黎益 林雯

【摘要】本文聚焦小學(xué)數(shù)學(xué)界著名的“雞兔同籠”問(wèn)題，結(jié)合不同版本教材對(duì)“雞兔同籠”問(wèn)題在不同學(xué)段的教學(xué)編排，設(shè)計(jì)了同一核心素養(yǎng)同一內(nèi)容系列課“雞兔同籠”主題教研，從厘清同一內(nèi)容中所蘊(yùn)含的同一核心素養(yǎng)的基本內(nèi)涵、統(tǒng)籌分析相關(guān)年級(jí)同一內(nèi)容的教材編排特點(diǎn)、分層推進(jìn)同一核心素養(yǎng)同一內(nèi)容系列課教研活動(dòng)三個(gè)層面，逐層深入地探討同一核心素養(yǎng)同一內(nèi)容系列課主題教研的設(shè)計(jì)與實(shí)施策略，同時(shí)結(jié)合課例研究提煉同一核心素養(yǎng)暨模型意識(shí)培養(yǎng)在不同學(xué)段同中有異、逐層遞進(jìn)，需依次經(jīng)歷探究數(shù)學(xué)模型、經(jīng)歷建模過(guò)程、拓展模型應(yīng)用三段歷程的教學(xué)策略。

【關(guān)鍵詞】雞兔同籠 模型意識(shí) 分段培養(yǎng)策略

【中圖分類號(hào)】G62 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2022）19-0052-04

同一核心素養(yǎng)同一內(nèi)容系列課“雞兔同籠”主題教研，基于不同版本教材對(duì)“雞兔同籠”在不同年級(jí)不同的呈現(xiàn)方式，依據(jù)不同學(xué)段學(xué)生不同的思維特點(diǎn)和認(rèn)知水平，圍繞同一核心素養(yǎng)制定不同的學(xué)段目標(biāo)，使不同學(xué)段的學(xué)生在教師的教育引導(dǎo)下，達(dá)成同一核心素養(yǎng)不同學(xué)段不同的表現(xiàn)水平。本文側(cè)重以“雞兔同籠”系列課主題教研為例，探討同一核心素養(yǎng)同一內(nèi)容系列課主題教研的實(shí)踐策略。

一、厘清同一內(nèi)容中所蘊(yùn)含的同一核心素養(yǎng)的基本內(nèi)涵

“雞兔同籠”問(wèn)題源于1 500年前我國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》，是一種較為典型的數(shù)學(xué)模型：該模型不僅可用于解決“雞兔同籠”問(wèn)題，而且可用于解決類似的“人馬問(wèn)題”“租船問(wèn)題”“投籃問(wèn)題”“自行車(chē)和三輪車(chē)的輪子問(wèn)題”“鈔票問(wèn)題”“競(jìng)賽積分問(wèn)題”等。開(kāi)展“雞兔同籠”系列課主題教研，旨在發(fā)展教師對(duì)學(xué)生的模型意識(shí)培養(yǎng)能力，讓教師學(xué)會(huì)基于同一核心素養(yǎng)暨模型意識(shí)的基本內(nèi)涵，探索學(xué)生同一核心素養(yǎng)暨模型意識(shí)發(fā)展在不同學(xué)段該有怎樣不同的表現(xiàn)水平、如何在教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)建模，使學(xué)生在解決一道題的過(guò)程中學(xué)會(huì)解決一類問(wèn)題的基本策略和方法，達(dá)成相應(yīng)學(xué)段的模型意識(shí)培養(yǎng)要求。

