周碩

［摘? 要］ 教材是教學(xué)的依據(jù)，也是培養(yǎng)學(xué)科核心素養(yǎng)的主要載體，如何挖掘數(shù)學(xué)教材所蘊(yùn)含的內(nèi)隱性素材資源，讓這些資源為發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)服務(wù)呢？文章從以下三方面展開闡述：挖掘知識背景資源，催生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；挖掘例題隱含資源，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；挖掘知識邏輯關(guān)系，完善數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 核心素養(yǎng)；教材；隱性資源

通過數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)具有獨(dú)特的價值與意義，它能讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看待世界，形成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)與追求數(shù)學(xué)美的精神，為形成正向的數(shù)學(xué)價值觀奠定基礎(chǔ). 用于教學(xué)的各種資源為課程資源，主要存在外顯與內(nèi)隱兩類，其中內(nèi)隱性資源包括內(nèi)隱性條件與素材資源，教材內(nèi)隱性資源屬于內(nèi)隱素材資源［1］. 本文就如何開發(fā)教材內(nèi)隱性素材資源，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)談一些拙見.

[?]挖掘知識背景資源，催生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)教材雖然為教學(xué)的載體，但它所呈現(xiàn)的知識都是以靜態(tài)的形式出現(xiàn)的，而數(shù)學(xué)課堂卻是動態(tài)發(fā)展變化的過程，處于課堂中的師生因地域、知識背景等的不同，呈現(xiàn)出較大差異. 教材編者只能依照大部分學(xué)生的認(rèn)知水平為參考，編擬出適合大眾的教學(xué)內(nèi)容. 教師在實(shí)際教學(xué)時，要根據(jù)學(xué)情，充分挖掘知識的背景資源，以催生學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1. 知識類比，啟發(fā)思維

教學(xué)過程中，教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平，賦予教材一些現(xiàn)實(shí)的背景，使得教學(xué)內(nèi)容情境化；也可以結(jié)合編者的意圖，從學(xué)生的生活實(shí)際中尋找一些更契合學(xué)生認(rèn)知的情境替代教材中呈現(xiàn)的知識背景.

當(dāng)然，對教材知識背景的開發(fā)，不能局限于利用情境來替代原有的內(nèi)容，還應(yīng)解讀教材知識的組織形式與來龍去脈，尋找出其背后所隱含的數(shù)學(xué)思想方法，思考編者如此編寫的實(shí)際意圖，尤其是對知識脈絡(luò)要有一個明確的認(rèn)識，這樣才能讓教材助力實(shí)際教學(xué).

案例1 “平面向量的實(shí)際背景及基本概念”的教學(xué).

教材對于平面向量概念的概括，主要通過對物理現(xiàn)象中的力的大小與位移方向進(jìn)行舉例、概括、抽象而來；同樣，“向量的加法運(yùn)算及幾何意義”也是從這幾方面著手，通過對數(shù)的運(yùn)算的類比，強(qiáng)化學(xué)生對向量的加法運(yùn)算和性質(zhì)的理解.

鑒于此，本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，可從教材出發(fā)，結(jié)合學(xué)生的生活實(shí)際與平面向量的物理背景，將知識從自然現(xiàn)象中抽象而出，這也是類比思想方法的滲透過程，對啟發(fā)學(xué)生的思維具有直接影響.

2. 數(shù)學(xué)文化，健全人格

數(shù)學(xué)文化是教材所蘊(yùn)含的背景資源之一，開發(fā)數(shù)學(xué)文化資源對學(xué)生的德育滲透與人格品質(zhì)的培養(yǎng)具有重要意義. 數(shù)學(xué)文化作為一個相對獨(dú)立的體系，具有豐富的內(nèi)涵與極高的教育價值，教師應(yīng)注重對其開發(fā)與利用.

案例2 “方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”的教學(xué).

