勾股定理的史與今

王雪潔

勾股定理的歷史可分為三個部分：發(fā)現(xiàn)勾股數(shù)、發(fā)現(xiàn)直角三角形中邊長的關(guān)系、勾股定理的證明. 至今，勾股定理約有500種證法. 與勾股定理相關(guān)的知識常見于中考試卷中.

一、勾股數(shù)

數(shù)學史話：勾股數(shù)的發(fā)現(xiàn)時間較早，在中國的《周髀算經(jīng)》、古埃及的“紙草書”中都記述了3，4，5這組勾股數(shù)，而巴比倫泥板上最大的一組勾股數(shù)是13 500，12 709，18 541.

記憶技巧：勾股數(shù)的正整數(shù)倍也是勾股數(shù). 以奇數(shù)開頭的勾股數(shù)，第一個數(shù)的平方等于后兩個連續(xù)數(shù)之和，如52 = 12 + 13.

中考面孔：考查勾股數(shù)的各種變形.

二、發(fā)現(xiàn)直角三角形中邊長的關(guān)系a2 + b2 = c2及應(yīng)用

數(shù)學史話：有一次，畢達哥拉斯去吃大餐，餐廳地面上密鋪著正方形的大理石地磚. 大餐遲遲不上桌，他就拿起畫筆，蹲在地上，選一塊地磚，以其對角線為邊畫了一個正方形，發(fā)現(xiàn)這個正方形的面積恰好等于兩塊地磚的面積和. 他很好奇，于是又以兩塊地磚拼成的矩形的對角線為邊作另一個正方形，他發(fā)現(xiàn)這個正方形的面積等于5塊地磚的面積，也就是以兩條邊分別為邊所作的正方形面積之和. 至此，畢達哥拉斯做出假設(shè)： 任何直角三角形，其斜邊的平方恰好等于另兩邊的平方和.

中考面孔：求最短距離，運用“將軍飲馬模型”，在網(wǎng)格中求線段長，解直角三角形，這些題型都會用到勾股定理.

三、勾股定理的證明

數(shù)學史話：東漢末至三國時代數(shù)學家趙爽創(chuàng)制了一幅圖，利用數(shù)形結(jié)合法證明了勾股定理. 這幅圖被稱為“趙爽弦圖”. 如圖2，以弦為邊長得到的正方形ABCD是由4個全等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的. 每個直角三角形的面積為[ab2];中間的小正方形邊長為b - a，則面積為（b - a）2. 利用同一個圖形的面積的不同表達形式，可得4 × [ab2] + （b - a）2 = c2，則a2 + b2 = c2.

中考面孔：以趙爽弦圖為基礎(chǔ)衍生出來的“一線三直角”模型，體現(xiàn)了“化斜為直”的數(shù)學思想. 在平面直角坐標系的學習中，應(yīng)用十分廣泛.

勾股定理在各國有著不同的名稱，我國以邊為名，直擊數(shù)學本質(zhì). 這種真理至上的思考方式正是數(shù)學的魅力所在. 愿同學們在今后的學習過程中，能夠仔細體會數(shù)學嚴謹之美、創(chuàng)意之美、探索之美！

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★解題時間：2分鐘

1. 勾股數(shù)填空： 5，，13;7，24，;10，24，;11，，.

2. 判斷對錯：（1）如果三角形的三條邊長滿足a2 + b2 = c2，那么這個三角形是直角三角形. （）

（2）如果一個三角形是直角三角形，那么一定有a2 + b2 = c2. （）

（答案見第38頁）

難度系數(shù)：★★★解題時間：6分鐘

3. 唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河?！痹娭须[含著一個有趣的將軍飲馬問題. 如圖3，點C為線段BD 上一動點，分別過點B，D，作AB⊥BD，ED⊥BD，連接 AC，EC，已知 AB = 5， DE = 1，BD = 8，設(shè) CD = x，

（1）用含 x 的代數(shù)式表示 AC2 + CE2.

（2）點 C 滿足什么條件時，AC + CE的值最??？你能求出最短距離嗎？

（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律和結(jié)論，請構(gòu)圖求出代數(shù)式[x2+4+（12-x）2+9]的最小值.

（答案見第38頁）

（作者單位：沈陽市第一四五中學）