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      是一一列舉還是搭配計(jì)算?

      2022-05-30 14:03:57薛陳香
      關(guān)鍵詞:搭配對(duì)比

      薛陳香

      [摘 要]在小學(xué)階段的排列組合問(wèn)題中,一一列舉是最基礎(chǔ)的方法。搭配算法公式是靠簡(jiǎn)易的列舉操作來(lái)印證,而復(fù)雜的排列組合問(wèn)題有時(shí)為了訓(xùn)練學(xué)生有序思考,不得不繞過(guò)搭配運(yùn)算來(lái)一五一十地列舉。正是這種錯(cuò)綜復(fù)雜的微妙關(guān)系帶來(lái)了學(xué)生的生成性教學(xué)資源。

      [關(guān)鍵詞]一一列舉;搭配;有序;對(duì)比

      [中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068(2022)14-0024-03

      【教學(xué)案例】

      出示題目(蘇教版教材第九冊(cè)第94頁(yè)):

      教師先讓學(xué)生舉例,再選擇一些不完整的做法寫(xiě)在黑板上,讓學(xué)生一起尋找缺漏,然后讓學(xué)生在畫(huà)有5個(gè)格子的表格中,一個(gè)個(gè)地枚舉。教師提示從長(zhǎng)為10米開(kāi)始有序列舉(如表1),然而許多學(xué)生反其道而行之,從長(zhǎng)為1米開(kāi)始逐個(gè)列舉(如表2)。

      新課結(jié)束后的檢測(cè)環(huán)節(jié)出示教材第95頁(yè)的“練一練”第2題:

      不知道是因?yàn)橐粫r(shí)大意,還是教師因輕視而刻意為之,原本寫(xiě)在習(xí)題后的提示語(yǔ)——“先填表,再回答”已然不見(jiàn)。教師發(fā)現(xiàn)一位成績(jī)優(yōu)秀的女生愁眉緊鎖后立馬上前詢問(wèn):“到底出什么狀況了?”怎料這位女生疑惑地說(shuō):“這道題與以前學(xué)過(guò)的一一搭配有什么分別呢?只需要列出乘法算式‘3×4=12就可快刀斬亂麻,何必這么大費(fèi)周章!”此言一出,引來(lái)一陣騷動(dòng)。教師錯(cuò)愕,呆了片刻,猛然醒悟,原來(lái)附錄的注腳漏掉了,于是馬上緊急補(bǔ)救:“教材有明確要求,需要一一列舉!”……

      一、逃避問(wèn)題,無(wú)視生成性資源

      課后,筆者對(duì)三位學(xué)生進(jìn)行了訪談。首先問(wèn)“從長(zhǎng)為1米開(kāi)始逐次往上遞增”的學(xué)生:“你為何要從1米開(kāi)始嘗試?”他答道:“研究問(wèn)題,不都是從最小開(kāi)始的?”接著問(wèn)“從10米長(zhǎng)往下依序遞減”的學(xué)生:“你為何要從10米長(zhǎng)開(kāi)始?”他喃喃道:“書(shū)上這么說(shuō)的?!弊詈笤儐?wèn)偏好乘法的女生:“你為何試都不試,一步到位,直接算出結(jié)果?”她理直氣壯地說(shuō)道:“本就是計(jì)算搭配方法,何必去一個(gè)個(gè)數(shù)!”……筆者與授課教師交流:“你為什么只展示部分作業(yè)?”對(duì)方理直氣壯:“從10米長(zhǎng)往下依序遞減,這是書(shū)上的定論。更何況‘長(zhǎng) =1米、寬 =10米這種寫(xiě)法很反常,不符合語(yǔ)言習(xí)慣和我們對(duì)長(zhǎng)和寬的通用定義!因此應(yīng)該從最長(zhǎng)的長(zhǎng)度往下遞減?!?“對(duì)學(xué)生提出的用乘法直接算出結(jié)果,你為何敷衍搪塞、躲閃回避?”教師找了個(gè)理由:“一一列舉是教材所定,不敢違逆,只不過(guò)我一時(shí)疏忽,制作課件時(shí)遺漏了……”

