丁建兵

［摘? 要］ 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)用能力、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，就要打破傳統(tǒng)的“灌輸”教學(xué)模式的束縛，充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位，借助變式和錯(cuò)誤引導(dǎo)學(xué)生抓住問(wèn)題的本質(zhì)，從而在教學(xué)中達(dá)到減負(fù)增效、融會(huì)貫通的效果，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)能力全面提升.

［關(guān)鍵詞］ 教學(xué)設(shè)計(jì)；減負(fù)增效；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，部分教師過(guò)分強(qiáng)調(diào)解題教學(xué)的重要性而忽視了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，限制了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)用能力的發(fā)展，影響了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升，使得教學(xué)內(nèi)容空洞、枯燥，嚴(yán)重影響了課堂效率. 為了改變這一現(xiàn)象，筆者在教學(xué)過(guò)程中做了一些嘗試，提出了一些建議，供參考！

[?]營(yíng)造自由氛圍，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

數(shù)學(xué)是一門非常重要的基礎(chǔ)學(xué)科，它與其他學(xué)科緊密相連，與我們的生活息息相關(guān)，具有重要的應(yīng)用價(jià)值. 其實(shí)，數(shù)學(xué)并沒(méi)有我們想象中那么抽象，但為什么大多數(shù)師生都常以抽象和復(fù)雜來(lái)評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)呢？究其原因，主要是在功利教學(xué)長(zhǎng)期的影響下，學(xué)生的主要精力都在解題上，很少關(guān)注數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，脫離了實(shí)際應(yīng)用的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自然顯得抽象. 因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中可以適當(dāng)?shù)貏?chuàng)設(shè)一些情境，引入一些數(shù)學(xué)故事，淡化數(shù)學(xué)的抽象感，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.

案例1 自然數(shù)平方和公式12+22+32+…+n2=的證明.

自然數(shù)平方和公式學(xué)生都能熟練掌握，但是對(duì)于公式的證明過(guò)程很多學(xué)生都感覺很陌生，遇到類似問(wèn)題的證明時(shí)也常感覺束手無(wú)策，出現(xiàn)這一現(xiàn)象主要與教師的教學(xué)方式有關(guān)，大多數(shù)教師為了掌控教學(xué)進(jìn)度，在教學(xué)過(guò)程中更加關(guān)注結(jié)論的應(yīng)用，“刷題”成了知識(shí)強(qiáng)化的主要手段，學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情難以被激發(fā)，課堂效率低下. 為了改變這一現(xiàn)象，教師要放手讓學(xué)生利用已有經(jīng)驗(yàn)去嘗試證明，給學(xué)生營(yíng)造一個(gè)更為廣闊的空間，這樣更容易點(diǎn)燃學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，更能活化學(xué)生的思維，學(xué)生的思維一旦打開了，學(xué)習(xí)效率自然就提高了，這樣不僅不會(huì)浪費(fèi)學(xué)習(xí)時(shí)間，而且有利于學(xué)習(xí)能力提升.

在案例1的證明過(guò)程中，教師放手讓學(xué)生嘗試自主探究，因此涌現(xiàn)出了不同的證明思路. 經(jīng)過(guò)學(xué)生思考、交流和總結(jié)，教師及時(shí)做好補(bǔ)充和點(diǎn)評(píng)，使數(shù)學(xué)知識(shí)得以內(nèi)化. 為了豐富學(xué)生的認(rèn)知，拓寬學(xué)生的視野，教師在教學(xué)中可以多讓學(xué)生了解一些數(shù)學(xué)文化，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 例如，本案例教學(xué)中，教師列舉了一些數(shù)學(xué)家對(duì)該公式的證明，如法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡的“恒等式法”，美國(guó)數(shù)學(xué)家波利亞的“觀察、猜想、數(shù)學(xué)歸納法”，我國(guó)北宋時(shí)期數(shù)學(xué)家的“堆垛法”，等等，讓學(xué)生在借鑒和吸收中不斷豐富認(rèn)知，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力提升.

