田秋月 謝琰翡

【摘? ?要】教師結(jié)合SOLO分類理論，分析六下年級學(xué)生在解決一道題的過程中所反映的思維水平層次。研究發(fā)現(xiàn)：多數(shù)學(xué)生處于關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平，思維較廣、深度不足。對此，教師得出“方程、算術(shù)殊途同歸”“理清思路，夯實(shí)基礎(chǔ)”兩個(gè)維度的結(jié)論，提出“分化問題步驟”“轉(zhuǎn)化信息表征”“強(qiáng)化關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”這三點(diǎn)建議。

【關(guān)鍵詞】方程;思維層次;SOLO分類理論;實(shí)證研究

一、問題的提出

隨著《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的頒布，“方程”即將走出小學(xué)教學(xué)內(nèi)容范疇。方程是問題解決的常用方法，將它取消也會給教學(xué)中帶來一些疑惑：（1）學(xué)生在解決問題時(shí)喜歡用方程還是算術(shù)方法？（2）影響學(xué)生選擇使用解題方法的因素有哪些？（3）學(xué)生使用哪種方法更能更準(zhǔn)確、高效地解決問題？（4）不同方法所體現(xiàn)出的思維層次是怎樣的……筆者試圖對這些問題進(jìn)行研究，為后續(xù)教學(xué)活動中應(yīng)采取的應(yīng)對措施提供參考。

二、研究的設(shè)計(jì)

（一）研究對象

筆者以SL校六年級兩個(gè)自然班共71名學(xué)生為研究對象，開展了聚焦一道題的調(diào)查。研究對象為使用浙教版教材的學(xué)生，他們從四年級下冊開始進(jìn)行了較為系統(tǒng)的方程相關(guān)知識的學(xué)習(xí)。

（二）測試內(nèi)容

浙教版教材六年級下冊《反比例應(yīng)用問題》一課中有類似這樣的一道練習(xí)題：“同學(xué)們爬山，上山的速度是60米/分，下山時(shí)從原路返回，速度是80米/分，往返一共用了70分鐘。他們上山的路程是多少米？”教學(xué)浙教版教材四、五年級下冊《列方程解題（二）》與《分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算》時(shí)，在鞏固練習(xí)中也會安排類似的題目。本題可根據(jù)兩個(gè)數(shù)量關(guān)系，用兩種思路：一是以“總時(shí)間”為等量的“兩商之和”結(jié)構(gòu)列方程解題;二是以“路程”為等量的“積”相等列方程解題。當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)浙教版教材五年級下冊的《工程問題》、浙教版教材六年級上冊《應(yīng)用問題（一）（二）》之后，又會從“工程問題”的角度結(jié)合“分?jǐn)?shù)應(yīng)用問題”的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行解題。此題又在浙教版教材六年級下冊以“比例”的形式出現(xiàn)。綜合運(yùn)用整個(gè)小學(xué)階段的所學(xué)知識，學(xué)生解決本題時(shí)可選的數(shù)學(xué)方法較多。

（三）評價(jià)工具

為了精準(zhǔn)分析學(xué)情，筆者參考SOLO分類理論五種水平層次的劃分，對照能力框架，確定本題具體作答水平層級，對掌握算術(shù)方法解題進(jìn)行關(guān)聯(lián)性評價(jià)（如表1）。

三、研究的結(jié)果

（一）總體表現(xiàn)

總體看來，5.6%的學(xué)生不能使用任何方法正確解答本題。僅從方法效用上看，“工程問題”思路的正確率最低、理解難度最大，其他三種方法解題正確率的差異不顯著（如圖1）。相比較而言，以“路程”為等量列方程解題的正確率略高于其他兩種方法（如圖2），達(dá)84.5%，且在方法的理解程度上（97.2%）存在明顯優(yōu)勢。

（二）SOLO層次分析

依據(jù)SOLO分類理論，筆者對六年級71名學(xué)生解決此題的情況，按5種思維水平層次進(jìn)行了分類統(tǒng)計(jì)（如表2）。

根據(jù)圖3，結(jié)合表2，分析可得以下結(jié)論：

關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平人數(shù)最多，約占測試總?cè)藬?shù)的60.6%。有94.4%的學(xué)生能用不止一種方法正確解答本題。大部分學(xué)生處于多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平向關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平的過渡的階段，思維層級處于抽象擴(kuò)展結(jié)構(gòu)水平的比率相對較低。由此可見，從學(xué)生的思維水平層次來看，學(xué)生掌握一種或多種方法解題的能力強(qiáng)。然而，學(xué)生對解題過程進(jìn)行概括，發(fā)現(xiàn)不同方法間的本質(zhì)關(guān)聯(lián)能力略有不足。

（三）典型作答分析

為了清晰地說明不同的思維水平層次，筆者從問卷中選取了對應(yīng)的學(xué)生作答。

1.前結(jié)構(gòu)水平。這部分學(xué)生主要表現(xiàn)為不理解題意及各個(gè)數(shù)據(jù)信息的含義，故作答不能體現(xiàn)正確的思路。被試學(xué)生中，1人作答區(qū)域空白，4人列出了不成立的數(shù)量關(guān)系（如圖4-1、4-2）。

2.單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平。研究對象中有4人只能讀取單一信息、從一個(gè)維度進(jìn)行思考。因?qū)栴}的考慮不夠全面、嚴(yán)謹(jǐn)，不能從另一個(gè)維度用方程正確解題（如圖5）。

