嚴勇
[摘? 要] 隨著時代的進步,現(xiàn)代教學(xué)中越來越重視學(xué)生獨立思考能力和自主探究能力的培養(yǎng),而這些能力的培養(yǎng)離不開思維能力的培養(yǎng). 直覺思維和邏輯思維作為數(shù)學(xué)思維的兩種基本形式自然應(yīng)引起師生的足夠重視. 文章借助同課異構(gòu)課例的課堂教學(xué)活動呈現(xiàn)了兩種基本形式的辯證關(guān)系,以期兩者可以相互補充、相互促進,從而引導(dǎo)學(xué)生深入問題本質(zhì)理解知識、理解數(shù)學(xué),進而實現(xiàn)思維能力和學(xué)習(xí)能力的全面提升.
[關(guān)鍵詞] 直覺思維;邏輯思維;辯證關(guān)系
直覺感悟是邏輯分析、邏輯推理的起點和風(fēng)向標,其為邏輯演繹提供了動力源,不過直覺感悟所產(chǎn)生的結(jié)果有一定的模糊成分,存在一定的主觀性,因此需要借助邏輯思維進行澄清和確認,從而使直覺所產(chǎn)生的結(jié)果更加深入、具體、準確. 同時,通過邏輯分析和推理往往可以挖掘出一些潛在的信息,其在一定程度上也為直覺思維的產(chǎn)生提供了必要的、可靠的條件. 可見,兩者形成了辯證的互補關(guān)系. 然在現(xiàn)實教學(xué)中,大多師生往往重視邏輯思維能力的培養(yǎng),而忽視了直覺思維的價值,從而使得學(xué)生在分析和解決實際問題時顯得力不從心. 正如新課程標準要求的那樣,既要重視學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng),又要重視學(xué)生觀察能力、直覺能力和想象能力的提升,可見直覺思維的培養(yǎng)已成為新課程的一項重要任務(wù).
筆者以具體解題教學(xué)為例,呈現(xiàn)了直覺思維與邏輯思維協(xié)同發(fā)展對深化數(shù)學(xué)知識理解、促進解題能力提升的重要應(yīng)用,以期共鑒!
[?]同課異構(gòu)課例
學(xué)生思維能力的發(fā)展主要依賴“用”,教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生將直覺思維和邏輯思維應(yīng)用于具體的學(xué)習(xí)實踐中,便于學(xué)生能夠更好地理解與把握問題的本質(zhì),從而順利求解問題. 在具體教學(xué)實施過程中,教師要認真?zhèn)湔n,不僅要熟悉教材內(nèi)容,還要熟悉學(xué)生,結(jié)合具體學(xué)情有針對性地取舍、合理地安排,從而達到較好的教學(xué)效果,促進學(xué)生思維能力不斷提升. 筆者在一次公開課中,有幸地聽取了兩位教師關(guān)于同一問題的講解過程,現(xiàn)呈現(xiàn)給讀者,希望各位在具體的教學(xué)實踐活動中能夠有所感悟,切身體會直覺思維與邏輯思維的辯證關(guān)系.
