探究高中函數(shù)概念深度學習內(nèi)涵及教學策略

姚亞南

摘 要：在新課程改革如火如荼推進的今天，教師的教育理念也正在進行著革新，越來越關(guān)注數(shù)學知識的深度學習。函數(shù)是高中數(shù)學最重要的主線之一。以深度學習理論為指導，總結(jié)深度學習內(nèi)涵，分析學生學習現(xiàn)狀，以“函數(shù)的概念”一課時為例，進行深度學習的教學設計，并形成函數(shù)概念深度學習的教學策略。

關(guān)鍵詞：函數(shù)概念;深度學習;教學策略

2014年新高考改革啟動以來，各省份積極響應，改革穩(wěn)步進行，同時，數(shù)學新教材也投入使用，這一變革使得一線教師的教育理念也隨之發(fā)生變化。長期以來的應試教育體制使數(shù)學教育中的教與學過分注重解題的技巧和方法，忽視了數(shù)學的基本概念，導致學生對數(shù)學概念的學習往往流于表面，無法掌握其內(nèi)在含義。隨著新教材的改革，這種形式已經(jīng)不能適應時代的發(fā)展，對一些新的出題方式、新高考改革中的新題型無從下手，因此需要將深度學習理論融入課堂。數(shù)學深度學習理論是深度學習理論與數(shù)學學科特點相結(jié)合的成果，能夠讓學生對數(shù)學概念的學習由淺入深，以表層的數(shù)學知識符號為媒介實現(xiàn)對數(shù)學概念本質(zhì)的理解與掌握。

德國數(shù)學家克萊因提出：函數(shù)概念應該成為數(shù)學教育的靈魂。以函數(shù)概念為中心，將全部數(shù)學教材集中在它周圍，充分地綜合。函數(shù)作為貫穿整個高中數(shù)學課程的主線，在數(shù)學概念教學中有著重要的地位，因此，如何促進高中函數(shù)概念的深度學習，成為新時代背景下應該探究的問題。筆者結(jié)合高中一線教學經(jīng)驗，通過總結(jié)現(xiàn)階段學生學習的現(xiàn)狀，并針對這些問題，以人教版新教材第一冊第三章第一課時“函數(shù)的概念”為例，淺談促進高中函數(shù)概念深度學習的幾點教學建議。

一、學生學習現(xiàn)狀分析

筆者在工作期間對某實驗中學的高一學生進行觀察，同時向多名教師請教，并結(jié)合以往的教學經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)學生在學習函數(shù)概念這一部分知識時主要存在以下兩方面的問題。

（一）先入為主，接受新知困難

首先，由于初中函數(shù)的概念是“變量說”，即直接針對兩個變量x、y的一種對應關(guān)系，較為直觀和具象，學生對此種概念已經(jīng)較為熟悉，應用起來也得心應手，受先入為主思想的限制，對高中“對應說”這一函數(shù)概念引入的必要性認識不足，對函數(shù)概念“對應說”定義接受起來存在困難。

其次，對“為什么要重新定義函數(shù)概念”心存疑惑。學生在預習知識的時候會產(chǎn)生疑慮：我們在初中已經(jīng)學習過函數(shù)的概念了，為什么又要重新學習？并對新的概念產(chǎn)生疑惑，認為沒有重新學習的必要。

最后，受畏難情緒的影響，認為函數(shù)部分的知識復雜難學，對函數(shù)的學習有或多或少的恐懼，對新的概念有排斥心理。

（二）抽象思維尚未形成，歸納總結(jié)困難

高中函數(shù)概念較為抽象，需要學生有一定的數(shù)學抽象能力。在學習時，需要學生通過具體的實例抽象和歸納得出函數(shù)概念，這要求學生通過自己的努力進行探索，對能力要求較高。高一剛?cè)雽W的學生，抽象思維尚未形成，他們在嘗試通過“觀察、分析、比較、歸納、概括”得出概念時，其中任何一個環(huán)節(jié)出現(xiàn)問題都可能得不到函數(shù)的概念。另外，初中生對函數(shù)的理解僅停留在一些具體函數(shù)的層面上，更準確地說是局限于對函數(shù)具體解析式的理解，重計算、重例題，對抽象的函數(shù)符號理解有一定的困難。

