淺談以“問題探究”為主基調的高效數(shù)學課堂的建構

胡紅

[摘? 要] 問題探究式教學模式是一種重要的數(shù)學教學模式，其將教學目標、教學設計等內容逐漸問題化，以此激發(fā)學生學習興趣、誘發(fā)數(shù)學思考. 在日常教學中，教師應為學生營造一個自由的、寬松的問題探究環(huán)境，讓學生在解決問題的過程中去思考、去合作、去交流，以此提升學生的綜合素養(yǎng).

[關鍵詞] 問題探究;數(shù)學思考;綜合素養(yǎng)

教學中教師會結合具體學情提出問題，從而以問題為導向啟發(fā)學生進行數(shù)學探究，以此啟迪學生的數(shù)學思維，激發(fā)學生的學習興趣，提高學生的課堂參與度. 教學中教師可以依據(jù)教學內容從不同層面進行設計，如可以從知識與技能、過程與方法層面進行設計，也可以從情感和價值觀目標層面進行設計. 不過，無論從何種層面設計都應從學生的實際學情出發(fā)，要以發(fā)展學生為目標，這樣才能發(fā)揮問題探究教學模式的優(yōu)勢，讓學生在探究、交流、合作中有所發(fā)展、有所成長.

筆者教學“兩條直線的平行與垂直”第一課時，以問題探究為主基調進行了教學設計，旨在探究中讓學生掌握數(shù)學研究方法，提升數(shù)學素養(yǎng).

[?]教學設計

1. 問題引領探究

師：如何用符號語言來表示兩直線l，l平行和垂直？

生1：l平行于l：l∥l;l垂直于l：l⊥l.

師：如圖1所示，l∥l?α=α. 若BC∥EF，則△ABC與△DEF有什么關系？

生2：△ABC∽△DEF.

師：已知兩點P（x，y），Q（x，y），當x≠x時，直線PQ的斜率k是多少？它有什么幾何意義呢？

生3：PQ的斜率k=，它表示直線的傾斜程度.

師：如圖2所示，直線PQ的斜率k還可以如何表示呢？

生4：k=.

師：圖3中的k呢？

生5：k=-.

師：很好，我們知道斜率刻畫了直線的傾斜程度，那么是否可以用斜率來研究兩條直線平行呢？（生不語）

師：設直線l，l的斜率都存在，直線l：y=kx+b，直線l：y=kx+b. 若l∥l，猜一猜k和k是否存在什么關系.

生6：我猜想，若l∥l，則k=k.

師：它的逆命題是——

生6：若k=k，則l∥l.

師：很好，以上兩個猜想是否成立呢？

教師預留充足的時間讓學生合作交流，從而在交流中不斷地完善自己，優(yōu)化認知. 幾分鐘后，各小組已經有了探究結果，教師鼓勵學生交流展示.

生7：我們小組是這樣推理的：如圖4所示，已知l∥l，任意作直線m∥x軸，分別交直線l，l于點A，D，在直線l，l分別有點B，E，過點B作BC⊥m于C，過點E作EF⊥m于F. 因為l∥l，所以∠BAC=∠EDF，從而△BAC∽△EDF，故=，即k=k. 反之，若k=k，即=，則△BAC∽△EDF，所以∠BAC=∠EDF，從而l∥l.

師：很好，對于圖5，結論如何？若k=k=0，結論又如何呢？

設計意圖：從學生熟悉的舊知出發(fā)，將平面幾何和解析幾何建立聯(lián)系. 教學中教師鼓勵學生進行合作探究，引導學生從已有經驗出發(fā)——從傾斜角為銳角的情況出發(fā)，通過構造相似三角形證明結論. 為了誘發(fā)學生深度思考，學生給出證明過程后，教師繼續(xù)追問，讓學生思考當傾斜角為鈍角時結論又如何，以此通過分類討論，培養(yǎng)學生思維的嚴謹性.

師：根據(jù)以上分析，你能夠得到什么？（引導學生進行總結歸納）

生8：兩直線l，l不重合且斜率存在，若它們互相平行，則它們的斜率相等;反之，若兩條直線的斜率相等，則它們互相平行. （定理1）

師：說得很好，如何用符號語言表達呢？

生9：若兩直線l，l不重合且斜率存在，則l∥l?k=k.

師：總結得很好，對于定理1成立的條件有兩個，一是兩直線不重合，二是兩直線的斜率存在. 若只滿足其中一個條件，你能得到什么呢？

生10：若l，l的斜率都不存在?l∥l.

設計意圖：引導學生對以上探究過程進行總結歸納，從而抽象出定理，培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象能力. 為了讓學生進一步理解定理，并能夠應用定理解決問題，教師引導學生對定理的成立條件進行深度探究，以此深化理解，優(yōu)化認知結構.

2. 聯(lián)想拓展引申

師：以上我們用斜率研究了兩條直線的平行關系，猜想一下，是否可以用斜率繼續(xù)研究兩條直線的垂直關系呢？

生齊聲答：可以.

師：很好，現(xiàn)在繼續(xù)我們的探究之旅. 如圖6所示，在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD是BC邊上的高，則Rt△ABD與Rt△CAD有什么關系？

生11：Rt△ABD∽Rt△CAD，且AD2=BD·DC.

設計意圖：從學生的已有認知出發(fā)，為新知的探究鋪設思維臺階，提升學生的課堂參與度.