模型意識(shí)是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《2022版數(shù)學(xué)課標(biāo)》）提出的“會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”核心素養(yǎng)在小學(xué)階段的具體表現(xiàn)之一，“主要是指對(duì)數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟”;培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)，旨在讓學(xué)生“知道數(shù)學(xué)模型可以用來(lái)解決一類問(wèn)題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑”“能夠認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中大量的問(wèn)題都與數(shù)學(xué)有關(guān)，有意識(shí)地用數(shù)學(xué)的概念與方法予以解釋”。而所謂“會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”，《2022版數(shù)學(xué)課標(biāo)》明確指出：“數(shù)學(xué)為人們提供了一種描述與交流現(xiàn)實(shí)世界的表達(dá)方式。通過(guò)數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，可以簡(jiǎn)約、精確地描述自然現(xiàn)象、科學(xué)情境和日常生活中的數(shù)量關(guān)系與空間形式;能夠在現(xiàn)實(shí)生活與其他學(xué)科中構(gòu)建普適的數(shù)學(xué)模型，表達(dá)和解決問(wèn)題;能夠理解數(shù)據(jù)的意義與價(jià)值，會(huì)用數(shù)據(jù)分析結(jié)果解釋和預(yù)測(cè)不確定現(xiàn)象，形成合理的判斷或決策;形成數(shù)學(xué)的表達(dá)與交流能力，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)與實(shí)踐能力?！?/p>

二、統(tǒng)籌分析相關(guān)年級(jí)同一內(nèi)容的教材編排特點(diǎn)

不同版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材將“雞兔同籠”數(shù)學(xué)模型安排在如下頁(yè)表1所示的不同年級(jí)，最早的安排在小學(xué)二年級(jí)下冊(cè)教材，最遲的安排在小學(xué)六年級(jí)下冊(cè)教材，跨度極大。也正因?yàn)槠淇缍葮O大，同樣的內(nèi)容在不同年級(jí)不同版本教材中的呈現(xiàn)方式、提供的解題方法亦各有不同，體現(xiàn)了學(xué)生同一核心素養(yǎng)不同的表現(xiàn)水平。

滬教版二年級(jí)下冊(cè)教材中呈現(xiàn)的羊和鴨的問(wèn)題從屬于“雞兔同籠”這一類問(wèn)題，解決問(wèn)題的方法主要是運(yùn)用列表法枚舉出羊和鴨的腿數(shù)是22條時(shí)羊和鴨可能有多少只的各種情況，讓學(xué)生初步體會(huì)生活中有許多問(wèn)題就是數(shù)學(xué)中的“雞兔同籠”問(wèn)題。按照《2022版數(shù)學(xué)課標(biāo)》的學(xué)段劃分方法，浙教版和現(xiàn)行人教版教材都把“雞兔同籠”問(wèn)題安排在了第二學(xué)段，引導(dǎo)學(xué)生由“雞兔同籠”問(wèn)題過(guò)渡到解決“雞兔同籠”變式題，掌握“雞兔同籠”這一類問(wèn)題的解決方法;北師大版、蘇教版、青島版三個(gè)版本的教材都把“雞兔同籠”這一類問(wèn)題安排在了第三學(xué)段，著重引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)構(gòu)建“雞兔同籠”問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。雖然不同版本的教材所用的例題不同，給出的解題方法也不完全一致，但都用到了列表法，且“畫(huà)圖法與列表法”“列表法與假設(shè)法”有機(jī)結(jié)合，一定程度上關(guān)注到了方法之間的融合。

三、分層推進(jìn)同一核心素養(yǎng)同一內(nèi)容系列課主題教研

以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，對(duì)比各個(gè)版本教材的教學(xué)內(nèi)容呈現(xiàn)和學(xué)習(xí)要求，我們對(duì)“雞兔同籠”問(wèn)題有了一些新的思考。不同的學(xué)段，學(xué)生的思維發(fā)展水平不同：二年級(jí)的學(xué)生以形象思維為主，四年級(jí)的學(xué)生開(kāi)始由形象思維向抽象思維過(guò)渡，六年級(jí)的學(xué)生初步形成抽象思維?！?022版數(shù)學(xué)課標(biāo)》明確規(guī)定了不同學(xué)段模型意識(shí)的表現(xiàn)水平：第一學(xué)段，“認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中大量的問(wèn)題都與數(shù)學(xué)有關(guān)”;第二學(xué)段，“有意識(shí)地用數(shù)學(xué)概念與方法解釋生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題”;第三學(xué)段，“在現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出一類的數(shù)學(xué)問(wèn)題”。