二、“函數(shù)的概念”深度學習教學設計

（一）巧設情境——復雜問題生活化

讓學生在具體的生活情境中形成數(shù)學深度學習的理念，感悟數(shù)學本質(zhì)。例如，在函數(shù)概念第一課時教學時，可以利用學生已經(jīng)具備的函數(shù)知識創(chuàng)設問題情境，以舊引新，將復雜的函數(shù)問題以生活中的具體實例進行呈現(xiàn)，激發(fā)學生的求知欲，以學生為主體，調(diào)動其學習積極性，再輔以教師的引領和啟發(fā)，帶領學生討論交流，實現(xiàn)知識的內(nèi)化、形成與遷移，從而在這個基礎上說明初中函數(shù)概念的局限性和學習新定義的必要性。如在教學時，可以以教材為基礎，同時滲透深度學習理論，設置以下幾個問題情境引入函數(shù)概念。

問題情境一：復習回顧舊知，深度參與課堂情境

教師：同學們知道函數(shù)嗎？你們都學習過哪些函數(shù)？

學生1：我學習過一次函數(shù)、二次函數(shù)。

學生2：我還學習過反比例函數(shù)。

教師：很好。那么，誰能說出函數(shù)的概念呢？

學生3：對于兩個變量x、y，每一個x都有y與之對應。

學生4：應該加上“唯一”，即每一個x都有唯一確定的y與之對應。

教師：兩位同學的說法都有不嚴謹?shù)牡胤?。在初中，函?shù)的定義是指，一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)。

設計意圖：通過對初中舊知的復習喚醒函數(shù)記憶，可以讓學生產(chǎn)生熟悉感，從而將自己代入課堂情境之中，深度參與課堂的各個環(huán)節(jié)，為下一步深入學習做鋪墊。

問題情境二：創(chuàng)設生活實例，深度感悟函數(shù)概念

教師：今早老師開車上班的時候，在前10分鐘是以60km/h勻速行駛的，那么在這段時間內(nèi)，老師行駛的路程s（單位：km）和時間t（單位：h）的關(guān)系可以用函數(shù)來表示嗎？

學生5：可以，s=60t.

教師：那有的同學就問了，根據(jù)對應關(guān)系，如果行駛1小時，就前進了60km，大家認為這種說法對嗎？對剛才的定義，有沒有同學可以補充？

學生6：我認為在時間上應該進行限制，因為只說了前10分鐘是以60km/h勻速行駛的。

教師：沒錯，我們無法判定10分鐘后的行駛情況，也就是說單單通過函數(shù)解析式描述函數(shù)是不準確的，還要注意到自變量t的范圍。請同學們討論研究，用更精確的語言描述剛剛的問題。

設計意圖：此問題是將教材中“復興號”高速列車問題替換為更貼近生活的具體實例，將復雜的問題生活化，從而使學生更有代入感。同時，經(jīng)過教師一系列的引導和學生的討論交流，學生發(fā)現(xiàn)單靠初中學習的知識已經(jīng)不能精確刻畫函數(shù)，從而形成了認知沖突，激發(fā)了進一步學習的興趣。此時教師進一步引導學生用更精確的集合語言來刻畫函數(shù)中變量的范圍，讓學生意識到變量范圍對函數(shù)的重要性，層層深入，為下一步利用集合語言刻畫函數(shù)奠定基礎。

問題情境三：巧升問題難度，深度體會函數(shù)要素

教師：大學期間，老師曾勤工儉學，在一家便利店工作，每周至少工作1天，至多不超過5天，工資一周一結(jié)，工資標準統(tǒng)一是每人每天60元，那么老師的工資ω（單位：元）是我工作天數(shù)d的函數(shù)嗎？