      學(xué)生之所以會(huì)有疑慮,完全是因?yàn)閷?duì)搭配方法計(jì)算與一一列舉沒(méi)有嚴(yán)格區(qū)分所致。搭配方法的算理揭示也是靠一一列舉實(shí)現(xiàn)的,而復(fù)雜的排列組合問(wèn)題也需要一一列舉,解決這一癥結(jié)的方法是滲透有序思考數(shù)學(xué)思想。有序思考是貫穿問(wèn)題的主軸,例題中用周長(zhǎng)一定來(lái)反推面積的做法,其實(shí)是對(duì)定長(zhǎng)的拆分,這種拆分與搭配(組合)一樣,需要有序思考。按照一一列舉的做法,就要先暫定其中一個(gè)元素(長(zhǎng)或?qū)挘?,再降序排列或者升序排列,最后發(fā)現(xiàn)重復(fù)部分,然后剔除,這樣一來(lái)就會(huì)對(duì)學(xué)生造成思維干擾:將搭配與拆分自動(dòng)對(duì)比,而分配長(zhǎng)和寬只能一一列舉,無(wú)法像搭配那樣直接計(jì)算。因此,在后面的一一列舉一葷一素組合時(shí),學(xué)生理所當(dāng)然想到直接用公式計(jì)算,跳過(guò)一一列舉。

      二、 指明要求,迫使學(xué)生一一列舉

      本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是使學(xué)生通過(guò)一一列舉解決問(wèn)題,體驗(yàn)到有序列舉的優(yōu)勢(shì),并會(huì)根據(jù)有序列舉速戰(zhàn)速?zèng)Q,感受到一一列舉的獨(dú)特作用,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生思維的有序性。

      教師在備課時(shí)應(yīng)該意識(shí)到,這一課程被編排在第九冊(cè)的教材中,選擇教學(xué)方式時(shí),應(yīng)考慮到學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備。反思以上教學(xué)片段,不難發(fā)現(xiàn)教師的預(yù)期與學(xué)生的基礎(chǔ)之間存在差距。

      在教學(xué)例題時(shí),教師對(duì)教材亦步亦趨,一一羅列出各個(gè)知識(shí)點(diǎn)、劃定重難點(diǎn):首先強(qiáng)調(diào)基本構(gòu)成單位——1米長(zhǎng)的木條,提示長(zhǎng)和寬不存在小數(shù),然后就對(duì)數(shù)量“22”進(jìn)行拆分,讓學(xué)生明白這個(gè)22米不是別的,其實(shí)就是周長(zhǎng),最后著重攻克“面積最大”的難題,讓學(xué)生明確“在眾多的解法中尋找最優(yōu)解,也就是在不確定、不唯一的面積算法中找到最大面積”。

      按照五年級(jí)學(xué)生的思維特點(diǎn),教學(xué)時(shí)更適合用“逆推追溯”的分析法,也就是剖析例題時(shí),可從條件到結(jié)論順推,但更應(yīng)該從問(wèn)題起步,逆推溯源,由最后的“確定面積”來(lái)反向求長(zhǎng)和寬的具體值,從而在周長(zhǎng)恒定時(shí),一一列舉長(zhǎng)和寬的各種配對(duì)情況,并根據(jù)長(zhǎng)和寬的守恒增減來(lái)反映面積大小的變化。

      在教學(xué)例題時(shí),教師無(wú)原則地遷就學(xué)生,任其信手列舉,然后將散亂的列舉拿來(lái)“開(kāi)刀”,以此突出有序列舉的優(yōu)勢(shì)。其實(shí),有序思想早已存在(例如低年級(jí)的數(shù)數(shù)、因數(shù)和倍數(shù)等),對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)可謂是“老相識(shí)”。許多知識(shí)都隱含有序思維,可以說(shuō),有序性是數(shù)學(xué)思考的基本方法,也是數(shù)學(xué)研究的基礎(chǔ)邏輯。

