生，在代數(shù)符號(hào)的發(fā)展中，隱含了結(jié)構(gòu)性概念的逐步演化，使得符號(hào)形式可以結(jié)構(gòu)性地用來(lái)作為概念的一部分，正是這種符號(hào)的發(fā)展，以及代數(shù)概念具有抽象的結(jié)構(gòu)性特征，導(dǎo)致了概念學(xué)習(xí)的障礙. 傳授平方根概念時(shí)，如果直接給出概念，學(xué)生并不理解平方根前面為什么要加正負(fù)號(hào)，不能識(shí)別符號(hào)語(yǔ)言的基本屬性以及其所表示的數(shù)學(xué)對(duì)象. 因此，應(yīng)該首先引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)求面積為4的正方形的邊長(zhǎng)是多少、面積為3的正方形的邊長(zhǎng)是多少、面積為2的正方形的邊長(zhǎng)又是多少，理解到：如果把正方形的邊長(zhǎng)設(shè)為x，像x2=2或x2=3或x2=4這樣的x是客觀存在的，并且可以借助計(jì)算機(jī)知道它的近似值，這樣的數(shù)是無(wú)限不循環(huán)的. 為了進(jìn)一步研究這樣的數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，我們?cè)O(shè)法用符號(hào)“”來(lái)表示. 比如n個(gè)a相乘記作an，a的平方根就表示為±. 再通過(guò)一些實(shí)例讓學(xué)生自己歸納正數(shù)、0、負(fù)數(shù)的平方根的情況，然后介紹開(kāi)平方.

（3）由問(wèn)題引入. 比如說(shuō)方程，它是表達(dá)數(shù)量之間相等關(guān)系的“天平”，是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的有效的數(shù)學(xué)模型. 方程的出現(xiàn)源于實(shí)際問(wèn)題，要讓學(xué)生經(jīng)歷“問(wèn)題情境—建立數(shù)學(xué)模型—解釋、應(yīng)用與拓展”這樣的方程學(xué)習(xí)過(guò)程，體會(huì)方程的應(yīng)用價(jià)值. 問(wèn)題情境要從學(xué)生的生活實(shí)際出發(fā)，比如蘇科版“一元一次方程”的“章起始課”中就創(chuàng)設(shè)了“天平稱(chēng)小球”“籃球比賽得分情況”以及“小紅和爸爸的年齡問(wèn)題”等與學(xué)生生活相關(guān)的情境，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生感受到方程源于生活，又是解決實(shí)際問(wèn)題的好工具. 然而有些教師總認(rèn)為，進(jìn)入方程學(xué)習(xí)如果首先從問(wèn)題出發(fā)太煩瑣，為了讓學(xué)生認(rèn)識(shí)方程的特征，給出幾個(gè)方程讓學(xué)生辨認(rèn)一下就可以了，忽略了概念的生成過(guò)程.

（4）從舊知識(shí)與新知識(shí)的關(guān)系引入，溫故而知新. 比如說(shuō)平行與垂直：學(xué)生在小學(xué)里已從生活實(shí)例中引入了平行和垂直的概念，以及平行線(xiàn)和垂線(xiàn)的畫(huà)法；但小學(xué)里沒(méi)有介紹平行和垂直的表示方法，以及平行線(xiàn)和垂線(xiàn)的基本性質(zhì)（基本事實(shí)）. 因此，課程中要強(qiáng)化平行線(xiàn)和垂線(xiàn)的表示方法，并通過(guò)觀察、操作、思考等活動(dòng)探索平行線(xiàn)和垂線(xiàn)的基本性質(zhì)（基本事實(shí)），從內(nèi)部感知平行線(xiàn)的存在性、唯一性（有且只有）. 要引導(dǎo)學(xué)生用比較規(guī)范的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)所發(fā)現(xiàn)的事實(shí)，這樣有利于提高學(xué)生的理解水平和有條理的能力.