1. 師甲教學(xué)實錄
例1 求證:++…+ 師甲:大家思考一下,看看例1這個不等式該如何證明. (聽課班級學(xué)生的基礎(chǔ)較為薄弱,教師沒有任何鋪墊就讓學(xué)生完成本題的證明顯然遇到了障礙,教師給出問題后,沒有得到學(xué)生的回應(yīng)) 師甲:在解題時大家都會受求簡思維模式的影響,總是想將左邊進行化簡,你們是不是也是這樣想的呢? 生1:是的,不過沒有找到簡化的方案,沒有得到具體的表達形式. 師甲:既然不能將不等式的左邊轉(zhuǎn)化成我們想要的形式,那么接下來需要怎么辦呢?(學(xué)生深思,但并沒有找到合理的解決方案) 師甲:既然從左邊化簡難以入手,我們不妨轉(zhuǎn)換一下思路,從右邊進行建構(gòu),那么lnn如何能夠轉(zhuǎn)化成形如左邊的表達式呢?如何將lnn進行分解呢?如果將lnn分解為一個數(shù)列的前n項和的形式,是否能夠?qū)崿F(xiàn)呢?(教師通過問題的引導(dǎo)為學(xué)生逐漸掃清思維障礙) 生2:我認為可以這樣進行轉(zhuǎn)化,因為lnn=ln · · ·…· ·=ln+ln+…+ln+ln,于是只要證明++…+ 師甲:你們有好的方法來證明 生3:可以將不等式 1+ ,設(shè)=x,則由n≥2,n∈N,知0 通過師生交流雖然解決了問題,然從課堂反饋和課堂活動來看,學(xué)生探究的積極性并沒有被激發(fā),而且解決問題的關(guān)鍵幾步都是教師通過灌輸?shù)姆绞浇o出的,這也就失去了問題情境啟發(fā)學(xué)生思維、培養(yǎng)學(xué)生思維創(chuàng)造性的價值了. 2. 師乙教學(xué)實錄 師乙在教學(xué)過程中,同樣讓學(xué)生獨立思考并尋找解題方案,然根據(jù)課堂反饋來看,對關(guān)鍵步驟的處理學(xué)生還是有些迷茫,因此師乙做了如下引導(dǎo): 師乙:《西游記》大家看過嗎? 生齊聲答:看過. 師乙:孫悟空與一群妖怪作戰(zhàn)時,用了什么技能? 生齊聲答:分身術(shù). 師乙:很好,他只要從身上拔下幾根猴毛一吹,就變成了同等的分身,這樣可以與妖怪一對一作戰(zhàn). 結(jié)合孫悟空打斗的場面聯(lián)想不等式,你會想到什么? 生4:我想到了既然剛剛的簡化行不通,不如像悟空一樣把整體進行分解. 即把不等式右邊的lnn看作悟空,左邊的各項看成妖怪,可以將lnn轉(zhuǎn)化為與,,…,同樣多的項數(shù)的和,然后一對一比較,最終證明不等式成立. 師乙:說得非常好!那么生4的這個想法如何實現(xiàn)呢?悟空該如何分身呢? 生5:將lnn變形為一個數(shù)列的前n項和的形式. 可設(shè)lnn=a+a+…+a+a,由n≥2,n∈N,知ln(n-1)=a+a+…+a,a=lnn-ln(n-1)=ln,于是lnn=ln+ln+…+ln+ln,即要證明 接下來的探究過程與上述基本雷同,這里就不再闡述了. 從以上課堂反饋來看,通過情境的引入,激發(fā)了學(xué)生探究的熱情,順應(yīng)了學(xué)生思維發(fā)展,使不等式的得出更加順暢,有助于學(xué)生創(chuàng)造性思維的發(fā)展. 不過,值得注意的是,在師乙的教學(xué)過程中,其實生5的思維活動是不嚴謹?shù)?,?所設(shè)的lnn=a+a+…+a+a共有n項,而原不等式是n-1項,因此并不是一對一的關(guān)系,可見思維活動結(jié)果存在一定的瑕疵,師乙在此次教學(xué)中并沒有及時地指出來,使教學(xué)過程留有遺憾. 數(shù)學(xué)是一門嚴謹?shù)目茖W(xué),教學(xué)過程中要關(guān)注思維的嚴謹性,切勿因為沒有影響解題效果就放之任之,久而久之容易造成思維混亂,不利于思維的發(fā)展. 基于以上問題,師乙后來進行了一些改變,引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探究: 例2 求證:++…+<(n≥2,n∈N). 問題給出后,大多數(shù)學(xué)生按照生5的思路求解,設(shè)不等式的右邊=a+a+…+a+a,由n≥2,n∈N,知=a+a+…+a,兩式相減得a=,代入原不等式,即證明++…+<++…+成立,即證明<成立. 分析至此,學(xué)生會發(fā)現(xiàn)不等式<顯然是不成立的. 