課堂伊始，教師可從數(shù)學(xué)文化的角度出發(fā)，帶領(lǐng)學(xué)生領(lǐng)略知識的歷史進(jìn)程，讓學(xué)生對本章節(jié)內(nèi)容產(chǎn)生積極的情感傾向，發(fā)自內(nèi)心地接納并內(nèi)化所學(xué)知識，同時感知數(shù)學(xué)發(fā)展的艱辛與神奇.

課堂導(dǎo)入：早在公元50—100年，《九章算術(shù)》對一元一次、一元二次與正系數(shù)的一元三次方程的求根方法作了記載；到11世紀(jì)，賈憲提出了一元三次及以上次數(shù)方程的解法；直至13世紀(jì)，秦九韶明確提出了解一元任意次方程的具體方法. 可見一元方程求解問題經(jīng)歷了漫長的歷史進(jìn)程.

國外對方程求解的研究也經(jīng)歷了一個漫長的歷史演變過程，9世紀(jì)，人們首先發(fā)現(xiàn)了一元一次到一元四次方程的求根方法，直到19世紀(jì)挪威的阿貝爾突破了一元五次方程的求根問題，他證明了一元五次方程沒有代數(shù)一般解.

師：縱觀方程求解的發(fā)展史，可見從方程的角度著手研究方程的求解問題，確實(shí)存在很大的難度，若想繼續(xù)研究下去，我們可以怎么做呢？面對以上結(jié)論，我們究竟該怎樣求方程的根呢？現(xiàn)在請大家思考以下幾個問題：

問題1：說一說方程2x+x=0是否存在實(shí)根. 如果存在，請說出其中一根大致位于哪兩個正數(shù)之間.

問題2：分析二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a>0）的圖像跟x軸有幾個交點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)與方程的根之間存在聯(lián)系嗎？

分析完以上兩個問題后，再從特殊轉(zhuǎn)化為一般，引出本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)——“函數(shù)的零點(diǎn)”問題.

教材對概念的陳述，一般只有核心概念與典型例題，教師若根據(jù)教材所提供的資源進(jìn)行授課，顯然缺失了概念的形成與發(fā)展歷程，于學(xué)生而言就是概念的機(jī)械性記憶與應(yīng)用，這種教學(xué)方式必然會降低學(xué)生對概念的學(xué)習(xí)熱情，乏味的概念學(xué)習(xí)只會讓他們覺得數(shù)學(xué)是一門抽象、枯燥的學(xué)科.

為了調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，突出知識的重要性與學(xué)習(xí)的必要性，教師可適當(dāng)?shù)匾胫R形成的歷史背景. 通過挖掘數(shù)學(xué)文化，與如今的課堂教學(xué)內(nèi)容自然而然地進(jìn)行銜接，首先就能從情感上征服學(xué)生，無疑會增強(qiáng)學(xué)生的探究熱情. 激情、奮志、引疑、啟思的方式，可成功地激起學(xué)生原有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)與情境之間的矛盾，讓學(xué)生對知識的來龍去脈產(chǎn)生更深刻的理解，這能對后繼教學(xué)起到事半功倍的效果.

再從精神、思維品質(zhì)與價值觀的角度來看，深挖教材中數(shù)學(xué)文化的教育價值，不僅能讓學(xué)生感知為什么要學(xué)習(xí)這部分知識，還能成功地推動學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)，讓他們?nèi)ニ妓鳌拔以撛趺磳W(xué)”與“我該學(xué)什么”等問題. 帶著這些疑慮去學(xué)習(xí)，不僅能讓學(xué)生更好地掌握課堂知識，還能促進(jìn)學(xué)生個性、心智、價值觀等方面有效發(fā)展.

隨著新課標(biāo)的深入推行，如今的數(shù)學(xué)教材大幅度增加了數(shù)學(xué)文化的介紹，如“等比數(shù)列”章節(jié)，將“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”作為引例；“等比數(shù)列求和”問題以國際象棋起源的故事來引入，而且像謝賓斯基三角形，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派所研究的正方形數(shù)、三角形數(shù)，斐波那契數(shù)列等，均在教材中出現(xiàn). 這些數(shù)學(xué)文化的滲透對培養(yǎng)學(xué)生的人生觀與價值觀有著不可估量的重要意義. 教材受篇幅限制，而教師卻可以在此基礎(chǔ)上加以拓展與延伸，以開闊學(xué)生的視野，為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)奠定基礎(chǔ).