      因此,筆者倡議:當(dāng)列舉比較多的圍法時(shí),要做到快刀斬亂麻,將所有可能一次性呈現(xiàn),就必須喚醒學(xué)生有序思考的經(jīng)驗(yàn),直接開(kāi)始制訂有序列舉的策略。不僅如此,提供路線比指導(dǎo)方法更管用,因?yàn)橹灰较蛘_,方法是遲早可以得出的,無(wú)非就是多一道優(yōu)化的手續(xù)。如此一來(lái),學(xué)生的學(xué)習(xí)就不會(huì)呆板僵化,上述教學(xué)案例中教師的尷尬(必須按照教材從長(zhǎng)度10米逐級(jí)遞減)就會(huì)化于無(wú)形。教師可以順應(yīng)學(xué)生的生成性資源,從最小的1米開(kāi)始逐漸遞增,例如假設(shè)長(zhǎng)為1米,通過(guò)(22-1×2)÷2就可以順利計(jì)算出寬度為10米……至于教師憂慮的“‘長(zhǎng) =1、寬 =10這種表述很別扭”,完全對(duì)解題構(gòu)不成威脅,因?yàn)椤伴L(zhǎng)”與“寬”只是人為命名的,數(shù)字大小沒(méi)有規(guī)定。如果學(xué)生實(shí)在要鉆這個(gè)牛角尖,教師可以提出“只需將長(zhǎng)和寬對(duì)調(diào)即可”。

      在備好的原始空表中,教師不妨改良一番,增設(shè)“周長(zhǎng)”一欄(如表3)來(lái)拓展學(xué)生的思維,這樣更利于凸顯不變之中的變數(shù)。

      在學(xué)生反饋時(shí),再改弦更張“22÷2=11”,然后將11分解成兩條鄰邊的長(zhǎng),對(duì)長(zhǎng)和寬進(jìn)行一一列舉,這樣就能直接與教材從長(zhǎng)度10米開(kāi)始遞減的做法完美銜接。學(xué)生沿著自己的思路,從小到大列舉到5的時(shí)候,會(huì)發(fā)現(xiàn)余下的都是長(zhǎng)和寬對(duì)調(diào)后的重復(fù)組合,從而停手。反觀教學(xué)案例,教師沒(méi)有對(duì)教材列舉到6就打住做出合理解釋,發(fā)的5格表也帶有很強(qiáng)的暗示性和誤導(dǎo)性(似乎未卜先知,預(yù)知上限只有5種,根本否定第6種的存在)??茖W(xué)的做法應(yīng)是:取消表格格數(shù)上限,沒(méi)有固定格數(shù),由學(xué)生自己調(diào)整后確定。

      正確處理好教與學(xué)的矛盾,才是調(diào)整教學(xué)的前提和依據(jù),教與學(xué)的矛盾處理好了,教學(xué)流程自然就順暢了。首先就是要處理好因果關(guān)系,這點(diǎn)很重要。到底是因?yàn)殚L(zhǎng)和寬的組合存在多樣性,所以導(dǎo)致面積不確定,還是因?yàn)槊娣e本身存在不確定性,所以要去尋找長(zhǎng)和寬的不同組合,這一點(diǎn)與一一列舉的動(dòng)機(jī)是分不開(kāi)的。其實(shí),從結(jié)論到條件的追溯法更能體現(xiàn)一一列舉的必要性。其次,到底是先從無(wú)序列舉中慢慢探尋有序列舉,還是直接提示有序列舉,這是基于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)所做的決定。既然是以培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生有序思維為宗旨,就不可能一蹴而就,需要學(xué)生積累有序思考的經(jīng)驗(yàn),所以此時(shí)可以直接要求學(xué)生有序列舉,這樣教學(xué)的目標(biāo)性更強(qiáng)。最后,是對(duì)重復(fù)性的發(fā)現(xiàn)。即使出現(xiàn)重復(fù)列舉,也不妨礙有序思維的訓(xùn)練,所以教師不需要事先阻止或者壓制學(xué)生重復(fù)列舉,待學(xué)生自然列舉后,將重復(fù)的部分解釋清楚并剔除就可,這樣反而能讓學(xué)生的有序思維更加嚴(yán)密。

