如何比較指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)式的大小

高晨予　馮帆

比較函數(shù)式大小問題的難度一般不大，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)在各類試卷中，其中比較指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)式的大小問題較為復(fù)雜，此類問題側(cè)重于考查指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、圖象以及運(yùn)算性質(zhì).比較函數(shù)式大小的常用方法有作差比較法、作商比較法、函數(shù)性質(zhì)法、中價(jià)值法、公式法等.本文重點(diǎn)談一談比較指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)式大小的兩種常用途徑.

一、利用函數(shù)的單調(diào)性

我們知道，指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)具有單調(diào)性，當(dāng)0x（a>0，且a≠1）在R上單調(diào)遞減;當(dāng)a>1時(shí)，指數(shù)函數(shù)y=a^x在R上單調(diào)遞增.當(dāng)0ax（a>0，且a≠1）在（0，+∞）上單調(diào)遞減;當(dāng)a>1時(shí)，指數(shù)函數(shù)y=log_ax在（0，+∞）上單調(diào)遞增.在比較指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)式的大小時(shí)，可將兩個(gè)函數(shù)轉(zhuǎn)化為底數(shù)、指數(shù)、真數(shù)相同的指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)式，再根據(jù)指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來進(jìn)行比較.

例1.已知a>b，則（ ???）.

例2.（2020年全國I卷理科，第12題）若2^a+log₂a=4^b+2log₄b，則（ ???）.

A.a>2b ???B.a<2b ???C.a>b²D.a2

分析：不等號(hào)兩邊的式子都是一個(gè)指數(shù)函數(shù)式和一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)式的和，其結(jié)構(gòu)相同，于是將其變形2^a+log₂a=4^b+2log₄b=2^2b+log₂b，構(gòu)造同底數(shù)的函數(shù)式f（x）=2^x+log₂x，再討論f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，便可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性來比較a、2b的大小，從而選擇出正確的選項(xiàng).

解：設(shè)f（x）=2^x+log₂x，則f（x）為增函數(shù)，

因?yàn)?^a+log₂a=4^b+2log₄b=2^2b+log₂b

所以f（a）-f（2b）=2^a+log₂a-（2^2b+log₂2b）

所以f（a）

當(dāng)b=1時(shí)，f（a）-f（b₂）=2>0，

此時(shí)f（a）>f（b₂），有a>b²，

當(dāng)b=2時(shí)，f（a）-f（b₂）=-1<0，此時(shí)f（a）2），有a2，所以C、D兩項(xiàng)錯(cuò)誤.故本題選B答案.

有些要比較大小的式子很復(fù)雜，但是仔細(xì)一看就會(huì)發(fā)現(xiàn)其中有很多重復(fù)或者是相似的地方，可從中找到一些“端倪”，據(jù)此構(gòu)造新函數(shù)，根據(jù)新函數(shù)的單調(diào)性來比較函數(shù)式的大小.

二、取中間值

運(yùn)用中間值法比較兩個(gè)指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)式的大小，通常要與放縮法相結(jié)合，即以中間值作為“橋梁”，根據(jù)不等式的傳遞性來將要比較的式子進(jìn)行放縮，以便快速比較出各個(gè)指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)式與中間值的大小.

例3.已知a=1og₅2，b=log_0.50.2，c=0.5^0.2，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ???）.

A.a

b=log_0.50.2<1og_0.50.25=2，

故A選項(xiàng)正確.

相比較而言，第一種途徑較為簡單，且較為常用，第二種途徑較為靈活，且較為復(fù)雜，常用于求解較為復(fù)雜的，且沒有任何共同點(diǎn)的函數(shù)問題.在比較指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)式的大小時(shí)，同學(xué)們要有敏銳的觀察力和較強(qiáng)的分析能力，這樣才能根據(jù)函數(shù)式的特點(diǎn)快速選出合適的方法來求解.