學生7：是，ω=60d.其中，d∈{1，2，3，4，5}。

教師：那ω的范圍是固定的嗎？請大家一起給出。

學生：ω∈{60，120，180，240，300}。

教師：看來同學們已經(jīng)學會用集合的語言來刻畫函數(shù)了，我們發(fā)現(xiàn)對于工作天數(shù)d對應集合中的任一個天數(shù)，按照對應函數(shù)式，在ω對應的集合中都有唯一確定的一個工資與它對應。

教師：請同學們觀察前兩個問題的函數(shù)解析式，它們是相同的對應關(guān)系，你覺得它們是同一個函數(shù)嗎？為什么？是什么影響了它？

設計意圖：同樣將教材中的工廠問題近似替換，在上一個問題的基礎上進行升級，將函數(shù)模型替換成離散型函數(shù)，讓學生進一步感受影響函數(shù)的幾個要素，為函數(shù)的三要素進行鋪墊，為下一步區(qū)別是否為同一函數(shù)的問題奠定基礎。

問題情境四：引入函數(shù)圖象，深度探索函數(shù)表示

教師：下圖是空氣質(zhì)量指數(shù)變化圖，如何根據(jù)該圖確定這一天內(nèi)任意時刻t（單位：h）的空氣質(zhì)量指數(shù)的值I？你認為這里的I是t的函數(shù)嗎？

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學生8：可以從圖象上獲得I的值，I是t的函數(shù)。

教師：非常正確，那么同學們能用集合的語言描述一下兩個變量的范圍嗎？

學生9：t滿足集合{t|0≤t≤24}，I滿足集合{I|0

教師：我們可以看到，對于t滿足集合的任意一個時刻，按照圖中曲線的對應關(guān)系，在I滿足的集合中都有唯一確定的一個值與之對應，因此I是t的函數(shù)。

設計意圖：通過教材中的實例，將函數(shù)的表示用圖象來呈現(xiàn)，引導學生明確不是所有的函數(shù)都有準確的函數(shù)解析式，函數(shù)的對應關(guān)系同樣可以用圖象來表示。通過一步步的引領，讓學生在學習過程中深度探索函數(shù)的表示方法，感悟抽象符號在函數(shù)概念中的重要性。

問題情境五：進階函數(shù)表示，深度總結(jié)表示方法

教師：以下表格是恩格爾系數(shù)的變化情況，你認為恩格爾系數(shù)r是年份y的函數(shù)嗎？

學生10：恩格爾系數(shù)r是年份y的函數(shù)。

教師：那么請同學們按照前幾個問題那樣，用集合的語言刻畫這個函數(shù)。

設計意圖：此處引入了另一種函數(shù)的表示方法，引導學生明確表示函數(shù)不僅可以用解析式、圖象，還可以利用表格來呈現(xiàn)。教師進一步引導學生總結(jié)上述所有問題的表示方法，讓所有學生都參與到課堂環(huán)節(jié)中。

（二）總結(jié)特征——抽象概念具體化

在上述幾個問題情境的創(chuàng)設中，學生已經(jīng)初步掌握了刻畫函數(shù)的幾個要素，此時需要乘勝追擊，引領學生共同總結(jié)函數(shù)特征，使抽象的函數(shù)概念走向具體化。針對這一部分設計如下幾個問題。

問題1：總結(jié)共同特征，深度形成函數(shù)概念

教師：請同學們進行小組討論，總結(jié)上述四個問題所表示函數(shù)的共同特征。

學生11：它們的變量范圍都是兩個非空數(shù)集。

學生12：它們都有一個對應關(guān)系。

學生13：對于其中一個集合中的任意一個數(shù)，在另一個集合中都有唯一確定的值與之對應。

教師：同學們說的都很好。為了更直觀地表示，我們將兩個非空數(shù)集用A、B來表示，將對應關(guān)系引進符號f來表示。同學們能進一步給出函數(shù)的概念嗎？

設計意圖：教師進一步整理特征，引導學生用集合的語言來概括函數(shù)的一般概念。由學生自己來總結(jié)概括出函數(shù)概念，教師對細節(jié)加以修正，而不是直接給出，更有利于學生感悟概念的形成過程，從過程中體會數(shù)學概念形成所要經(jīng)歷的階段，從而深入理解概念，進行深度學習。