概念的講解，方法是數(shù)學(xué)的行為，思想是數(shù)學(xué)的靈魂

可以從以下幾種數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行：

1. 類(lèi)比法

在數(shù)學(xué)中，類(lèi)比法是最通俗易懂且基于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)便于應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想方法之一. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)的方方面面都發(fā)揮著積極的作用. 類(lèi)比法是發(fā)展概念、定理、公式的重要手段，是提出新問(wèn)題和猜想的重要方法，更是探索問(wèn)題、解決問(wèn)題的好工具. 比如學(xué)習(xí)角平分線(xiàn)的概念可以類(lèi)比線(xiàn)段中點(diǎn)的概念，角平分線(xiàn)的符號(hào)語(yǔ)言也可以類(lèi)比線(xiàn)段中點(diǎn)的符號(hào)語(yǔ)言，角平分線(xiàn)的性質(zhì)以及逆定理都可以通過(guò)線(xiàn)段的中垂線(xiàn)的性質(zhì)和逆定理進(jìn)行類(lèi)比學(xué)習(xí). 利用知識(shí)遷移，可以讓學(xué)生自行歸納和總結(jié)關(guān)于角平分線(xiàn)的相關(guān)概念，能使學(xué)生的理解更清晰.

2. 數(shù)形結(jié)合法

“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微.”比如絕對(duì)值概念對(duì)于剛進(jìn)入初中的學(xué)生而言，理解起來(lái)還是比較抽象的. 蘇科版七年級(jí)上冊(cè)是把絕對(duì)值概念分為兩課時(shí)來(lái)陳述的，先陳述的是它的幾何意義，揭示了絕對(duì)值的“非負(fù)性”；再陳述的是它的代數(shù)意義，揭示了一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值與該數(shù)的關(guān)系. 先陳述幾何意義，就是讓學(xué)生通過(guò)一個(gè)數(shù)到原點(diǎn)的距離來(lái)直觀地理解絕對(duì)值的概念. 理解了絕對(duì)值的幾何意義，再通過(guò)分類(lèi)討論就不難理解它的代數(shù)意義了；理解了“到原點(diǎn)的距離”表示一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，對(duì)于絕對(duì)值的變式拓展也不難理解了. 比如求x-1的最小值，求x-1+x+2的最小值，求x-1+x+2+x-3的最小值，等等，都是通過(guò)畫(huà)數(shù)軸、用兩點(diǎn)之間的距離來(lái)解決的.

3. 變抽象為具體

例如，2020年蘇州市初二陽(yáng)光水平測(cè)試中的一道題：

如圖1所示，用x表示A中的實(shí)數(shù)，y表示B中與x對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)，且y與x滿(mǎn)足一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）.

（1）π是A中的實(shí)數(shù)，則B中與之對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是________；

（2）點(diǎn)（a2+1，2-a2）在該函數(shù)的圖像上嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若點(diǎn)P（a，2a-3）到直線(xiàn)y=kx+b的距離是，求a的值.

這道題重點(diǎn)考查的是一次函數(shù)概念. 函數(shù)教學(xué)中應(yīng)該選取多個(gè)具體實(shí)例，使學(xué)生能夠體會(huì)函數(shù)是描繪客觀世界變化規(guī)律的一個(gè)重要模型. 對(duì)初中學(xué)生來(lái)講，豐富的實(shí)例會(huì)給他們留下怎樣的印象呢？筆者認(rèn)為，實(shí)例讓學(xué)生在體會(huì)函數(shù)反映事物變化規(guī)律的同時(shí)，會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生一些錯(cuò)覺(jué). 比如自變量不同，因變量也不同，而函數(shù)值也會(huì)隨著自變量的變化而變化. 確定因變量與自變量的關(guān)系法則是有規(guī)律的，這個(gè)規(guī)律總可以用一個(gè)式子描述出來(lái)，但我們知道這些都不是函數(shù)的本質(zhì)——變化不是函數(shù)的本質(zhì)，可以用式子表達(dá)出來(lái)也不是函數(shù)的本質(zhì)，對(duì)應(yīng)才是函數(shù)的本質(zhì). 只有抓住了這個(gè)本質(zhì)進(jìn)行函數(shù)概念教學(xué)，才能讓學(xué)生理解“對(duì)應(yīng)關(guān)系”，理解函數(shù).

