張贊

［摘 ?要］ “角的存在性問(wèn)題”是近幾年中考考查的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力和建模思想等基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著非常高的要求，所以一直困擾著學(xué)生. 文章利用一道函數(shù)典型例題的解析，通過(guò)一題多解，從多個(gè)角度構(gòu)造數(shù)學(xué)解題模型來(lái)解決問(wèn)題，并把這些模型之間的聯(lián)系和區(qū)別加以辨析，培養(yǎng)學(xué)生初步建立數(shù)學(xué)解題模型的思維方法，從而達(dá)到舉一反三、觸類旁通的效果.

［關(guān)鍵詞］ 存在性；一題多解；解題模型

數(shù)學(xué)解題模型能讓學(xué)生在解題過(guò)程中明確解題思路，形成解題直觀策略，更能直接發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和問(wèn)題之間的本質(zhì)聯(lián)系. “角的存在性問(wèn)題”就是一種很常見(jiàn)的數(shù)學(xué)解題模型，在近幾年蘇州市的中考中就多次出現(xiàn)了，其主要考查學(xué)生對(duì)平面幾何核心知識(shí)的掌握程度以及發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題等基本數(shù)學(xué)素養(yǎng). 本文通過(guò)一道典型的函數(shù)習(xí)題的解析，談?wù)剬?duì)“角的存在性問(wèn)題”以及數(shù)學(xué)解題模型的初步認(rèn)識(shí).

以一道45°角為例的“角的存在性問(wèn)題”為背景

例題 如圖1所示，已知拋物線y= -x2+bx+c與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，2），D

3，

，點(diǎn)P是直線CD上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠PCD=45°時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo).

模型1 45°角→構(gòu)造出等腰直角三角形→構(gòu)造出“一線三直角”（即與“K”字形相似）.

解析1 設(shè)參數(shù)坐標(biāo)求解.

易求拋物線的解析式為y=-x2+x+2，直線CD的解析式為y=x+2. 如圖2所示，過(guò)點(diǎn)P作PC、y軸的垂線，與y軸相交于點(diǎn)M，與直線CD相交于點(diǎn)G，過(guò)G點(diǎn)作y軸的平行線，交PM于點(diǎn)N，則△PCG為等腰直角三角形，△PCM ≌△GPN. 因?yàn)镻點(diǎn)在拋物線上，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為t，-t2

+t+2，則PM=GN=t，MC=PN=OM-OC=-t2+t，所以MN=-t2+t，所以G點(diǎn)的坐標(biāo)為-t2

+t，-t2

+t+2；因?yàn)镚點(diǎn)在直線CD：y=x+2上，將G點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線解析式，解得t=0（舍去），t=，因此P點(diǎn)的坐標(biāo)為

，.

解析2 利用已知點(diǎn)的坐標(biāo)求解.

如圖3所示，過(guò)點(diǎn)D作DQ⊥CD，交CP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)D作平行于y軸的直線，并分別過(guò)點(diǎn)C，Q向該直線作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，則△CDQ為等腰直角三角形，△CED ≌△DFQ，從而DF=CE=3，QF=DE=.

利用C，Q兩點(diǎn)可以求出直線CP的解析式為y=3x+2，與拋物線聯(lián)立得y=3x+2，

y=-x2

+x+2，解得x=0，

y=2（舍去）或x=

，

y=.因此P點(diǎn)的坐標(biāo)為

，.

反思 （1）解析1與解析2的策略是一樣的，區(qū)別在于把P，D哪一點(diǎn)作為直角頂點(diǎn)構(gòu)造“一線三直角”. 在計(jì)算上，解析1更突出“設(shè)參數(shù)坐標(biāo)求解”的思路，這是函數(shù)綜合題的常用方法，也是初高中數(shù)學(xué)銜接中“圖像設(shè)點(diǎn)”的一種重要手段. 解析2更突出“利用圖形中的已知點(diǎn)求解”的思路，更強(qiáng)調(diào)圖形本身的特點(diǎn)，計(jì)算上較解析1簡(jiǎn)單.

