陳冰

對于較為復(fù)雜的不等式，如不等式中含有指數(shù)式、對數(shù)式、根式、絕對值、復(fù)合函數(shù)式等，我們常用構(gòu)造函數(shù)法來求證.這就需要根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造合適的函數(shù)模型，將不等式證明題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題來求解.那么，如何構(gòu)造出合適的輔助函數(shù)？下面介紹構(gòu)造函數(shù)的兩個技巧.

一、通過作差構(gòu)造函數(shù)

有些不等式兩邊的式子均較復(fù)雜，此時可嘗試將不等式兩側(cè)的式子作差，如將f（x）≤g（x）變形為f（x）-g（x）≤0，再設(shè)h（x）=f（x）-g（x），根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，或?qū)Ш瘮?shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性，即可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得最值，只要證明h（x）_max≤0，即可證明不等式.對于不等式f（x）≥g（x），可將其轉(zhuǎn)化為證明（f（x）-g（x））_min≥0;對于不等式f（x）>g（x），可將其轉(zhuǎn)化為證明（f（x）-g（x））_min>0;對于不等式f（x）>g（x），可將其轉(zhuǎn)化為證明（f（x）-g（x））_max<0.

（1）先證：當(dāng)x>-1時，ln（x+1）≤x.

所以，當(dāng)-10，即函數(shù)f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增;當(dāng)x>0時，f′（x）<0，即函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，可知函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上的最大值為f（x）_max=f（0）=0，

因此，當(dāng)x>-1時，f（x）≤f（0）=0，即ln（x+1）-x≤0，

所以ln（x+1）≤x.

當(dāng)-10時，g′（x）>0，即函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，可知函數(shù)g（x）在（-1，+∞）上的最小值為g（x）_min=g（0）=0，因此，當(dāng)x>-1時，g（x）≥g（0）=0，

二、通過換元構(gòu)造函數(shù)

若不等式中含有復(fù)合函數(shù)式、絕對值、根式以及多次出現(xiàn)的式子，就可引入新變量，將復(fù)合函數(shù)中的一部分、絕對值符號內(nèi)部的式子、根號下的式子、多次出現(xiàn)的式子用新變量替換，通過換元來構(gòu)造函數(shù)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，即可證明不等式成立.

即證當(dāng)x∈（0，+∞）時，ln（x+1）>x²-x³恒成立.

設(shè)f（x）=ln（x+1）-x²+x³，

可知當(dāng)x∈（0，+∞）時，f′（x）>0，即函數(shù)f（x）在

（0，+∞）上單調(diào)遞增，

所以f（x）>f（0）=0，即ln（x+1）-x²+x³>0，

所以ln（x+1）>x²-x³.

運用構(gòu)造函數(shù)法解答較為復(fù)雜的不等式證明問題，關(guān)鍵在于根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點，對不等式進行合理的變形，如作差、換元，以便順利構(gòu)造出合適的函數(shù)模型.同學(xué)們在證明不等式時要利用好函數(shù)這個“工具”，以提升解題的效率.