[?]挖掘例題隱含資源，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

教學(xué)講究過程與結(jié)果的平衡，想讓學(xué)生獲得結(jié)論，必須帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷豐富的教學(xué)活動過程. 簡而言之，就是讓學(xué)生經(jīng)歷結(jié)論的獲得過程. 這句話的實(shí)質(zhì)是讓學(xué)生親歷觀察、抽象、建模等過程，自主發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，形成一定的數(shù)學(xué)能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

教材知識都是靜態(tài)且冰冷的，若想將冰冷的教材知識轉(zhuǎn)化為火熱的數(shù)學(xué)思考，需要教師精心設(shè)計(jì)與引導(dǎo)，這也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要途徑. 鑒于此，教師在課堂中應(yīng)留下充足的時間與空間讓學(xué)生去探索，親歷觀察、實(shí)踐、交流、猜想、歸納、反思等過程，踐行過程性知識的開發(fā). 教材例題是教學(xué)的依托，教師在教學(xué)過程中可深挖例題的隱含資源，讓學(xué)生在真正意義上感知例題的實(shí)際教學(xué)意義.

案例3 例題教學(xué).

問題：求證12+22+…+n2=.

教學(xué)方案1：①復(fù)習(xí)歸納法；②利用歸納法證明；③練習(xí)訓(xùn)練.

教學(xué)方案2：

①提出問題：大家思考一下，可以用什么方法求出數(shù)列｛n2｝的前n項(xiàng)和？

②交流：是否可用等差數(shù)列或等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法來解決這個問題？（實(shí)踐證明，效果不佳）

③討論：從特殊情況出發(fā)，發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律. 假設(shè)S=1+2+…+n=，S=12+22+…+n2，求出其前n項(xiàng)和（見表1）.

通過觀察發(fā)現(xiàn)=，=，=，…，猜想=. 由此可得S=S·=.

④利用歸納法證明以上猜想.

教學(xué)方案3：結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，將原題改編成一個與學(xué)生生活實(shí)際相關(guān)的問題，探索過程與方案2相同.

教學(xué)方案4：

①在教學(xué)方案3的基礎(chǔ)上，鼓勵學(xué)生通過合作交流，自主探尋其他解題途徑，如將（n+1）3=n3+3n2+3n+1（n∈N*）的前n個式子進(jìn)行疊加.

②附加一個開放性問題，要求學(xué)生求出S=13+23+…+n3的值.

以上4種教學(xué)方案是一個不斷改進(jìn)、不斷創(chuàng)新的教學(xué)過程.

教學(xué)方案1是典型的傳統(tǒng)設(shè)計(jì)，教師并沒有帶領(lǐng)學(xué)生挖掘教學(xué)內(nèi)容的內(nèi)隱性資源，只是為了完成教學(xué)目標(biāo)，要求學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識與技能，獲得一定的邏輯思維能力.

教學(xué)方案2體現(xiàn)了數(shù)學(xué)“發(fā)現(xiàn)—證明—應(yīng)用”的過程，揭示了特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，對培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力具有直接影響，且例題的內(nèi)隱性資源的開發(fā)取得了較大進(jìn)展.

教學(xué)方案3在以上基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，將知識與生活實(shí)際掛鉤，彰顯了知識與生活實(shí)際的聯(lián)系，不僅有效開發(fā)了例題的內(nèi)隱性資源，還增強(qiáng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，使知識、體驗(yàn)與能力形成了“三位一體”的關(guān)系.