為了打通三個(gè)不同學(xué)段學(xué)生“對(duì)數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟”的度的序列，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)解決“雞兔同籠”這一類問(wèn)題的基本思想方法，我們基于同一核心素養(yǎng)的培養(yǎng)策略，為模型意識(shí)的培養(yǎng)建構(gòu)了基本的教學(xué)模型和學(xué)生習(xí)得同一核心素養(yǎng)的度的模型，使“雞兔同籠”系列課的教學(xué)研究基于核心素養(yǎng)的學(xué)段遞升要求而呈現(xiàn)出教學(xué)層次上的螺旋上升態(tài)勢(shì)。我們決定以《2022版數(shù)學(xué)課標(biāo)》所厘定的各學(xué)段模型意識(shí)表現(xiàn)水平為本次主題教研各學(xué)段核心素養(yǎng)的培養(yǎng)標(biāo)準(zhǔn)，課程內(nèi)容建構(gòu)基于教材而又不因循教材，可以由教師自主發(fā)揮，只是規(guī)定了各學(xué)段的教學(xué)層次要求：二年級(jí)的課例研究側(cè)重用畫(huà)圖法解決簡(jiǎn)單的“雞兔同籠”問(wèn)題;四年級(jí)的課例研究側(cè)重用列表法和假設(shè)法落實(shí)“雞兔同籠”問(wèn)題解決的思想方法，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生借助畫(huà)圖法理解假設(shè)法中每一步所表示的具體意義;六年級(jí)的課例研究綜合列舉法、列表法、假設(shè)法、方程法，并側(cè)重用方程法解決“雞兔同籠”的數(shù)學(xué)建模。

（一）創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，探究教學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的數(shù)學(xué)化，可以用來(lái)解決現(xiàn)實(shí)生活中的一類問(wèn)題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑。王永春教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括地或近似地描述現(xiàn)實(shí)世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。教學(xué)過(guò)程中，教師創(chuàng)設(shè)與學(xué)生的生活環(huán)境和知識(shí)背景密切相關(guān)的問(wèn)題情境，有利于激發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方式關(guān)注現(xiàn)實(shí)世界并開(kāi)展探究式學(xué)習(xí)的興趣，使學(xué)生更加樂(lè)于積極主動(dòng)地投入到解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題、建構(gòu)相關(guān)問(wèn)題解決模型的數(shù)學(xué)活動(dòng)當(dāng)中。

我們?cè)谕七M(jìn)三個(gè)年級(jí)主題課例研究的過(guò)程中，都十分注重創(chuàng)設(shè)生活化的問(wèn)題情境，引發(fā)學(xué)生探究相關(guān)數(shù)學(xué)模型的欲望。例如，二年級(jí)的課例直接為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一個(gè)“雞兔同籠”的問(wèn)題情境：“雞和兔關(guān)在同一個(gè)籠子里，數(shù)它們的頭共有5個(gè)，數(shù)它們的腿共有14條，有幾只雞？有幾只兔？”四年級(jí)和六年級(jí)的課例都由《孫子算經(jīng)》中的趣題“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉兔各幾何”導(dǎo)入，激發(fā)學(xué)生的探究興趣，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，讓學(xué)生在思考中感悟數(shù)學(xué)文化的魅力。

（二）經(jīng)歷建模過(guò)程，形成數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)聯(lián)系的基本途徑，需要從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。課堂教學(xué)中，教師改變以往按不同題型把知識(shí)“注入”學(xué)生大腦的灌輸式教學(xué)模式，通過(guò)創(chuàng)設(shè)生活化的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察思考、整合已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、抽象歸納、自主探究問(wèn)題解決方法、建構(gòu)相關(guān)數(shù)學(xué)模型的完整過(guò)程，使學(xué)生可以逐步形成“對(duì)數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟”，發(fā)展模型意識(shí)。

