怎樣用參數(shù)法解答與動(dòng)點(diǎn)、有關(guān)的問(wèn)題

張立駿　李志輝

運(yùn)用參數(shù)法求解與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題的步驟如下：

1.根據(jù)曲線的方程、直線的方程引入?yún)?shù)，設(shè)出其參數(shù)方程;

2.將曲線、直線上的動(dòng)點(diǎn)用參數(shù)表示出來(lái);

3.根據(jù)題意，將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程、公式中，求得目標(biāo)式;

4.通過(guò)三角恒等變換化簡(jiǎn)目標(biāo)式，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)或通過(guò)消參，求得問(wèn)題的答案.

分析：根據(jù)橢圓的參數(shù)方程可設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)（αcosθ，bsinθ），便能根據(jù)直線的斜率公式分別求得A₁P、A₂P、A₁Q、A₂Q的斜率，建立關(guān)于θ的關(guān)系式，通過(guò)消參即可求出Q點(diǎn)的軌跡方程.

又P點(diǎn)是橢圓E上的任意一點(diǎn)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（acosθ，bsinθ）.

因?yàn)锳₁Q⊥A₁P，A₂Q⊥A₂P，

運(yùn)用參數(shù)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，需用參數(shù)表示出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，將其視為已知的點(diǎn)，便可根據(jù)已知條件快速建立關(guān)于該點(diǎn)的關(guān)系式，再消去參數(shù)即可解題.

例2.若點(diǎn)P在橢圓7x²+4y²=28上運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)P到直線3x-2y-16=0的最大距離.

則點(diǎn)P到直線3x-2y-16=0的距離為

而-1≤cos（θ-φ）≤1，

通過(guò)引入?yún)?shù)，便將與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的圓錐曲線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題，利用三角函數(shù)中的基本公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，就能根據(jù)三角函數(shù)的有界性求得最值.這樣可以大大地簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程.

可見引入?yún)?shù)解答與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題，不僅能轉(zhuǎn)換解題的思路，還能簡(jiǎn)化運(yùn)算，提升解題的效率.除了上述例題中涉及的動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題、距離問(wèn)題之外，與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的三角形周長(zhǎng)、面積問(wèn)題也都可采用參數(shù)法來(lái)求解.