（2）理論上，在直線CD上任取一個(gè)已知點(diǎn)，將它作為等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)，都可以順利求解，如圖4所示，可以自行探究.

模型2 一個(gè)45°角→補(bǔ)出兩個(gè)45°角→構(gòu)造出“一線三等角”.

解析3 如圖5所示，過(guò)點(diǎn)P，D向y軸作垂線，補(bǔ)出兩個(gè)45°角，構(gòu)造出“一線三等角”結(jié)構(gòu)，即△PCE∽△CDF，則=，即PE·DF=CE·CF.

由題意可設(shè)Pt，-t2

+t+2，易得PE=t，DF=3，CE=-t2+t+2+t-2=-t2+t，CF=2-

-3=，因此t·3=-t2

+t，解得t=0（舍去），t=. 故P點(diǎn)的坐標(biāo)為

，.

反思 （1）由于本題數(shù)據(jù)的特殊性，最后我們可以發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)P，D的縱坐標(biāo)相等，所以過(guò)點(diǎn)P，D作y軸的垂線，垂足是重合的，即為圖5中的G點(diǎn)，其實(shí)是否巧合，對(duì)于解題并沒(méi)有影響.

（2）所謂的“一線”對(duì)“位置”上并沒(méi)有很大的要求，可以作成“水平線”，“也可以作成“斜線”，一般選擇現(xiàn)有的“一線”比較合適.

模型3 一個(gè)45°角→再補(bǔ)一個(gè)45°角→構(gòu)造出“母子型相似”.

解析4 如圖6所示，過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線交CP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)G，再作CE⊥QG于E，構(gòu)造出等腰直角三角形CEF，則∠F=45°，EF=CE=3，DE=.

由∠PCD=45°，可得△QCD∽△QFC，所以QC2=QD·QF. 設(shè)QD=t，則QC2=QE2+CE2=

t+2+9，故

t+2+9=t·

t+，解得t=. 故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，11）.

利用C，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線CP的解析式為y=3x+2，與拋物線聯(lián)立得y=3x+2，

y=-x2

+x+2，解得x=0，

y=2（舍去）或x=

，

y=.因此P點(diǎn)的坐標(biāo)為

，.

反思 “母子型相似”與“一線三等角”是非常重要的基本相似形，上述解法都是將其視為基本的“工具”，結(jié)合這些基本圖形的結(jié)構(gòu)特征，補(bǔ)上所缺的元素，巧妙構(gòu)造，順利完成求解.

模型4 45°角→構(gòu)造出正方形的“半角模型”.

解析5 如圖7所示，作正方形CEFG，使CG邊在y軸上，且邊EF過(guò)點(diǎn)D，直線CP與FG相交于點(diǎn)Q.

設(shè)QG=x，由∠PCD=45°，結(jié)合正方形中的“半角模型”，可得QD=QG+DE=x+；最后鎖定Rt△QDF，由勾股定理得（3-x）2+

2=

x+2，解得x=1. 故Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，5）. 下略.

反思 正方形的“半角模型”由于其得到的結(jié)論非常多，因此其應(yīng)用非常廣泛. 在本題中巧妙地構(gòu)造出正方形的“半角模型”，通過(guò)求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)順利完成求解.

“角的存在性問(wèn)題”的方法總結(jié)

通過(guò)對(duì)這道典型的函數(shù)例題的辨析，我們大致可以把“角的存在性問(wèn)題”的模型細(xì)分為以下幾種具體的子模型：（1）構(gòu)造“一線三等角”（含“一線三直角”，即“K”字形）；（2）利用已知角構(gòu)造“母子型相似”；（3）構(gòu)造“整體旋轉(zhuǎn)”轉(zhuǎn)化為矩形或正方形模型.