“雞兔同籠”出現(xiàn)在不同年級(jí)的教材當(dāng)中，可以讓不同年級(jí)的學(xué)生用適合他們的思維方式和方法思考和解決現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)解題方法的多樣化。但是，再多樣的解題方法，都離不開(kāi)一個(gè)基本的數(shù)學(xué)思想方法，那便是假設(shè)的思想方法。

二年級(jí)重在運(yùn)用畫(huà)圖法解決問(wèn)題，同時(shí)將假設(shè)的思想方法滲透在畫(huà)圖方法之中。假設(shè)的思想方法是根據(jù)題目中的條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)募僭O(shè)，然后經(jīng)由推理調(diào)整假設(shè)，最后得出正確答案的思想方法。在之前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生雖然沒(méi)有接觸過(guò)假設(shè)的思想方法，但日常生活中卻不乏“假設(shè)”經(jīng)驗(yàn)，如把A假設(shè)為B進(jìn)行角色扮演等。將假設(shè)的思想方法滲透在畫(huà)圖法當(dāng)中，可以讓畫(huà)出的某個(gè)圖示先全部假設(shè)為雞或兔，再根據(jù)題意進(jìn)行分析，從“是否符合題意”的角度對(duì)圖示進(jìn)行局部調(diào)整，使圖示由“雞”變“兔”或由“兔”變“雞”，最終實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決。因?yàn)楫?huà)圖是以假設(shè)為前提的，學(xué)生既可以假設(shè)籠中全是雞，也可以假設(shè)籠中全是兔。假設(shè)籠中全是雞：因?yàn)椤皵?shù)它們的頭共有5個(gè)”，所以可以先畫(huà)5只雞，根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)給每只雞畫(huà)2條腿，如圖1（1）所示，于是有10條腿;因?yàn)椤皵?shù)它們的腿共有14條”，所以可知少畫(huà)了4條腿，根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)把這4條腿平均分后分別添在2只假想雞的身上，使2只雞變成2只兔，這樣便可得出符合條件的結(jié)論即3只雞、2只兔。假設(shè)籠中全是兔：因?yàn)椤皵?shù)它們的頭共有5個(gè)”，所以可以先畫(huà)5只兔，根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)給每只兔畫(huà)4條腿，如圖1（2）所示，于是有20條腿;因?yàn)椤皵?shù)它們的腿共有14條”，所以可知多畫(huà)了6條腿，根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)給3只假想兔分別去掉2條腿，這樣就去掉了6條腿，將3只兔變成了3只雞，于是可得出符合條件的結(jié)論即2只兔、3只雞。