概念的鞏固

1. 通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行概念鞏固

用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以引領(lǐng)數(shù)學(xué)概念的理解性教學(xué). 比如蘇科版七年級(jí)上冊(cè)“無(wú)理數(shù)”的概念教學(xué)，如果直接給出無(wú)理數(shù)的概念，是非常抽象和不能理解的，可以設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)來(lái)增強(qiáng)學(xué)生對(duì)無(wú)理數(shù)概念的理解. 比如利用拼圖活動(dòng)將四個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成一個(gè)大正方形，求其邊長(zhǎng)是多少；將兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形，沿一條對(duì)角線(xiàn)剪開(kāi)后重新拼成一個(gè)大正方形，求其邊長(zhǎng)是多少、面積是多少. 然后繼續(xù)追問(wèn)：若設(shè)它的邊長(zhǎng)為a，則a2=2，你認(rèn)為a是有理數(shù)嗎？可能是整數(shù)嗎？a可能是分?jǐn)?shù)嗎？接著通過(guò)計(jì)算排除a是整數(shù)和分?jǐn)?shù)的可能性：知道12=1，22=4，32=9，所以a不是整數(shù)；計(jì)算，，，，，，…的平方，用這種“逼近法”讓學(xué)生在探索的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中體會(huì)“無(wú)限”的過(guò)程（找不到一個(gè)分?jǐn)?shù)的平方等于2，排除a為分?jǐn)?shù)），從而引出無(wú)理數(shù)的概念，引導(dǎo)學(xué)生感悟無(wú)理數(shù)的客觀存在性，為八年級(jí)上冊(cè)“實(shí)數(shù)”的學(xué)習(xí)、進(jìn)一步認(rèn)識(shí)無(wú)理數(shù)奠定基礎(chǔ).

2. 可以通過(guò)變式訓(xùn)練使學(xué)生從不同的側(cè)面理解概念的本質(zhì)屬性

以乘法公式中的完全平方公式為例，傳統(tǒng)的教學(xué)模式是先用代數(shù)方法得到公式帶給學(xué)生，然后展現(xiàn)幾何直觀的無(wú)字證明圖形，僅作了解幾何背景的用途. 學(xué)生知道多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘歸納出乘法公式，但找到公式規(guī)律后，如何運(yùn)用公式以及如何圖證公式是毫無(wú)印象的，對(duì)圖形與公式的聯(lián)系不甚理解，沒(méi)有掌握數(shù)形結(jié)合思想，無(wú)法理解公式中的數(shù)如何轉(zhuǎn)化為形，無(wú)法充分利用圖形證明公式，這些方面都無(wú)法突破. 因此筆者認(rèn)為，可以用幾何方法來(lái)引形助數(shù)，然后用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則驗(yàn)證公式，再介紹公式的名稱(chēng)并用文字語(yǔ)言進(jìn)行敘述，最后讓學(xué)生觀察公式并找出公式的特征. 完全平方公式具有“首平方，尾平方，兩數(shù)乘積中間放”的特征，可以這是一個(gè)非常具有對(duì)稱(chēng)性的特征，讓學(xué)生感受公式的對(duì)稱(chēng)美. 對(duì)于公式的變式運(yùn)用，以及公式的拓展，可以對(duì)它進(jìn)行底數(shù)和指數(shù)的變形：一是對(duì)底數(shù)進(jìn)行變化，即逐漸增加字母，如（a+b+c）2，這里就要體現(xiàn)整體思想的運(yùn)用，將a+b或b+c看作一個(gè)整體進(jìn)行運(yùn)算，梳理出完全平方公式的拓展形式，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)（a+b+c+d）2，并讓學(xué)生嘗試用文字語(yǔ)言描述規(guī)律——幾個(gè)數(shù)和的平方等于這幾個(gè)數(shù)的平方加上它們的每?jī)身?xiàng)積的兩倍，讓學(xué)生再次對(duì)比符號(hào)表述與語(yǔ)言表述的不同，感受到有些時(shí)候用文字語(yǔ)言表述某些乘法公式或運(yùn)算性質(zhì)也是比較簡(jiǎn)潔的. 二是對(duì)指數(shù)進(jìn)行變化，即把次數(shù)“2”逐漸增加為“3，4，…，n”，這時(shí)就可以通過(guò)前幾個(gè)式子的運(yùn)算嘗試找出公式的規(guī)律. 當(dāng)然，這是高中的二項(xiàng)式定理，對(duì)于初中生來(lái)講是有困難的. 此時(shí)，介紹一下“楊輝三角”就變得順理成章了. 這時(shí)對(duì)完全平方公式的對(duì)稱(chēng)性的認(rèn)識(shí)以及整個(gè)公式的驗(yàn)證推理，學(xué)生就可以較好地掌握了. 在完全平方公式概念教學(xué)的設(shè)計(jì)上，可以通過(guò)“操作—探索—?dú)w納—發(fā)現(xiàn)”帶給學(xué)生不一樣的心得和感受，若教師始終認(rèn)真地“引”、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亍凹m”，讓學(xué)生充分地思考，并與教材對(duì)話(huà)、與同伴對(duì)話(huà)，深度學(xué)習(xí)自然而然就發(fā)生了.

