加強(qiáng)空間觀念核心能力的培養(yǎng)

平國強(qiáng)

【摘? ?要】2021年數(shù)學(xué)省測結(jié)果表明，學(xué)生的空間觀念亟須發(fā)展，特別是圖形推理、特征抽象概括和應(yīng)用知識解決問題等核心能力有待提高。要加強(qiáng)空間觀念核心能力培養(yǎng)，教師應(yīng)加強(qiáng)空間想象能力培養(yǎng)，包括豐富表象積累和加強(qiáng)空間方位與過程想象;加強(qiáng)空間推理能力培養(yǎng)，包括圖形特征概括與整體把握能力和應(yīng)用概念、特征有邏輯地思考的能力;加強(qiáng)空間表象重構(gòu)能力的培養(yǎng)，包括空間關(guān)系的想象和空間轉(zhuǎn)換想象。

【關(guān)鍵詞】2021年省測;空間觀念;核心能力

空間觀念是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一，其內(nèi)涵是指對空間物體或圖形的形狀、大小及位置關(guān)系的認(rèn)識。能夠根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體;想象并表達(dá)物體的空間方位和相互之間的位置關(guān)系;感知并描述圖形的運(yùn)動和變化規(guī)律。空間觀念有助于理解現(xiàn)實(shí)生活中空間物體的形態(tài)與結(jié)構(gòu)，是形成空間想象力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。曹培英老師認(rèn)為：“空間觀念是指以空間知覺、表象和想象為主要心理活動過程，在頭腦中對空間形式進(jìn)行幾何抽象、分析與綜合、判斷與推理的思維能力，是個(gè)體順利完成解決空間問題的任務(wù)所必備的個(gè)性心理特征。”因此，筆者認(rèn)為，空間觀念的培養(yǎng)要關(guān)注三個(gè)核心能力：空間想象、空間推理和空間表象重構(gòu)。這三種能力并非并列，而是存在一定的遞進(jìn)關(guān)系，空間想象讓學(xué)生頭腦中有表象、會聯(lián)想，空間推理讓學(xué)生建構(gòu)并應(yīng)用圖形之間的聯(lián)系進(jìn)行思考，空間表象重構(gòu)是指推理建立聯(lián)系以后形成的新的表象，即讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)圖形的轉(zhuǎn)換，在這一系列思維過程中，想象始終是基礎(chǔ)。

2021年數(shù)學(xué)省測的專題測試指向便是空間觀念，其中很多試題反映了對這些核心能力的關(guān)注。對這些試題進(jìn)行深入分析與研究，能幫助教師更好地把握課堂教學(xué)改革的方向和學(xué)生的能力關(guān)注點(diǎn)，有很好的啟發(fā)作用。

一、空間想象

空間想象指根據(jù)相關(guān)信息，在頭腦中進(jìn)行分析、聯(lián)想、抽象、概括，并形成相應(yīng)的形狀、大小、關(guān)系和結(jié)構(gòu)等的知覺與表象的心理活動。

豐富的表象積累是想象的基礎(chǔ)，空間想象能力包括直觀想象能力和過程想象能力。一方面要關(guān)注的是直觀想象能力，即根據(jù)提供的相關(guān)圖形信息和表象經(jīng)驗(yàn)，想象出圖形的形狀，這是空間想象中的基礎(chǔ)能力。下面是2021年省測中的一道試題：

例1? ?一個(gè)圖形被遮住了一部分，那么這個(gè)圖形不可能是（? ▲? ）。

A.平行四邊形? ? ? ? ?B.梯形

C.四邊形? ? ? ? ? ? ? ? ?D.三角形

各選項(xiàng)選擇情況如下：選項(xiàng)A，約占72.9%;選項(xiàng)B，約占12.1%;選項(xiàng)C，約占8.8%;選項(xiàng)D，約占5.7%;其他（多選或沒選）約占0.4%。此題的正確選項(xiàng)是A，正確率約為72.9%。