教學(xué)方案4增加了合作探究、變式和開放性問題，不僅增強(qiáng)學(xué)生對知識的理解程度，還注重學(xué)生反思能力與創(chuàng)新意識的培養(yǎng). 這一方案涉及多維目標(biāo)，對例題的內(nèi)隱性資源進(jìn)行了全面開發(fā)，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在該方案的實(shí)施中得以快速提升.

[?]挖掘知識邏輯關(guān)系，完善數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

如今的高中數(shù)學(xué)教材編排不僅考慮到知識的邏輯發(fā)展順序，還兼顧到學(xué)生的心理發(fā)展特征等綜合因素，將課堂內(nèi)容分成若干模塊，有些章節(jié)因更多關(guān)注到學(xué)生的認(rèn)知水平，無形中就弱化了知識間的邏輯關(guān)系［2］. 因此，教師在教學(xué)過程中應(yīng)注重滲透這部分知識間的邏輯關(guān)系. 而數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，能有效整合知識間的邏輯關(guān)系.

數(shù)學(xué)思想方法隱藏在知識間的邏輯關(guān)系中，且具有一定的同一性［3］. 教學(xué)過程中，教師可將蘊(yùn)藏在知識間的這種“同一思想”總結(jié)出來，讓學(xué)生對知識產(chǎn)生更加全面深刻的認(rèn)識.

案例4 “等差數(shù)列通項(xiàng)公式”的教學(xué).

教材利用高斯巧算引出了首尾配對法，學(xué)生利用這種方法自主計(jì)算S=1+2+…+（n-1）+n時，發(fā)現(xiàn)仍存在障礙. 此時，教師常會引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用倒序相加法來推導(dǎo)首項(xiàng)是a，公差是d的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式. 若教師的引導(dǎo)到此結(jié)束，則當(dāng)學(xué)生遇到與它類似的問題時，如“已知f（x）=，求f（-2）+f（-1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）”，依然無法自主解決. 因?yàn)橐陨贤茖?dǎo)過程所涉及的倒序相加法僅僅是一種解題技巧，并非廣泛使用的數(shù)學(xué)思想方法.

本節(jié)課的教學(xué)，可以高斯故事為切入口，通過歸納高斯方法的本質(zhì)，獲得等差數(shù)列的性質(zhì)，而后再應(yīng)用這種方法獲得1+2+…+n的和，此處需要分類討論（n為奇數(shù)或偶數(shù)），最后過渡到一般的等差數(shù)列求和公式的研究中去. 學(xué)生在此過程中會遇到從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，感悟到數(shù)學(xué)化歸思想方法的價值.

在學(xué)生探索n的奇偶性時，引導(dǎo)學(xué)生分析是否有辦法避免分類討論. 如將公式S=（a+a）轉(zhuǎn)化為2S=n（a+a）后，根據(jù)其性質(zhì)就可獲得S. 鑒于此，“倒序求和”就是倒過來分析，而非求和公式所反映出來的數(shù)學(xué)思想方法. 而化異同為相同、化無限為有限的數(shù)學(xué)思想，才是教師在執(zhí)教過程中需要深挖的數(shù)學(xué)思想方法. 帶領(lǐng)學(xué)生感知數(shù)學(xué)知識間的邏輯關(guān)系，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，不僅可以體現(xiàn)教師本人的教學(xué)水平與基本功，還是提高課堂效率、完善學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的前提.

總之，教材中所蘊(yùn)含的內(nèi)隱性素材資源有很多. 教師首先應(yīng)提高自身的認(rèn)知水平與素養(yǎng)，充分了解教材的結(jié)構(gòu)與知識間的邏輯關(guān)系，從宏觀的角度來分析教材、利用教材；其次應(yīng)著手挖掘知識的背景，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)文化價值，為培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)與價值觀夯實(shí)基礎(chǔ)；再次應(yīng)轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，將目光從“教學(xué)結(jié)果”轉(zhuǎn)移到“教學(xué)過程”，讓學(xué)生充分體驗(yàn)知識的形成與發(fā)展歷程，真正意義上提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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