這道例題是以45°角為例的，如果換成30°等其他特殊角甚至非特殊角，以上幾種解題模型均能使用. 對(duì)于“角”，經(jīng)常會(huì)利用正切轉(zhuǎn)化為“邊”進(jìn)行處理，再結(jié)合更常見(jiàn)的“橫平豎直”的輔助線，以達(dá)到“改斜歸正”“化斜為直”的效果，從而將“角的存在性問(wèn)題”順利解決.

對(duì)中考復(fù)習(xí)中解題模型的進(jìn)一步思考

數(shù)學(xué)解題模型是對(duì)新課標(biāo)、教材、學(xué)材中的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的進(jìn)一步拓展延伸或另一個(gè)維度的直觀表達(dá)，具體說(shuō)就是一種能有效解決某些類型問(wèn)題的方法和思路. 審題時(shí)能快速識(shí)別模型并正確使用模型，能把試題中出現(xiàn)的復(fù)雜的幾何圖形分解成平時(shí)所熟悉的基本圖形，能辨析復(fù)雜的模型又是由哪些幾何基本模型融合而成的……要讓學(xué)生做到以上幾點(diǎn)，需要教師如何在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的這種綜合應(yīng)用能力呢？

現(xiàn)以“角的存在性問(wèn)題”模型中的“一線三等角”這個(gè)子模型為例. 蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第1章“全等三角形”復(fù)習(xí)鞏固第5題中，以及“圖形的相似”“中心對(duì)稱圖形”等章節(jié)的習(xí)題中多次出現(xiàn) 了“一線三等角”這一基本模型. 中考的很多試題都是在教材“一線三等角”這一基本模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行延伸和改編而成的，因?yàn)橹锌荚囶}的命制首先是源于教材的，但最終又高于教材. 類似這樣的線、角模型還有許多.這就啟示教師在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)充分利用教材中的資源，深度研究教材的例題、習(xí)題和教學(xué)建議. 在學(xué)生已經(jīng)掌握了教材中的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法的基礎(chǔ)上，教師要對(duì)教材中的例題、習(xí)題進(jìn)一步進(jìn)行分析、歸納、總結(jié)，從不同的角度嘗試解決問(wèn)題，從而引導(dǎo)學(xué)生歸納、總結(jié)出不同的解題模型；要對(duì)教材中原有的例題、習(xí)題進(jìn)行改編、演變、拓展，可以改變條件或結(jié)論或讓條件從原來(lái)的靜態(tài)變成動(dòng)態(tài)，改變成一個(gè)新的題型考查學(xué)生的審題能力、發(fā)散性思維能力、逆向思維能力和靈活應(yīng)變能力. 從變化的問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)不變的模型的本質(zhì)，從不變的模型的本質(zhì)中探索模型的規(guī)律，讓學(xué)生在例題、習(xí)題的變式訓(xùn)練中潛移默化地學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，進(jìn)而分析問(wèn)題并順利解決問(wèn)題.

結(jié)束語(yǔ)

中考數(shù)學(xué)試題的命制基本上都體現(xiàn)了在新課標(biāo)要求下的教學(xué)導(dǎo)向，而回歸教材、充分發(fā)掘教材是中考試題命制常見(jiàn)的思路. 因此，教師在平時(shí)的中考復(fù)習(xí)過(guò)程中，要引導(dǎo)和幫助學(xué)生總結(jié)和提煉出一些常見(jiàn)的幾何基本模型，在解題教學(xué)中要善于抓住問(wèn)題的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生充分利用基本模型分析問(wèn)題，讓學(xué)生在分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程中充分體會(huì)基本模型中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)結(jié)論和數(shù)學(xué)思想方法. 當(dāng)然，還要倡導(dǎo)問(wèn)題解法的多樣化，倡導(dǎo)一題多解，發(fā)展學(xué)生的審題能力，開(kāi)闊學(xué)生的解題思路，發(fā)散學(xué)生的思維，使學(xué)生學(xué)會(huì)從多方面、多角度去分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，既“心中要有模型”，又“不拘泥于模型”，這對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、拓寬解題思路、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.