概念的運(yùn)用

概念的運(yùn)用需要經(jīng)過(guò)從概念生成到概念理解這樣一個(gè)過(guò)程. 比如說(shuō)勾股定理，計(jì)算兩點(diǎn)之間的距離和已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)求第三邊長(zhǎng)等都是勾股定理的運(yùn)用. 美國(guó)馬薩諸塞州綜合評(píng)估系統(tǒng)曾經(jīng)統(tǒng)計(jì)過(guò)運(yùn)用勾股定理是學(xué)生的短板. 運(yùn)用勾股定理要求學(xué)生理解勾股定理，并將其遷移到新的問(wèn)題情境中，然而很少有教師意識(shí)到，為了應(yīng)試而讓學(xué)生反復(fù)進(jìn)行練習(xí)其實(shí)是一種失敗的教學(xué)策略. 如果把a(bǔ)2+b2=c2當(dāng)作事實(shí)來(lái)講授，當(dāng)作一種計(jì)算規(guī)則，學(xué)生顯然就無(wú)法基于理解來(lái)牽引他們所學(xué)的知識(shí)了. 因此，基于理解的勾股定理概念的生成還是要以探索勾股定理的過(guò)程為基礎(chǔ). 探索過(guò)程可以利用這樣的活動(dòng)進(jìn)行：活動(dòng)一，可以利用方格紙中的格點(diǎn)，以直角三角形的三邊向外作三個(gè)正方形，猜想它們的面積的數(shù)量關(guān)系，感受數(shù)到形、形到數(shù)的聯(lián)想，感悟數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系. 活動(dòng)二，利用方格紙讓學(xué)生自行設(shè)計(jì)一個(gè)直角三角形，每條邊向外作正方形，繼續(xù)探索三個(gè)正方形面積之間的關(guān)系，從大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中猜想直角三角形三邊的關(guān)系，這是合情推理的過(guò)程. 而從合情推理向演繹推理的過(guò)渡，就是一個(gè)難點(diǎn)；重點(diǎn)在于多種驗(yàn)證方法的探索，引導(dǎo)學(xué)生較多地感悟數(shù)與形的完美結(jié)合，用多種方法來(lái)計(jì)算同一個(gè)圖形的面積，從而得到數(shù)量關(guān)系. 這樣的概念運(yùn)用才會(huì)鞏固概念理解.

約翰·杜威在《我們?nèi)绾嗡伎肌分袑?duì)理解做了清晰的總結(jié)，他認(rèn)為沒(méi)有概念生成的過(guò)程，就不能獲得任何知識(shí)的遷移，更不能對(duì)新體驗(yàn)產(chǎn)生更好的理解. 數(shù)學(xué)概念高度凝結(jié)著數(shù)學(xué)家的思維，是數(shù)學(xué)家認(rèn)識(shí)事物的思想結(jié)晶，蘊(yùn)含了最豐富的創(chuàng)新教育素材. 因此，每位教師要在基礎(chǔ)課中講清楚數(shù)學(xué)概念，讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上深度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念.