就題目本身而言，難度并不大，因?yàn)榍榫潮容^常見，提供的信息直觀豐富。略有變化的是要讓學(xué)生思考的是一個(gè)否定的結(jié)論，這跟學(xué)生常規(guī)的思維方式和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)略有不同，整體來看正確率并不高。因此，學(xué)生對干擾項(xiàng)的選擇值得我們?nèi)シ治雠c思考。

數(shù)據(jù)表明，選擇B、C、D三個(gè)選項(xiàng)的人數(shù)超過了26%，這是一個(gè)不小的比例。這部分學(xué)生的思維方向出現(xiàn)了偏差，想象比較單一。他們將思考方向指向了“可能是”而不是問題中的“不可能是”。究其原因，因?yàn)榍罢呤且罁?jù)已有圖形的形狀去想，思維水平低且常規(guī)，后者需要從圖形的本質(zhì)屬性去分析，思維水平高且缺少這種思維經(jīng)驗(yàn)。很多學(xué)生會習(xí)慣性地順著既有圖形的邊、角去作簡單的延長想象，得出它是一個(gè)三角形，如圖1;或者只想到下面可能有一條邊，與上面的邊平行，如圖2;也可能與上面的邊都不平行，如圖3……所有這些想象都基于一個(gè)前提——“可能是”。學(xué)生沒有抓住試題的關(guān)鍵信息“不可能是”去思考，致使有部分學(xué)生想當(dāng)然地選擇了B、C、D這三個(gè)選項(xiàng)。當(dāng)然，如果學(xué)生能聯(lián)想到所有類型四邊形的表象，就會發(fā)現(xiàn)其中沒有平行四邊形。因此由于學(xué)生思維方向錯(cuò)誤，表象積累不豐富，因此完全沒有與平行四邊形相關(guān)聯(lián)，導(dǎo)致判斷錯(cuò)誤。

筆者認(rèn)為，要提高學(xué)生的直觀想象能力，一方面要讓學(xué)生多觀察、多操作，積累豐富的幾何圖形表象;另一方面要多創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生想象的情境，促進(jìn)學(xué)生思考，要關(guān)注思維的過程，要通過說一說、畫一畫、操作演示等方式把想象的過程和各種可能性呈現(xiàn)出來，豐富學(xué)生的想象表象和經(jīng)驗(yàn)。

空間想象能力的另一方面是空間方位和過程想象。有別于直觀想象，這種想象是基于多個(gè)對象或在運(yùn)動變換的環(huán)境中思考，具有關(guān)系性和過程性。例如下面的試題：

例2? ?如圖，星期六小紅要去小華家，她從家出發(fā)，剛經(jīng)過小麗家就轉(zhuǎn)向西北方向先去了書店，書店出來直接去了小華家。那么，書店位置應(yīng)該在（ ▲ ）號點(diǎn)。

A. ①? B. ②? C. ③? D. ④

各選項(xiàng)選擇情況如下：選項(xiàng)A，約占4.7%;選項(xiàng)B，約占77.0%;選項(xiàng)C，約占10.3%;選項(xiàng)D，約占7.6%;其他約占0.3%。此題的正確選項(xiàng)是B，正確率約是77.0%。

從學(xué)生的解答來看，選擇C、D選項(xiàng)的人數(shù)將近18%。這兩種錯(cuò)誤很有典型性，顯然跟學(xué)生的年齡特征和空間方位經(jīng)驗(yàn)不足有關(guān)。平面圖上的“上北下南，左西右東”是一種規(guī)定，但在學(xué)生頭腦中并未形成這樣的觀念，并且這種規(guī)定與學(xué)生真實(shí)生活空間中的方位并不能對應(yīng)。加上此題要識別的是復(fù)合方向，要求更高。因此教學(xué)中要了解學(xué)生的困難，多創(chuàng)設(shè)與學(xué)生經(jīng)驗(yàn)相關(guān)的真實(shí)生活場景，多進(jìn)行二維平面圖和三維真實(shí)空間的轉(zhuǎn)換，豐富學(xué)生的方位經(jīng)驗(yàn)。另外，在具體的平面圖操作上要讓學(xué)生有方法，有支架。

