從“充分與必要”視角辨析一題解法的是與非

摘 要：從充分與必要視角對一道題目的多種解法進行正誤辨析，以示解題中要對充分與必要條件加以高度重視，認識要深刻，理解要到位，要發(fā)現(xiàn)規(guī)律、揭示本質(zhì)，才能真正掌握數(shù)學知識，提高數(shù)學解題能力，提升數(shù)學學科核心素養(yǎng).

關鍵詞：充分與必要;解題反思;正誤辨析

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2022）22-0005-03

“問題是數(shù)學的心臟”，找到答案只是數(shù)學解題的前一半，更重要的是解題后的反思.“不思故無惑，不惑故無問，不問故無得.”為什么是正確的，為什么是錯誤的，錯在哪里呢？對這些“為什么”的追問一定可以大大提升學生的分析問題、解決問題的能力.反思才能悟出其中的方法、思想;反思才能悟出問題的真本質(zhì)、真規(guī)律、真道理.

以下從充分與必要視角對一道題目的多種解法進行正誤辨析，以示解題中要對充分與必要條件加以高度重視，理清思路，認識到位，理解深刻，要發(fā)現(xiàn)規(guī)律、揭示本質(zhì)，才能真正掌握知識，提高解題能力，提升數(shù)學素養(yǎng).

題目 在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，若b2=ac，求cosB的取值范圍.

解法1 cosB=a2+c2-b22ac≥2ac-b22ac=2ac-ac2ac=12，當且僅當a=c時取“=”.

又在銳角△ABC中，0

所以cosB的取值范圍為[12，1）.

辨析 以上解法對嗎？為什么？銳角△ABC與0

辨析 很多人認為以上解法是正確的，但事實上是錯誤的.這又是為什么？細想b2=ac這個條件用到位了嗎？沒有用到位，沒有用充分！由b2=ac可知b不是最長邊也不是最小邊，不妨設a≤b≤c，則A≤B≤C.但A≤B≤C推不出b2=ac啊，b2=ac內(nèi)在的本質(zhì)關系未充分利用，原來也是條件不等價變形造成的錯誤！利用已知條件的必要條件A≤B≤C來解答就得出問題的解，這與解法1類似，往往會擴大所求的取值范圍.

辨析 cosB的最大范圍為[-1，1]，所以cosB范圍不可能在[12，+@），不是都利用了b2=ac的準確數(shù)量關系了嗎？不是也關注了條件的轉(zhuǎn)化要等價嗎？又錯在哪里？不斷追問，問個水落石出！原來a≤b≤c這個條件還沒用到位，由a≤b≤c應有ca≥1，所以解法3中應得1≤m<1+52，故有以下解法4.

辨析 以上解法4正確嗎？“水本無華，相蕩乃成漣漪;石本無火，相擊而發(fā)靈光.”經(jīng)過廣泛討論，積極思考后又有人認為不對，理由是因為首先要構(gòu)成三角形，從而應在解法4的條件基礎上還應滿足條件a+b>c，故有以下解法5.

這樣往后可解得與解法4一樣的最后答案.

辨析 解法4與解法5的最后答案是一樣的，這是偶然？這是必然？要想找出內(nèi)在本質(zhì)規(guī)律，要想打破砂鍋問到底，此問題還應從以下命題說起.

經(jīng)常這樣進行數(shù)學問題辨析，錯中求正，敗中求勝，數(shù)學問題將越辨越清，認識將越來越深刻.數(shù)學學習若不能揭示問題的本質(zhì)，則對知識方法的認識依然“云里霧里”，不能從錯誤的陰影中真正走出來，不能從正確中掌握規(guī)律，這是數(shù)學學習的大忌.以上辨析說明，對充要條件是否準確應用直接關系到解題的成敗，許多時候解題都是因為充要關系沒用對而致錯，對充要條件的應用要特別注意，已知條件的相互轉(zhuǎn)化要注意充要性，一定要利用已知條件或與已知等價的條件來解題，這是本質(zhì)，也是關鍵.

參考文獻：

[1]花奎.不同教學觀的兩則教學案例及思考[J].數(shù)學通報，2013，52（06）：27-29 +36.

[2] 蘭詩全.求解“范圍”問題中的充分與必要[J].數(shù)學通訊（教師），2013（18）：28-29.

[責任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者簡介：蘭詩全（1968-），男，福建省古田人，中學高級教師，從事數(shù)學教學研究.