問題2：自主創(chuàng)設情境，深度理解函數(shù)概念

教師：函數(shù)的解析式是舍棄問題的實際背景而抽象出來的，它反映的是兩個變量的對應關(guān)系，可以廣泛地應用于刻畫一類事物中的變量關(guān)系和規(guī)律。試創(chuàng)設一個問題情境，使其中的變量關(guān)系可以用解析式y(tǒng)=x（10-x）來表示。

學生14：可以用來表示周長為20的長方形的面積。

教師：是否還缺少函數(shù)的要素呢？

學生15：長方形的一邊長是x，面積為y，即y=x（10-x），其中x的取值范圍是A={x|0

教師：是否還可以表示其他的情境呢？請同學們下課進行思考，并以小組的方式進行呈現(xiàn)。

設計意圖：理解函數(shù)本質(zhì)是一種數(shù)學模型，讓學生自主通過函數(shù)解析式來創(chuàng)設情境，培養(yǎng)其逆向思維，學生既要學會從具體的生活事例中抽象出數(shù)學模型，又要能夠?qū)?shù)學模型還原到具體的情境中，這樣不僅能夠培養(yǎng)其數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)，而且可以深度學習函數(shù)概念，形成數(shù)學建模的能力。

三、函數(shù)概念深度學習教學策略

（一）關(guān)注概念的形成過程，在具體情境中形成深度學習理念

深度學習不僅是一種學習方式，更是一種學習過程。它更強調(diào)學生對知識的形成與遷移，因此在教學中應當注意引領學生關(guān)注函數(shù)概念的形成過程，并且有意識地將他們引入具體情境當中，層層遞進，引發(fā)具體思索，在情境中感悟，激發(fā)學習興趣。在教學時利用好新舊知識間的聯(lián)系，學生在初中階段已經(jīng)掌握了函數(shù)的概念，那么在介紹高中函數(shù)概念之前，讓學生進行回憶，再通過引導讓學生發(fā)現(xiàn)舊知識已經(jīng)無法解決情境中的問題，引發(fā)學生的認知沖突，可以大大激發(fā)學生的好奇心，引發(fā)自主探索，由此才能讓學生認識到學習新概念的必要性，改變對原有概念的認識，對新概念的理解更深入。

（二）引入生活化場景，在實際運用中激發(fā)深度學習興趣

函數(shù)概念放在課本上非常抽象，但是拿到具體生活中則活靈活現(xiàn)。在之前的教學中，總有學生對為什么學習數(shù)學產(chǎn)生疑問，認為它對自己的生活毫無幫助，從而失去了學習興趣。其實，數(shù)學知識最能運用到生活實踐當中，教師要善于發(fā)現(xiàn)，并利用生活化的場景抽象出數(shù)學問題，在實際運用中提升學生的學習興趣，而非讓學生認為學習概念只是單純地為了解數(shù)學題，在生活中無用。不僅如此，將函數(shù)概念問題生活化可以將復雜的、抽象的函數(shù)更為直觀地表示出來，例如，在講解指數(shù)函數(shù)時，可以利用其“爆炸性”增長的特質(zhì)，引入生活中的指數(shù)函數(shù)模型，如經(jīng)典的國王與阿基米德下棋的故事，可以更直觀地讓學生感受指數(shù)函數(shù)，從而進行深度學習。

（三）自主探究式學習，在合作探討中形成深度學習能力

所謂的深度學習，就是指在教師引領下，學生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學習主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發(fā)展的有意義的學習過程。在這一過程中，學生的團結(jié)協(xié)作能力顯得尤為重要，一個人的想法具有局限性，而通過合作探究就可以把視角打開，集思廣益，可以大大提升學習效率，不僅有利于培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)，更有助于形成深度學習的能力。

參考文獻：

[1]何玲，黎加厚.促進學生深度學習[J].現(xiàn)代教學，2005（5）：29-30.

[2]鐘一鳴.基于數(shù)學核心素養(yǎng)的深度學習策略研究：以函數(shù)的概念為例[J].豫章師范學院學報，2020，35（1）：65-69.