一是建構(gòu)方向與位置的知識結(jié)構(gòu)和分析思路，即有清晰的“上北下南、左西右東”的觀念及相對關(guān)系意識，會以圖中標(biāo)示方向（北）為起點(diǎn)，順時(shí)針方向思考：接下去是東、南、西……二是要有圖上操作的方法支架。先確定圖中各個(gè)方向，再以小麗家為基點(diǎn)確定“東南西北”，書店方向便能輕易確定。這樣操作的意義是使思維有具體的依托和支點(diǎn)，如圖4所示。

下面是測試中的另外一道試題：

例3? 將一張正方形紙如下圖那樣兩次對折后剪去一個(gè)角，打開后的形狀是（? ?▲? ?）。

此題看上去難度較大，但是正確率較好，達(dá)到了80.1%左右。各選項(xiàng)選擇情況如下：選項(xiàng)A，約占5.2%;選項(xiàng)B，約占4.9%;選項(xiàng)C，約占80.1%;選項(xiàng)D，約占9.5%;其他約占0.4%。

筆者認(rèn)為，此題正確率較好基于兩個(gè)原因：一是學(xué)生對問題情境比較熟悉，教材和練習(xí)本上有類似的問題;二是剪的材料是正方形。解決這個(gè)問題的思維過程涉及兩個(gè)要點(diǎn)：一是學(xué)生具有將操作過程逐步還原的想象能力，能根據(jù)最后的折疊結(jié)果在頭腦中想象還原到初始狀態(tài)，并能想象還原過程中每一步展開和得到的形狀，這個(gè)還原過程的想象是一個(gè)連續(xù)動態(tài)的想象。如果跳過過程想象直接去看四個(gè)選項(xiàng)，就容易產(chǎn)生錯(cuò)誤。二是整個(gè)過程中要能正確確定并始終鎖定剪去的一角每一步展開后的形狀和在圖中的位置。顯然，選擇B和D選項(xiàng)的學(xué)生，就是思維過程中第二個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)產(chǎn)生了偏差。

二、空間推理

空間推理是空間觀念的重要組成部分，是比空間想象更高級的思維活動，它關(guān)注的是空間對象之間的關(guān)系和結(jié)構(gòu)，是根據(jù)關(guān)系得出新的幾何判斷的過程。小學(xué)的推理活動是非形式化的，不追求推理形式和完整過程，常以直觀材料為內(nèi)容，因此推理活動常常與直觀思維、抽象概括、特征應(yīng)用等活動融為一體?？臻g推理能力首先是圖形特征概括和整體把握的能力，基于直覺，突出整體，是一種重要的推理能力。下面的省測試題就關(guān)注了特征的概括能力：

例4? ?下面有九個(gè)四邊形，按標(biāo)準(zhǔn)（? ?▲? ?）分類可以得到右面的兩類。

A. 四個(gè)角是否都相等? ? ? B. 鄰邊是否相等

C. 對邊是否都互相平行? D. 是否為軸對稱圖形

本題思維水平較高，各選項(xiàng)選擇情況如下：選項(xiàng)A，占10.4%;選項(xiàng)B，占17.7%;選項(xiàng)C，占59.7%;選項(xiàng)D，占11.8%;其他占0.4%。

此題的正確答案為C，正確率為59.7%，正確率不高。顯然，學(xué)生習(xí)慣于解決“按給定的標(biāo)準(zhǔn)對一組圖形進(jìn)行分類”的問題。解決這樣的問題時(shí)，其思維水平處于“鞏固特征，識別圖形”層面。本測試題要尋找這些圖形特征中的共同性和獨(dú)特性，需要學(xué)生具有更高的思維水平。學(xué)生要有正確、合理的推理過程：九個(gè)圖形分成兩組以后，上面這組圖形中既有一般四邊形，又有梯形，它們的共同特征僅可以概括為“四邊形”，四邊形的特征是“四條邊和四個(gè)角”，與所有選項(xiàng)都不符，且下面這組也都是四邊形，此特征不具有獨(dú)特性。分析下面這組圖形中有平行四邊形、長方形、正方形和菱形，它們的共同特征可以具體地概括為“平行四邊形”，這個(gè)特征是這組圖形獨(dú)有的，于是確定符合的選項(xiàng)為C，這是思維過程而不是解題技巧。顯然，從高達(dá)40%的錯(cuò)誤率來看，學(xué)生缺少這樣一種有序、完整的思維過程。因此，平時(shí)教學(xué)中，教師要抓住一切機(jī)會讓學(xué)生來表達(dá)思維過程，或者用思維導(dǎo)圖、關(guān)鍵詞等方式表征自己的推理過程，促進(jìn)學(xué)生思維的連貫性和嚴(yán)謹(jǐn)性，積累空間推理的經(jīng)驗(yàn)。