      三、對(duì)比方法,前后延伸

      回顧教學(xué)案例可以發(fā)現(xiàn),教師根本沒(méi)有料到學(xué)生會(huì)有“搭配規(guī)律”的操作。有些學(xué)生受到提點(diǎn),幡然醒悟,發(fā)現(xiàn)原有的方案“3×4=12(種)”更快捷。教材“舍近求遠(yuǎn)”,要求學(xué)生“先填表,再回答”,顯然是為了繞開(kāi)老路,重開(kāi)新路,用新藥治療舊病,引導(dǎo)學(xué)生前后對(duì)比,揣摩搭配計(jì)算與一一列舉的聯(lián)系。然而,很是令人惋惜,教師不明其中原委,制作課件時(shí)漏掉了不可或缺的附帶要求,導(dǎo)致意外發(fā)生。

      出現(xiàn)這種狀況,主要責(zé)任在于教師固執(zhí)地按照教材行事,這恰是對(duì)學(xué)生思維的抑制。如果教師高瞻遠(yuǎn)矚,抓住學(xué)生的思維火花,順應(yīng)學(xué)生,就能在對(duì)比后用事實(shí)說(shuō)話——“再英明的策略,換了情境就要另當(dāng)別論”,從而提高站位,為授課畫(huà)上出彩的一筆。然而,令人遺憾的是,教師缺少全局觀,只見(jiàn)到教材的先進(jìn)性,而忽視其劣勢(shì),不能一分為二地看待問(wèn)題;即使有了全局觀,也覺(jué)得多一事不如少一事,免得節(jié)外生枝。如果沒(méi)有出現(xiàn)意外,這道例題通常存在兩種處理方式:一是完整出示習(xí)題要求,強(qiáng)令學(xué)生使用新方法,然后對(duì)比融通新舊方法,從而明白新舊方法都可行;二是將原問(wèn)法“共有幾種搭配?”改成“共有哪些搭配?”,迫使學(xué)生“就范”——只能列舉。

      好的教學(xué)應(yīng)該能夠前后延伸,除了“向前(已學(xué)知識(shí))追溯”,讓學(xué)生認(rèn)清一一列舉的不足,還可以利用例題2(如圖3)“向后(未學(xué)知識(shí))展望”。在學(xué)生嘗試一一列舉的策略后,教師可把數(shù)據(jù)擴(kuò)大化,暴露出一一列舉的短板:“等以后了解了最小公倍數(shù),不用一一列舉就可輕易求解。”如此,學(xué)生才會(huì)長(zhǎng)進(jìn),并最終明白“隨著知識(shí)的豐富,解題方法也會(huì)更先進(jìn)”,并逐步形成穩(wěn)健的思維習(xí)慣:首先研判“能不能”(一一列舉的可行性評(píng)估),然后斟酌取舍。

      教師還可以提點(diǎn)學(xué)生:“在一些情況下,一一列舉成了唯一選擇。例如教材第97頁(yè)練習(xí)十七中的例題3(如圖4)。”

      至此,一一列舉和搭配方法計(jì)算之間的關(guān)系總算捋順了,二者都是為有序思考的培養(yǎng)服務(wù)的,但是區(qū)別也很明顯,搭配方法計(jì)算雖然也用到一一列舉來(lái)作為前期的直觀演示,但這只是一種總結(jié)公式的手段,而且搭配方法計(jì)算的是總數(shù),要的是一個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)果,當(dāng)需要一一判別各種不同的組合情況時(shí),這個(gè)總數(shù)就不起作用了,而一一列舉就十分適用。因此,只要將教材第95頁(yè)的“練一練”第2題稍作改變,學(xué)生就會(huì)“乖乖”去列舉:將“有幾種葷素搭配?”改為“存在哪些葷素搭配情況?”。

      總之,無(wú)論有無(wú)教學(xué)案例中的生成性資源,這節(jié)課都應(yīng)該完成這樣的目標(biāo)——讓學(xué)生靈活決策。當(dāng)然,教師也要靈活教學(xué)。

      [ 參 考 文 獻(xiàn) ]

      [1] 陳赟.借助問(wèn)題解決培養(yǎng)“有序”思維:以《一一列舉的策略》一課為例[J].山西教育(教學(xué)),2021(8):29-30.

      [2] 冒金彬.說(shuō)課:內(nèi)容應(yīng)重于形式[J].教育研究與評(píng)論(小學(xué)教育教學(xué)),2021(2):37-40.

      (責(zé)編 金 鈴)

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