3.多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平。處于這一水平層次的學(xué)生有11人，主要表現(xiàn)為：①只能用方程的兩種思路正確解題，但對“比例”方法束手無策，無法在提示與所學(xué)的知識間建立關(guān)聯(lián)（如圖6-1）;②能根據(jù)提示“路程一定，速度與時(shí)間成反比”得到“時(shí)間比”，但不能在“時(shí)間比”與題中條件“總時(shí)間70分鐘”間建立關(guān)聯(lián)（如圖6-2）。

4.關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平。處于這一水平層次的學(xué)生人數(shù)最多，有43人。說明就本題而言，超過總數(shù)一半的學(xué)生已經(jīng)達(dá)到高認(rèn)知思維水平，不僅能用“比例”方法解題，還能清晰地列出“工程問題”方法的對應(yīng)數(shù)量關(guān)系（如圖7）。原因有兩點(diǎn)：①作為一道基礎(chǔ)練習(xí)題，雖然方法很多，但難度不大。② “比例”方法解題的關(guān)聯(lián)性較強(qiáng)，能掌握“比例”方法解題的學(xué)生至少也能理解另外三種方法中的兩種。

5.抽象擴(kuò)展結(jié)構(gòu)水平。達(dá)到這一思維水平的學(xué)生不僅能用四種方法正確解題，還能對不同方法進(jìn)行抽象、歸納、對比，提煉出方法間的關(guān)聯(lián)與共性（如圖8），這類學(xué)生的思維具有一致性、整體性和深刻性。

四、啟示與建議

在上述測試問卷與調(diào)查數(shù)據(jù)中，通過SOLO分類理論分析不同學(xué)生在解答同一道題時(shí)所反映的思維水平層次，可得到如下啟示。

（一）方程、算術(shù)殊途同歸

略高的正確率不能說明方程在解決本題中存在顯著優(yōu)勢，且方程相關(guān)前期鋪墊的時(shí)間、精力成本較高。“比例”方法因其思路簡單、步驟清晰更易受六年級學(xué)生的歡迎，另一份有關(guān)學(xué)生主觀維度的調(diào)查——“解決本題的四種方法中你最喜歡哪個(gè)”，也反映了此法的受歡迎程度（如圖9）。有67.1%的學(xué)生更傾向于選擇“比例”法解答本題，并表達(dá)了自己的選擇理由（如圖10）。因此，課堂教學(xué)中去“方程”可行。

（二）理清思路，夯實(shí)基礎(chǔ)

怎樣幫助學(xué)生更好地掌握、理解較受歡迎的“比例”方法呢？本研究繼續(xù)分析不能使用此法解題的16名學(xué)生的作答，以此提出改進(jìn)課堂教學(xué)的措施和建議。

1.分化問題步驟

用“比例”方法解決此類問題時(shí)，學(xué)生的困難在于沒有整體性的解題策略，不能對信息和數(shù)據(jù)進(jìn)行綜合分析和考量。因此，課堂中，教師應(yīng)幫助學(xué)生理清解決此題的步驟（如圖11），讓學(xué)生體會已知條件在對應(yīng)解題環(huán)節(jié)的介入使用，理解分化出的四個(gè)解題小步驟串起來就是解決本題的過程。

2.轉(zhuǎn)化信息表征

所有學(xué)生都能根據(jù)提示由“速度比”得到“時(shí)間比”，學(xué)生的共性困難在于識別不出模型——如何將“時(shí)間比”與已知條件“總時(shí)間70分鐘”進(jìn)行關(guān)聯(lián)。此時(shí)需要用可視化的工具幫助學(xué)生理解：用線段圖將計(jì)算時(shí)間的問題轉(zhuǎn)化為“按比例分配”的模型，再往前追溯，實(shí)質(zhì)又為“歸一問題”（如圖12）。

即使是六年級的學(xué)生，使用線段圖轉(zhuǎn)譯信息也有難度。因此，在三年級第一次學(xué)習(xí)“歸一問題”時(shí)，讓學(xué)生嘗試將文字表述的題轉(zhuǎn)化成線段圖再進(jìn)行解釋、表征具有十分重要的意義。

3.強(qiáng)化關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)

思維水平處于由關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)向抽象擴(kuò)展過渡階段的學(xué)生人數(shù)的急劇下降，說明課堂教學(xué)中還應(yīng)關(guān)注學(xué)生分析問題的能力，幫助學(xué)生從看似不相關(guān)的問題中抽象、提煉出問題的共性模型，從而對癥下藥地選用合適的解決問題的方法。如同樣用畫圖法解決“雞兔同籠”問題，可用面積圖（如圖13）呈現(xiàn)思路，而此圖又可結(jié)合不規(guī)則圖形面積的轉(zhuǎn)化進(jìn)行解釋（如圖14），以此強(qiáng)化學(xué)生對不同問題、不同情境的整體性和深刻性認(rèn)知。

基于SOLO理論分析學(xué)生解決問題的情況，可有效地反映同一道題不同學(xué)生的思維水平層次，評價(jià)不同學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量，為課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生深刻理解、關(guān)聯(lián)運(yùn)用小學(xué)階段數(shù)學(xué)知識解決問題的能力提供建議。

（浙江省杭州市勝利實(shí)驗(yàn)學(xué)校? ?310008）