[?]以生為主，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維品質(zhì)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師切忌用自己的思路去限制學(xué)生，若學(xué)生的思路被教師牽著走，則很難培養(yǎng)出個(gè)性張揚(yáng)、具有創(chuàng)新精神的人才. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)采用更加多樣化的教學(xué)手段來(lái)培養(yǎng)和激發(fā)學(xué)生的探究熱情，多從學(xué)生的角度去思考問(wèn)題、設(shè)計(jì)問(wèn)題，從而體現(xiàn)學(xué)生的主體地位. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生給出的解題思路較為煩瑣時(shí)，教師不要急于打斷，應(yīng)允許學(xué)生有不同的見解；當(dāng)學(xué)生思路出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，教師需要耐心聆聽，找到出錯(cuò)的根源，并利用好錯(cuò)誤資源避免同樣的錯(cuò)誤再次發(fā)生；當(dāng)學(xué)生思維受阻時(shí)，可以順著學(xué)生的思路適時(shí)地進(jìn)行引導(dǎo)，幫助學(xué)生找到解題的突破口. 只有處處體現(xiàn)出學(xué)生的主體地位，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性才能真正地被調(diào)動(dòng)起來(lái)，從而挖掘出內(nèi)在的潛能. 當(dāng)然，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要注意數(shù)學(xué)思想方法的滲透，引導(dǎo)學(xué)生從本質(zhì)上去思考并解決問(wèn)題，從而提高數(shù)學(xué)教學(xué)有效性.

案例2 如圖1所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），l的直線方程為y=2x-4. 設(shè)圓C的半徑為1，圓心C在l上.

（1）若圓心C也在直線y=x-1上，過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線，求切線方程；

（2）若圓C上存在點(diǎn)M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.

分析：對(duì)于問(wèn)題（1），聯(lián)立兩直線方程可以求得圓心C（3，2），接下來(lái)利用點(diǎn)斜式求切線方程，求解過(guò)程中需要對(duì)斜率k分情況進(jìn)行討論，分類討論思想蘊(yùn)含其中. 對(duì)于問(wèn)題（2），首先根據(jù)已知求出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是以（0，-1）為圓心，半徑為2的圓. 又點(diǎn)M在圓C上，這樣就將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩圓的位置關(guān)系問(wèn)題，轉(zhuǎn)化后的解題思路更加清晰明了，轉(zhuǎn)化思想在解題中起到了積極的作用. 可見，數(shù)學(xué)思想方法在解題中無(wú)處不在，教學(xué)中要重視滲透和提煉，從而在數(shù)學(xué)思想方法的指引下形成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，促進(jìn)學(xué)習(xí)能力提升.

[?]借助變式訓(xùn)練，實(shí)現(xiàn)減負(fù)增效

變式訓(xùn)練是數(shù)學(xué)教學(xué)的常用手段之一，若在概念教學(xué)中應(yīng)用變式，可有效幫助學(xué)生挖掘出概念的內(nèi)涵及外延；若在公式、定理教學(xué)中應(yīng)用變式，不僅有利于學(xué)生深化理解，而且可以幫助學(xué)生靈活運(yùn)用；若在解題教學(xué)中應(yīng)用變式，可以讓學(xué)生在區(qū)別和聯(lián)系中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，找到解題的捷徑. 因此，教學(xué)中教師可以精心設(shè)計(jì)一些變式訓(xùn)練，這樣不僅可以達(dá)到深化理解的效果，而且有助于避免“題海戰(zhàn)術(shù)”給學(xué)生帶來(lái)的枯燥感，有助于提升學(xué)習(xí)信心.

案例3 探究等差數(shù)列的通項(xiàng)a和S.

數(shù)列教學(xué)中往往會(huì)涉及很多概念和公式，為了讓學(xué)生在深化理解的同時(shí)可以靈活應(yīng)用，教學(xué)中常采用變式訓(xùn)練來(lái)鞏固應(yīng)用，強(qiáng)化理解.

原題：等差數(shù)列｛a｝，｛b｝的前n項(xiàng)和分別為S，T，且=，若∈N*，則n的值為________.

分析：由等差數(shù)列的性質(zhì)=，求得==7+，再結(jié)合∈N*，問(wèn)題輕松獲解. 本題難度不大，直接應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解，但并不是所有出現(xiàn)形如的情況都可以應(yīng)用該性質(zhì)求解. 為了避免學(xué)生形成思維定式，教師在教學(xué)中需要通過(guò)變式訓(xùn)練來(lái)拓寬學(xué)生的視野，豐富學(xué)生的解題思路.

變式：等差數(shù)列｛a｝，｛b｝的前n項(xiàng)和分別為S，T，且=，是整數(shù)，則n的值為________.

