肖雄偉

對于一些較為復(fù)雜的立體幾何問題，尤其是與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的立體幾何問題，采用常規(guī)的方法很難使問題獲解，此時(shí)需轉(zhuǎn)換解題的思路，構(gòu)造空間向量，利用向量法來求解.那么如何運(yùn)用向量法來解答立體幾何問題呢？下面結(jié)合具體的例題來探討運(yùn)用向量法求解立體幾何中的四種問題的思路.

一、角度問題

立體幾何中的角度問題，通常是指異面直線所成的角、二面角、直線與平面所成的角問題.解答此類問題，需先根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，建立空間直角坐標(biāo)系，然后求得各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的方向向量、平面的法向量，再根據(jù)向量的數(shù)量積公式???來

求解.

例1.

首先結(jié)合題目中所給的條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn) P 的坐標(biāo)，并求得直線 AP 和直線 BC 的方向向量，便可根據(jù)向量的數(shù)量積公式求得異面直線所成的角的范圍.在根據(jù)向量的數(shù)量積公式求立體幾何中的角度問題時(shí)，要注意異面直線所成的角的范圍為???，二面角的范圍為 （0，π] ，直線與平面所成的角的范圍為

二、距離問題

立體幾何中的距離問題十分常見，常見的考查形式有：求兩點(diǎn)之間的距離、求點(diǎn)到平面的距離、求平面與平面之間的距離、求直線到平面的距離等.一般地，可將平面與平面之間的距離、求直線到平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離、兩點(diǎn)之間的距離.運(yùn)用向量法求兩點(diǎn)之間的距離，需在建立空間直角坐標(biāo)系后，借助向量的模的公式 |a| = x2 + y2 求解;運(yùn)用向量法求點(diǎn)到平面的距離，需求得過點(diǎn)的斜線 AP 的方向向量與平面的法向量?n?，然后利用數(shù)量積公式???，求得點(diǎn)到平面的距離??.

例 2.

由于 P、Q 點(diǎn)均為動(dòng)點(diǎn)，且無法確定其具體的位置，所以建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn) P 、Q 的坐標(biāo)，并求出各個(gè)條線段的方向向量，根據(jù)PQ 與AC 的位置關(guān)系建立關(guān)系式，確定參數(shù)的取值范圍，然后根據(jù)向量的模的公式求得 PA 的長的表達(dá)式，便可根據(jù)參數(shù)的取值范圍求得 PA 的取值范圍.

三、面積問題

立體幾何中的面積問題，通常要求根據(jù)已知條件求幾何體的表面積、某個(gè)三角形的面積、幾何體的某一個(gè)側(cè)面的面積.此類問題側(cè)重于考查簡單空間幾何體的表面積公式、簡單平面幾何圖形的面積公式.運(yùn)用向量法求解立體幾何中的面積問題，需在建立空間直角坐標(biāo)系后，求得各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)、向量的模，然后根據(jù)簡單空間幾何體的表面積公式、簡單平面幾何圖形的面積公式進(jìn)行求解.

例 3.

解答本題，需首先根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)出動(dòng)點(diǎn) Q 的坐標(biāo)，然后求得二面角 Q - PD - A 的兩個(gè)半平面的法向量，求得其二面角，從而明確點(diǎn) Q 的軌跡以及分割后的圖形，再根據(jù)三角形和梯形的面積公式進(jìn)行求解.

四、體積問題

立體幾何中的體積問題側(cè)重于考查三棱柱、球體、四棱錐等簡單幾何體的體積公式.運(yùn)用向量法解答體積問題，需通過坐標(biāo)運(yùn)算求出幾何體的邊長、高、底面的面積，再將其代入體積公式進(jìn)行運(yùn)算.

例4.

因 為 △BCD 的 面 積 為 定 值 ，所 以 求 三 棱 錐P - BCD 的體積的最大值，只需求得三棱錐 P - BCD的高的最大值，通過向量坐標(biāo)運(yùn)算求得動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程，便可根據(jù)圖形找到三棱錐 P - BCD 的高的最大值.

可見，運(yùn)用向量法解答立體幾何中的角度問題、距離問題、面積問題、體積問題，關(guān)鍵在于建立合適的空間直角坐標(biāo)系，構(gòu)造出向量，將問題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算問題來求解.同學(xué)們在解答立體幾何問題時(shí)，要學(xué)會根據(jù)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征建立空間直角坐標(biāo)系，構(gòu)造出空間向量，以便轉(zhuǎn)換解題的思路，提升解題的效率.

（作者單位：江蘇省江安高級中學(xué)）