師：思考一下，若兩直線l，l的斜率都存在，且分別為k，k，則l⊥l?_____.

為了便于學生進行溝通交流，教師將以上問題進行了轉化，給出了如下問題：如圖7所示，l⊥l于P，作直線m分別交l，l于點R，S，再作PQ⊥m于Q，由此你能得到什么？

生12：根據(jù)上面分析，可得PQ2=RQ·QS.

師：很好，根據(jù)斜率的幾何意義，你還能得到什么呢？

生13：k=，k=-.

師：很好，根據(jù)以上結果，你能得到什么呢？（學生積極思考）

生14：我知道了，k·k=·

-= -1.

師：很好，很棒的發(fā)現(xiàn). 那么，若k·k=-1，是否可以得到l⊥l呢？

這樣在問題的引導下，學生通過積極思考，得到了定理2：兩直線l，l的斜率都存在，若兩直線互相垂直，則兩直線的斜率之積等于-1;反之，若它們的斜率之積等于-1，那么兩直線垂直. 用符號語言表示為l⊥l?k·k=-1（直線l，l的斜率都存在）.

得到定理2后，教師又引導學生對定理成立的條件進行了深度剖析，以此讓學生明晰定理的內涵及外延. 通過對定理2的拓展容易發(fā)現(xiàn)：若兩直線中的一條直線的斜率不存在，那么與之垂直的直線的斜率為0. 這樣通過對定理成立條件的適度剖析及拓展，培養(yǎng)了思維的全面性、深刻性，為接下來的靈活應用奠定了堅實的基礎.

3. 應用鞏固提升

經歷以上自主探究的過程，學生總結歸納出了兩個定理，為了讓學生感悟定理的應用價值，教師精心設計了如下練習：

練習1：證明順次連接A（-1，2），B（3，4），C（4，2），D（2，1）四點所得的四邊形是直角梯形.

練習2：過點A（1，2）且與直線l：2x+y-5=0平行的直線是______.

練習3：過原點作直線l的垂線，垂足為（1，2），則直線l的方程為______.

練習4：已知直線l：ax-y+2a=0與l：（2a-1）x+ay+a=0互相垂直，則a=______.

設計意圖：借助具體練習及時檢測學生的學習效果，以便教師更好地了解學生，并根據(jù)學生的反饋調整教學方案，從而讓學生將新知學懂學會，并建立完整的認知體系. 對于練習1，其來自課本例習題的改編，既應用了兩直線平行的等價命題，又應用了兩直線垂直的等價命題，同時又滲透了利用解析法證明平面幾何問題的方法，可謂是一舉多得. 對于其他3個練習，主要考查學生對定理的掌握情況，應用時需要關注定理的應用條件及其特例. 練習中充分發(fā)揮學生的主體作用，讓學生通過具體操作更好地了解自己，體驗成功的喜悅，激發(fā)數(shù)學學習信心.

4. 總結歸納提升

師：說一說，這節(jié)課都有什么收獲？（教師預留時間讓學生回顧、反思、總結）

生15：我們學習了兩個定理. 定理1：l∥l?k=k（l，l不重合，且k，k都存在）;定理2：l⊥l?k·k=-1（k，k都存在）.

生16：注意兩個特例：①若l，l不重合，且k，k斜率都不存在，則l∥l;②已知兩直線l，l互相垂直，若其中一條直線的斜率不存在，那么另外一條直線的斜率為0.

……

師：大家總結得都非常好，應用時不能忽略應用條件，當心特例，同時要注意數(shù)形結合、分類討論等數(shù)學思想方法的靈活運用.

設計意圖：通過小結，引導學生對課堂內容進行反思回顧，總結歸納出本節(jié)課的重難點，并提煉出蘊含其中的數(shù)學思想方法，從而讓學生可以更加系統(tǒng)地、全面地掌握本節(jié)課的內容，建立起新的認知結構，進一步提高學生的認知水平，提升學生的數(shù)學抽象素養(yǎng).

[?]教學反思

本節(jié)課以“問題”為內驅力，充分地調動了學生參與的積極性，這樣學生在問題的啟發(fā)和引導下，不僅掌握了新知，而且掌握了數(shù)學的研究方法，感悟了數(shù)學思想方法的應用價值，提升了學生的學習品質. 問題探索式教學模式雖然表面上多消耗了一些時間，但是其達到的效果是“灌輸”課堂無法比擬的，其有助于學生提高自主學習能力，有助于學生優(yōu)化認知結構，有助于學生長遠發(fā)展. 因此，教師應從教學實際出發(fā)，為學生量身定制探究問題，以此讓學生的思維在問題的引領下能夠得到質的提升.

本節(jié)課教學中，教師關注學生的發(fā)展，重視數(shù)學課堂文化的建構，為學生營造了一個平等、和諧的學習氛圍，引導學生通過獨立思考、互動探究、對話交流等學習活動更好地理解了數(shù)學，提升了數(shù)學學習興趣. 教師從學生熟悉的直線垂直和平行出發(fā)，在問題的啟發(fā)和引導下，充分暴露了學生的思維過程，讓學生感悟到由形到數(shù)的發(fā)展過程，揭示了數(shù)形結合的本質，提高了數(shù)學教學的品質.

總之，為了更好地教學，提高教學品質，教師應精心設計適合學生發(fā)展的問題情境，以此讓學生的學習能力和數(shù)學素養(yǎng)在問題的引領下得到全面提升.