分析：本題設(shè)計(jì)的目的是讓學(xué)生鞏固等差數(shù)列求和公式，擺脫思維定式的困擾，靈活運(yùn)用相關(guān)的定理性質(zhì)高效解決問(wèn)題. 在變式題目求解過(guò)程中，可設(shè)S=kn（7n+45），T=kn（n+3），則a=S-S（n≥2），b=T-T，這樣代入后運(yùn)用分離常數(shù)法可以求得n. 通過(guò)變式訓(xùn)練讓學(xué)生知道，有時(shí)候看似相同的問(wèn)題其求解思路可能截然不同，因此數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中切勿死記硬背、機(jī)械套用，要靈活把握，深入理解，這樣才能避免走彎路、走錯(cuò)路.

[?]尋找錯(cuò)因，提高學(xué)習(xí)效率

出現(xiàn)錯(cuò)誤在學(xué)習(xí)過(guò)程中是不可避免的，錯(cuò)誤是學(xué)習(xí)過(guò)程的必然產(chǎn)物，因此教學(xué)中要善于發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤、正視錯(cuò)誤、善待錯(cuò)誤. 在教學(xué)過(guò)程中，常常會(huì)遇到這樣的煩惱：有些錯(cuò)誤明明重點(diǎn)講解過(guò)，也進(jìn)行了強(qiáng)化練習(xí)，然學(xué)生還是屢屢犯錯(cuò). 出現(xiàn)這一現(xiàn)象的主要原因是教師不夠了解學(xué)生，在錯(cuò)誤講解時(shí)沒(méi)有從學(xué)生的學(xué)情出發(fā)進(jìn)行深入透徹的剖析，每次只是強(qiáng)調(diào)如何訂正錯(cuò)誤，而沒(méi)有發(fā)現(xiàn)真正的錯(cuò)因，學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)缺乏深刻性，致使沒(méi)有真正地學(xué)懂吃透，從而出現(xiàn)了“一錯(cuò)再錯(cuò)”的現(xiàn)象. 因此教學(xué)中必須對(duì)學(xué)情做到精準(zhǔn)定位，充分展現(xiàn)錯(cuò)誤產(chǎn)生的過(guò)程，找到真正的錯(cuò)因，從而制定有效的策略進(jìn)行引導(dǎo)，帶領(lǐng)學(xué)生走出誤區(qū)，避免再次犯錯(cuò)，有效提高學(xué)習(xí)效率.

案例4 已知x2+（1+2i）x-（3m-1）i=0有實(shí)根，求純虛數(shù)m的值.

錯(cuò)解1：因?yàn)榉匠逃袑?shí)根，所以Δ≥0，所以（1+2i）2+4（3m-1）≥0，解得m≥ -+.

分析：出現(xiàn)這樣錯(cuò)解的主因就是學(xué)生在學(xué)習(xí)中形成了思維定式，看到方程有實(shí)根就直接應(yīng)用Δ≥0來(lái)判斷，未從實(shí)際情況出發(fā)，沒(méi)有抓住問(wèn)題的本質(zhì)特征. 要知道本題中x的系數(shù)含有虛數(shù)，用Δ≥0的思路進(jìn)行求解就相當(dāng)于比較虛數(shù)的大小，學(xué)生單純地考慮實(shí)數(shù)根卻忽略了虛數(shù)的性質(zhì)，由于基礎(chǔ)知識(shí)掌握不牢而造成了錯(cuò)誤.

錯(cuò)解2：將原式x2+（1+2i）x-（3m-1）i=0轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)形式，則有x2+x+（2x-3m+1）i=0，然后令x2+x和2x-3m+1都為0.

分析：本題中x2+x是實(shí)數(shù)，然2x-3m+1為虛數(shù)，因此應(yīng)用兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的思路進(jìn)行求解是錯(cuò)誤的.

這樣，找到錯(cuò)因后，學(xué)生解題就可以設(shè)純虛數(shù)m=ai，其中a≠0且a∈R，則有x2+x+3a+（2x+1）i=0，求得m=i.

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤并不可怕，可怕的是學(xué)生不找錯(cuò)因，只是盲目地訂正，這樣的學(xué)習(xí)方式是機(jī)械的，很難學(xué)懂吃透，容易再錯(cuò). 因此，教學(xué)中必須合理地應(yīng)用好錯(cuò)誤，引導(dǎo)學(xué)生分析出自己的認(rèn)知漏洞，從而有效地進(jìn)行查缺補(bǔ)漏，強(qiáng)化理解.

總之，解題雖然是高中階段應(yīng)用數(shù)學(xué)的直接表現(xiàn)形式，但并不是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全部，教師要發(fā)揮好學(xué)生的主體地位，通過(guò)有效的拓展和延伸，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)潛移默化地得到提升.