鄧順偉

三角形的面積問題常與解三角形、三角函數(shù)、平面向量、解析幾何等知識相結(jié)合，其常見的命題形式是根據(jù)已知條件，求三角形的邊長、角的大小、面積、周長等.此類問題看似較為簡單，其實具有較強的綜合性，通常需靈活運用正、余弦定理、三角形的面積公式、勾股定理、三角函數(shù)的定義等來求解.筆者重點探究一道三角形面積問題的解法，下面談一談個人的一些看法和建議.

題目：已知 ΔABC 中，內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別為a，b，c，其中 a = 2 7 ，b = 2，sin A + 3cosA = 0 .

（1）求 c 的值;

（2）若點D在邊BC 上，且滿足 AD ⊥ AC ，求 ΔABD 的面積.

本題的第（1）問比較簡單，需要先求角 A 的大小，再利用余弦定理即可求得 c = 4 .這里主要探討一下第（2）問的解法.為了便于分析、求解，可先根據(jù)題意畫出圖形，如圖1所示，然后討論其邊角關(guān)系，從不同角度來尋找解題的思路.

一、利用正余弦定理

若三角形中 A、B、C 的對邊分別為 a、b、c ，則正弦定理： a sin A = b sin B = c sin C = 2R;余弦定理：a2 = b 2 + c 2 -2bc cos A;b 2 = c 2 + a2 - 2ca cos B ;c 2 = a2 + b 2 - 2ab cos C. 正弦定理一般適用于兩種情形：（1）已知一個角和兩條邊，求其他邊、角;（2）已知兩個角和一條邊，求其他邊、角.余弦定理通常適用于兩種情形：（1）已知一個角和兩條邊，求其他邊、角;（2）已知三條邊，求各個角.

解法1：

由于本題的題目中告知了兩條邊和一個角的關(guān)系式，所以可先利用余弦定理求得 cos B， 據(jù)此求得 AD，再利用正弦定理求 sin ∠BAD ，便可根據(jù)三角形的面積公式 SΔABC = ab sin C 求得問題的答案.

解法2：

該解法比較簡單，根據(jù)余弦定理求得 cos C，便可利用誘導(dǎo)公式求得 tan C，然后根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求得AD的長，即可利用三角形的面積公式求解.

解法3：

在解答本題時，兩次運用正弦定理求得 sin ∠ADC、 sin ∠DAC 的關(guān)系式，再根據(jù)兩個角互為補角，從而求得 BD = CD ，求得 SΔACD ，就能順利求得 SΔABD .

二、利用平面幾何知識

三角形是一種特殊的平面幾何圖形.在解答三角形問題時，可靈活運用平面幾何知識，如等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、圓的性質(zhì)等來解題.在解題時，需根據(jù)題意添加合適的輔助線，以便構(gòu)造出平行、垂直關(guān)系或特殊規(guī)則的平面幾何圖形。

解法4：

該解法是根據(jù)圖形的特點，將 ΔABC 分割為 ΔABD 和 ΔACD ，然后根據(jù)三個三角形之間的關(guān)系以及三角形的面積公式求得問題的答案.

解法5：

在添加適當(dāng)?shù)妮o助線后，便可根據(jù)平行線分線段成比例定理、勾股定理求得RtΔACD的一條直角邊 AD，再根據(jù)三角形的面積公式可求得RtΔACD的面積，進(jìn)而得到 ΔABD 的面積.

解法6：

該解法比解法5要簡單許多，充分利用平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等證明 AC = BE ，便可根據(jù)勾股定理求得CD的值，進(jìn)而求得RtΔACD的面積.

三、借助向量法

向量法是解答與三角形有關(guān)問題的重要方法.在解答三角形問題時，可給三角形的各條邊賦予方向，求得各條線段的方向向量，便可通過向量的加法、減法、數(shù)乘運算法則，以及數(shù)量積公式、向量的模的公式來求得問題的答案.

解法7：

三、借助向量法向量法是解答與三角形有關(guān)問題的重要方法.在解答三角形問題時，可給三角形的各條邊賦予方向，求得各條線段的方向向量，便可通過向量的加法、減法、數(shù)乘運算法則，以及數(shù)量積公式、向量的模的公式來求得問題的答案.

四、構(gòu)建坐標(biāo)系

在解答三角形問題時，可根據(jù)三角形的特點建立平面直角坐標(biāo)系，求得各個點的坐標(biāo)、直線的方程，從而將三角形問題轉(zhuǎn)化為解析幾何問題，根據(jù)直線的斜率公式、夾角公式、直線的方程、點到直線的距離公式、兩點間的距離公式使問題得解.

解法8：

建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，便可將三角形問題轉(zhuǎn)化為直線的斜率問題，根據(jù)三點共線，其中任意兩點的斜率相等，利用直線的斜率公式建立關(guān)系，即可求得 AD ，進(jìn)而求得問題的答案.

由此可見，解答三角形問題，可從正余弦定理、平面幾何知識、向量運算、解析幾何知識四個角度出發(fā)，尋找不同的解題思路.因此在解答三角形問題時，同學(xué)們要注意將問題與解三角形、平面幾何、平面向量、解析幾何知識關(guān)聯(lián)起來，運用發(fā)散性思維來拓寬解題的思路，提升解題的效率.