生6:是不是題目出錯了呢?(很多學(xué)生都有這樣的疑惑) 生7:原不等式是成立的,不過我沒有用生5的方法證明. 師:說說你是怎么求解的? 生7:因為<=1-,<=-,…,<=-,將式子的左右兩邊分別相加,得++…+<1-+-+…+-=1-<1-=. 由此可知不等式是成立的. 師:很好,從生7的證明過程來看,題目是沒有問題的,難道剛剛的解題方法失效了嗎?大家仔細想一想到底哪里出了問題呢?(學(xué)生陷入沉思) 生8:我發(fā)現(xiàn)問題了,原來不等式的左邊是n-1項之和,而我們剛剛設(shè)的是n項之和. 生9:那證明例1的時候也是這樣設(shè)的怎么沒有問題呢? 生8:因為例1中l(wèi)nn=ln+ln+…+ln+ln沒有嚴格執(zhí)行l(wèi)nn=a+a+…a+a的形式,其實是從n=2開始取值的,依然是n-1項. (聽到生8的解釋,大家恍然大悟) 師:那么例2是否可以按照剛剛的解題思路繼續(xù)求解呢? 生8:可以. 設(shè)=a+…+a+a,則由n≥2,n∈N,知=a+…+a,兩式相減,得a=. 又=++…++,且>0,所以++…+<,于是只要證明<(n≥2,n∈N)成立即可. 這個不等式顯然成立,因此原不等式成立. 這樣,借助反例引發(fā)了認知沖突,學(xué)生不僅發(fā)現(xiàn)了在例1證明過程中存在的不足,培養(yǎng)了思維的嚴謹性,而且在此過程中學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)、自我探究、自我解決,培養(yǎng)了思維的深刻性,提升了學(xué)生實際解決問題的能力. [?]教學(xué)反思 在師甲的教學(xué)過程中,學(xué)生運用直覺思維通過觀察聯(lián)想到了對數(shù)的運算性質(zhì),從而將lnn分解成了n-1項的和;師乙的教學(xué)過程則是將直覺思維轉(zhuǎn)化為邏輯思維,運用了逆向思維. 前者更有利于發(fā)現(xiàn)活動,而后者更具說服力,兩種解法沒有優(yōu)劣之分,而是相輔相成. 在教學(xué)過程中教師要兩者兼顧,讓直覺思維與邏輯思維相伴而行,這樣既能讓學(xué)生認清問題的本質(zhì),又能發(fā)散學(xué)生的思維,從而促進學(xué)習(xí)能力的不斷提升. 另外,在解題中發(fā)現(xiàn),師甲在教學(xué)時采用了開門見山式的直接講授模式,其在關(guān)鍵步驟的處理上以師為主,這樣的解題活動是機械的,只能培養(yǎng)學(xué)生解題技能和解題技巧,并沒有較好地啟發(fā)學(xué)生的思維. 對于師乙,當(dāng)學(xué)生遇到思維障礙時,借助故事情境誘發(fā)學(xué)生思考,促使學(xué)生采用逆向思維去分解lnn,在此過程中充分地調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,然若細細品味會發(fā)現(xiàn)其實質(zhì)與師甲相同,也是一種奉獻的方法,探究的層次不夠清晰,對于一些基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生來講依然是霧里看花. 其實,當(dāng)學(xué)生的思維受阻時,教師可以通過創(chuàng)設(shè)一些小坡度的問題引導(dǎo)學(xué)生去自主探究和發(fā)現(xiàn),如讓學(xué)生解不等式+<,引導(dǎo)學(xué)生將變形為+=+,從而將不等式變形為+<+,引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)典型特例的結(jié)構(gòu)特點,產(chǎn)生“分項比較大小”的數(shù)學(xué)思想方法,進而通過由淺入深、由現(xiàn)象到本質(zhì)的逐層引導(dǎo),幫助學(xué)生理解并掌握解題方法,形成解題能力. 總之,在解題教學(xué)中,技能與技巧固然重要,然讓學(xué)生在解題過程中產(chǎn)生數(shù)學(xué)觀念、形成數(shù)學(xué)思想方法更為重要,因此在具體教學(xué)活動中,教師要改變灌輸式的教學(xué)模型,善于從問題的本源出發(fā),通過循序漸進的引導(dǎo)讓學(xué)生真正地理解數(shù)學(xué),從而形成正確的解題方法,促進解題能力提升.