四年級(jí)學(xué)生重點(diǎn)學(xué)會(huì)用假設(shè)法解決問(wèn)題，同時(shí)溝通畫(huà)圖法、列表法和假設(shè)法之間的內(nèi)在聯(lián)系。課堂中，教師先讓學(xué)生嘗試自主解決問(wèn)題。學(xué)生根據(jù)以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，呈現(xiàn)了畫(huà)圖法、列表法和假設(shè)法三種方法，如圖2所示。教師通過(guò)師生交互、生生質(zhì)疑的方式，組織大家逐一理解三種方法：先由學(xué)生介紹自己的方法，再組織課堂互動(dòng)。畫(huà)圖法與之前二年級(jí)學(xué)生所學(xué)的方法一樣，學(xué)生不存在理解和解題困難，且用假設(shè)的思想方法解決“雞兔同籠”問(wèn)題的思路非常清晰：“我先畫(huà)8個(gè)圓表示8個(gè)頭，假設(shè)全是雞，每個(gè)圓下面就畫(huà)2只腳，這樣就有了16只腳。因?yàn)橐还灿?6只腳，這樣就還差10只腳，將這10只腳分別添加在5個(gè)頭下，使5只雞變成5只兔，這樣就得出了3只雞、5只兔。”列表法的學(xué)生，所列表格充分體現(xiàn)了“猜測(cè)+有順序地調(diào)整”的列表思想：“先猜有8只雞和0只兔，于是有16只腳;與實(shí)際比較，腳少了，保持頭數(shù)不變，于是調(diào)整為7只雞和1只兔，有18只腳……按照雞數(shù)減1、兔數(shù)加1的方法依次調(diào)整下去，最終便可得出正確的結(jié)果?！彪S著學(xué)生的講述，教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生觀察表中數(shù)據(jù)的變化，發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：“在雞和兔的總頭數(shù)不變的情況下，每減少1只雞、相應(yīng)增加1只兔，腳的總條數(shù)便相應(yīng)增加2;反之，每增加1只雞、相應(yīng)減少1只兔，腳的總條數(shù)便相應(yīng)減少2。”列表法為接下來(lái)用假設(shè)法解決“雞兔同籠”問(wèn)題做好了孕伏。假設(shè)法是對(duì)畫(huà)圖法和列表法的抽象和提升，是學(xué)生最不容易理解的解題方法。假設(shè)法要先對(duì)題目中的已知條件或問(wèn)題做出某種假設(shè)，然后按照題中的已知條件進(jìn)行推算，基于數(shù)據(jù)之間的矛盾適當(dāng)調(diào)整數(shù)據(jù)的變化，直至找出正確答案。該方法的解題核心是“由假找矛”，即從假設(shè)中找到條件給出的數(shù)量關(guān)系之間的矛盾。教學(xué)時(shí)，教師可以結(jié)合畫(huà)圖法，幫助學(xué)生理解假設(shè)法的應(yīng)用：“假設(shè)籠子里全是雞，就有2×8=16只腳，而籠子里實(shí)際有26只腳，這樣就多出了26-16=10只腳，而1只兔比1只雞多4-2=2只腳，給每只雞添上2只腳，這樣就需要給10÷2=5只雞各添上2只腳，5只雞就變成了5只兔，那么雞的只數(shù)就是8-5=3只了?！?/p>

作為小學(xué)階段的最高年級(jí)，六年級(jí)的“雞兔同籠”教學(xué)側(cè)重引導(dǎo)學(xué)生溝通畫(huà)圖法、列表法、假設(shè)法、方程法之間的聯(lián)系，感受方程法的優(yōu)勢(shì)，同時(shí)與中學(xué)學(xué)習(xí)做好銜接。方程法是把未知量設(shè)為字母x，然后把字母x作為已知量參與計(jì)算，根據(jù)等量關(guān)系列出等式求解的方法。該課教學(xué)，教師可以不限方法先讓學(xué)生在課前自主解決《孫子算經(jīng)》中的“雉兔同籠”問(wèn)題;基于學(xué)生給出的方法，在課中引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比畫(huà)圖法、列表法、假設(shè)法三種方法，發(fā)現(xiàn)這三種方法的異同，發(fā)現(xiàn)三種方法都是“依據(jù)‘上有三十五頭，先假設(shè)35只全是雉，這樣就有70足，再把70足與總數(shù)94足進(jìn)行比較，小了就調(diào)大、大了再調(diào)小”，而這正是解決這一類問(wèn)題的必經(jīng)過(guò)程“假設(shè)—比較—調(diào)整”的過(guò)程;最后組織學(xué)生將假設(shè)法與方程法進(jìn)行比較，“假設(shè)法里的35×2在方程法里有沒(méi)有”“假設(shè)法和方程法里都有‘94-70，它算的是什么”“方程法里的4x-2x表示的是什么？”，通過(guò)比較找出兩種方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會(huì)方程法直接、簡(jiǎn)單的優(yōu)勢(shì)。