這種能力的另一種表現(xiàn)是圖形特征的整體把握水平，下面是省測試題的第11題，關(guān)注的是空間推理過程中對空間形態(tài)和大小的整體把握能力。

例5? ?下面五個(gè)圖都是由相同的小正方體搭成的。選擇（ ▲ ）能搭成這個(gè)模型。

A. ①② B. ①④ C. ②④ D. ③④⑤

本題的正確率較高，達(dá)到了88.7%，正確選項(xiàng)為B。各選項(xiàng)選擇情況如下：選項(xiàng)A，占5.7%;選項(xiàng)B，占88.7%;選項(xiàng)C，占2.1%;選項(xiàng)D，占3.2%;其他占0.3%。

此題情境比較常見，學(xué)生有相應(yīng)的問題解決經(jīng)歷和經(jīng)驗(yàn)，因而錯(cuò)誤率比較低。仔細(xì)分析，要解決這樣的問題，學(xué)生需要有高水平想象能力和良好的量感來支持。整個(gè)思維過程中，學(xué)生要能快速地發(fā)現(xiàn)組件①與拼成后的圖形在整體形狀和數(shù)量上最接近，它應(yīng)該是一個(gè)主要的組件，然后迅速地把握其與拼成圖形在形狀和數(shù)量上的差異，從而確定還需要哪一塊組件。當(dāng)學(xué)生的整體想象能力可以支持以上要求時(shí)，選擇正確選項(xiàng)也并非難事。數(shù)據(jù)表明，選擇干擾項(xiàng)A的比例略高于其他干擾項(xiàng)，可以認(rèn)為這部分學(xué)生初步感覺到了要補(bǔ)到①上去的這塊組件的大致特征——有一塊突出的小正方體，但他們對這塊組件形狀的想象和小正方體的塊數(shù)把握不夠準(zhǔn)確，導(dǎo)致錯(cuò)誤。這清晰地表明，這些學(xué)生的量感有待提高。

空間推理能力的第二個(gè)方面是應(yīng)用概念和特征有邏輯地思考，這類問題往往信息不是直接告知，而是以情境的方式呈現(xiàn)，要求學(xué)生依據(jù)信息推出結(jié)論，做出判斷，其思維過程較接近于形式化推理。例如下面的測試題：

例6? ?下圖中，直線[a]、[b]互相平行，[c]、[d]互相平行，[m]和[n] 不平行。那么，圖①、圖②、圖③、圖④中，（? ▲? ）不是梯形。

A. 圖① B. 圖② C. 圖③ D. 圖④

本題的正確率很低，只有45.6%，選項(xiàng)選擇比較分散，各選項(xiàng)選擇情況如下：選項(xiàng)A，占45.6%;選項(xiàng)B，占6.5%;選項(xiàng)C，占16.0%;選項(xiàng)D，占31.3%;其他占0.6%。

數(shù)據(jù)顯示，選項(xiàng)D的選擇率高達(dá)31.3%，表明很多學(xué)生在進(jìn)行這樣的判斷時(shí)，常常用直觀感覺代替邏輯概念進(jìn)行判斷，因?yàn)橐谎劭瓷先D④像長方形，最不像梯形，所以就直接選擇圖④，而沒有進(jìn)一步地去想：它的兩組對邊究竟有怎樣的特征？是不是真的不符合梯形“只有一組對邊平行的四邊形”的概念內(nèi)涵？……部分學(xué)生在判斷時(shí)基本沒有這種邏輯思考的意識和經(jīng)驗(yàn)。