三個(gè)年級(jí)的“雞兔同籠”教學(xué)都教給了學(xué)生解決此類問(wèn)題的基本策略和方法，并將假設(shè)的思想方法滲透其中，使學(xué)生學(xué)會(huì)了用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，通過(guò)收集、整理、加工現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)學(xué)信息，經(jīng)歷了建立數(shù)量關(guān)系模型的過(guò)程，發(fā)展了數(shù)學(xué)思維，學(xué)會(huì)了運(yùn)用不同的解題方法正確解決現(xiàn)實(shí)生活中的同一類問(wèn)題，體驗(yàn)到了提煉和運(yùn)用策略進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成就感。從三年級(jí)至六年級(jí)，教師一步步引導(dǎo)學(xué)生對(duì)各種解題方法進(jìn)行比較、反思，讓學(xué)生從中找出正確的解題思路和最優(yōu)的解題方法，不斷完善相關(guān)數(shù)學(xué)模型，不斷提高解決問(wèn)題的能力。

（三）結(jié)合生活實(shí)際，拓展數(shù)學(xué)模型

新的模型通過(guò)解釋、評(píng)價(jià)，將自然地納入學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并化為學(xué)生自身的解題能力，使學(xué)生實(shí)現(xiàn)認(rèn)識(shí)上的飛躍、能力上的提升。學(xué)生運(yùn)用新的數(shù)學(xué)模型解答現(xiàn)實(shí)生活中的一類實(shí)際問(wèn)題，從中體會(huì)到數(shù)學(xué)模型應(yīng)用的價(jià)值。

在課堂教學(xué)中，我們?yōu)槊總€(gè)年級(jí)都安排了基于模型應(yīng)用的適合該年齡段學(xué)生實(shí)際的如圖3所示的變式練習(xí)題。二年級(jí)通過(guò)“自行車(chē)和三輪車(chē)的輪子問(wèn)題”，四年級(jí)通過(guò)“龜鶴問(wèn)題”“租船問(wèn)題”，六年級(jí)通過(guò)“購(gòu)物數(shù)量問(wèn)題”等不同的變式呈現(xiàn)，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到“雞兔同籠”數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價(jià)值：雖然問(wèn)題的情境在變，但問(wèn)題的本質(zhì)——數(shù)量之間的關(guān)系不變。學(xué)生在解決這些問(wèn)題的過(guò)程中，會(huì)逐漸體會(huì)到“雞兔同籠”數(shù)學(xué)模型的典型意義，促進(jìn)其對(duì)模型的內(nèi)化，最終完成模型的意義建構(gòu)與靈活運(yùn)用。

眾所周知，人的認(rèn)識(shí)過(guò)程是不斷由感性到理性再回到感性的循環(huán)往復(fù)、螺旋上升的過(guò)程。在經(jīng)歷了從具體問(wèn)題中抽象和構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型以后，教師還應(yīng)組織學(xué)生對(duì)所學(xué)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行適度拓展，乃至進(jìn)行更高層面的重塑，進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的形成和認(rèn)知水平的發(fā)展。數(shù)學(xué)學(xué)科原本就是在抽象、概括、模式化的過(guò)程中逐漸豐富和發(fā)展起來(lái)的一門(mén)課程，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只有深入到“模型”“建模”的程度才能觸及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)，才能真正有助于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育和發(fā)展。我們聚焦同一核心素養(yǎng)同一內(nèi)容系列課主題教研，旨在通過(guò)同一內(nèi)容在不同年級(jí)的教學(xué)實(shí)施，打通學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法理解和感悟的不同層次，不斷提升學(xué)生的問(wèn)題解決能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

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作者簡(jiǎn)介：黎益（1971— ），廣西蒼梧人，廣西特級(jí)教師，高級(jí)教師，主要研究方向?yàn)閷W(xué)校管理及小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué);林雯（1979— ），廣西柳州人，一級(jí)教師，主要研究方向?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

（責(zé)編 白聰敏）