四年級學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過梯形的概念，判斷時(shí)應(yīng)該用概念進(jìn)行邏輯判斷，而不是根據(jù)這個(gè)圖形“像”還是“不像”做出判斷，這種直覺判斷是第一學(xué)段（概念學(xué)習(xí)以前）的水平。四年級學(xué)生應(yīng)該從概念出發(fā)進(jìn)行思考，過程如下：梯形概念是“只有一組對邊平行的四邊形”——圖①、圖②、圖③、圖④都是四邊形。因?yàn)橹本€[a]、[b]互相平行，[c]、[d]互相平行，[m]和[n]不平行，所以圖1是兩組對邊分別平行的四邊形，圖②、圖③、圖④都是一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形——圖①是平行四邊形，不是梯形，圖②、圖③、圖④都是梯形，由此做出判斷。此題給我們的教學(xué)以很大的啟發(fā)，即要提高學(xué)生的空間推理能力，需要我們適度關(guān)注學(xué)生進(jìn)行幾何判斷的思維過程，將判斷推理置于概念應(yīng)用和邏輯判斷的水平，促進(jìn)思維的完整性和有序性，達(dá)到第二學(xué)段學(xué)生應(yīng)該達(dá)到的水平。

三、空間表象重構(gòu)

筆者認(rèn)為，空間表象重構(gòu)是指經(jīng)過想象、推理、建立聯(lián)系以后形成的新表象。這是基于空間想象解決綜合性、非常規(guī)問題的最后階段，即頭腦中形成最終要解決的幾何問題的新的表象，甚至要將表象畫出來，便于計(jì)算。顯然，空間表象重構(gòu)是否成功，直接關(guān)系到問題的最終解決。這種能力至少包括兩個(gè)方面，第一方面是空間關(guān)系的想象，即能根據(jù)圖、描述等相關(guān)的信息想象出幾何要素之間的空間關(guān)系，并能將這種關(guān)系以一定的方式清晰地表達(dá)出來。下面是2021年省測的最后一題：

例7? ?我們?nèi)粘Ｊ褂玫目谡殖书L方形，尺寸如圖①。為便于佩戴時(shí)展開，口罩加工時(shí)中間要做三條褶皺，每條褶皺折進(jìn)的寬度為1cm（圖②中B點(diǎn)到C點(diǎn)的長度）。根據(jù)這些信息，請你解決下面的問題。

（1）圖②壓平成口罩后B點(diǎn)與D點(diǎn)會重合，那么你還知道哪些點(diǎn)也會重合？填一填。

E點(diǎn)——（? ▲? ）點(diǎn)會重合;H點(diǎn)——（? ▲? ）點(diǎn)會重合。

（2）將B點(diǎn)到N點(diǎn)這一段展開拉直后，BN長多少厘米？

（3）將這個(gè)口罩的全部褶皺都展開平整后，它的面積是多少？

第（1）小題解答情況分析： “全部寫出”，占71.8%;“只有一組正確”，占11.9%;“錯(cuò)誤或未作答”，占16.3%。

顯然，第（1）小題涉及的就是空間關(guān)系的想象，想象的前提是正確理解相關(guān)信息，包括文字信息和圖示信息?！翱谡旨庸r(shí)中間要做三條褶皺，每條折進(jìn)的寬度為1cm（圖②中B點(diǎn)到C點(diǎn)的長度）”表明口罩中間是有重疊的，結(jié)合圖可知這種重疊是交叉重疊?！皥D②壓平成口罩后B點(diǎn)與D點(diǎn)會重合”則表明了重疊后的狀態(tài)，暗示了具有“這樣”關(guān)系的兩個(gè)點(diǎn)會重合。根據(jù)以上信息和示意圖，學(xué)生可以想象壓平以后的樣子是怎樣的，寬邊上哪一段疊在里面，哪一段露在外面，它們的長度各是多少。同時(shí)觀察與B、D兩點(diǎn)有相同位置關(guān)系的還有哪些點(diǎn)的組合，發(fā)現(xiàn)它們壓平后也會重合，從而做出回答。這種想象的實(shí)質(zhì)是構(gòu)建幾何圖形或幾何要素在空間的關(guān)系，是重要的能力，它還與生活經(jīng)驗(yàn)相關(guān)，數(shù)據(jù)顯示正確率為71.8%，表明學(xué)生的這種能力很好。

空間表象重構(gòu)能力的第二個(gè)方面是空間轉(zhuǎn)換想象，它是在明確圖形的空間關(guān)系以后將其轉(zhuǎn)化為新的圖形或表象，并解決問題的過程。這是一種高水平、綜合性的能力，是學(xué)生空間觀念水平的集中體現(xiàn)。如例7的第（2）（3）小題，關(guān)注的就是這種能力。

第（2）小題解答情況分析：“算式結(jié)果均正確”，占32.4%;“結(jié)果正確無算式”，占32.1%;“錯(cuò)誤”，占35.5%。

此小題算式與結(jié)果均正確的只有32.4%，這部分學(xué)生想象到位，思維完整連續(xù)，正確地把握住了口罩寬邊這條折線的結(jié)構(gòu)，并能正確地轉(zhuǎn)化。但是幾乎有相同比例的學(xué)生只有結(jié)果，沒有算式，表明他們對BN的長度只能逐段數(shù)數(shù)而不能有效把握規(guī)律與結(jié)構(gòu)，無法將其轉(zhuǎn)化為符號表征。

可以發(fā)現(xiàn)，B點(diǎn)到N點(diǎn)這一段正好是折疊部分，是一段有規(guī)律的折線，想象的內(nèi)容是在頭腦中分析各段之間的位置和長度關(guān)系，明確整條線的構(gòu)成，或者在頭腦中將這條折線改造，轉(zhuǎn)化為線段（如圖5），在新的圖上分析其結(jié)構(gòu)。值得注意的是，這個(gè)想象必須是過程性動態(tài)想象，而這種能力正是多數(shù)學(xué)生缺乏的，以上數(shù)據(jù)說明，能正確實(shí)現(xiàn)空間轉(zhuǎn)換想象的學(xué)生不足三分之一。

第（3）小題解答情況如下：“正確”，占23.7%;“算式對計(jì)算錯(cuò)”，占11.9%;“只算出寬”，占54.3%;“思路對計(jì)算錯(cuò)”，占0.8%;“錯(cuò)誤或未答”，占20.4%。

這個(gè)問題的關(guān)鍵同樣是正確實(shí)現(xiàn)空間變換想象，即經(jīng)過想象、推理和變換以后形成的新的表象。之所以稱之為表象是因?yàn)轭}目沒有提供口罩展開平整后的圖形，而是讓學(xué)生想象出口罩展平后是一個(gè)長18厘米、寬15厘米的長方形，然后計(jì)算面積，所以問題的解決是基于正確想象而不是現(xiàn)成數(shù)學(xué)圖形。這正是此題正確率低的原因，超過三分之二的學(xué)生無法正確實(shí)現(xiàn)空間轉(zhuǎn)換想象，自然無法進(jìn)行表象重構(gòu)，不能解決問題。這帶給我們的啟發(fā)是要長期關(guān)注學(xué)生空間想象能力的培養(yǎng)，重視數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)的積累提升，讓學(xué)生多經(jīng)歷以想象為支持的問題解決過程，使想、畫、表達(dá)相結(jié)合，重視多層次空間想象能力的提高。

總之，空間觀念是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中學(xué)生核心素養(yǎng)的具體表現(xiàn)之一。教學(xué)時(shí)，教師要關(guān)注讓學(xué)生擁有空間想象的經(jīng)歷、經(jīng)驗(yàn)和方法，要?jiǎng)?chuàng)設(shè)好的情境，設(shè)計(jì)有效的材料，有具體扎實(shí)的教學(xué)指導(dǎo)行為，由此才能真正提高學(xué)生想象活動的思維水平。

（浙江省杭州市基礎(chǔ)教育研究室? ?310003）