張舒

【摘要】二次函數(shù)與一元二次方程是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn).為使學(xué)習(xí)者清晰地認(rèn)識(shí)兩者之間的關(guān)系，掌握解答相關(guān)習(xí)題的思路與方法，促進(jìn)其解題能力有效地提升，習(xí)題教學(xué)中應(yīng)做好相關(guān)習(xí)題的篩選與講解，并做好解題的點(diǎn)評(píng)，使學(xué)習(xí)者更好地把握解題細(xì)節(jié).

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);二次函數(shù);一元二次方程

眾所周知，二次函數(shù)與一元二次方程在一定程度上可以互化[1].為更好地解答二次函數(shù)一元二次方程習(xí)題，通過(guò)例題的講解為學(xué)習(xí)者展示兩者之間互化的具體過(guò)程，把握互化的注意事項(xiàng)，促進(jìn)其解題能力的有效提升.

例1 已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（-1，4），B（2，4），則關(guān)于x的一元二次方程a（x-3）2-4=3b-bx-c的解為.

解析 由拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（-1，4），B（2，4）可得，ax2+bx+c=4時(shí)x=-1或x=2.由a（x-3）2-4=3b-bx-c，可得a（x-3）2+（x-3）b+c=4.則y=a（x-3）2+（x-3）b+c圖象可看做由y=ax2+bx+c圖象向右平移三個(gè)單位得到，對(duì)應(yīng)的x=-1+3=2或x=2+3=5，即，關(guān)于x的一元二次方程a（x-3）2-4=3b-bx-c的解為x=2或x=5.

點(diǎn)評(píng) 該題較為抽象，技巧性較強(qiáng)，間接地考查二次函數(shù)圖象的平移問(wèn)題.解題時(shí)需要認(rèn)真觀察，巧妙的變形構(gòu)建已知與要求解問(wèn)題之間的聯(lián)系.拋物線表達(dá)式中含有三個(gè)參數(shù)，因此，將兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入并不能求出其具體的值.解題時(shí)需要另辟蹊徑，運(yùn)用二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系，借助圖象平移進(jìn)行巧妙解答.

例2 關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+12=0，有一個(gè)根是-1.若二次函數(shù)y=ax2+bx+12的圖象的頂點(diǎn)在第一象限，設(shè)t=2a+b，則t的取值范圍是（? ）

（A）-1

（C）-12≤t<12. （D）12

解析 由一元二次方程ax2+bx+12=0，有一個(gè)根是-1，將其代入得到：a-b+12=0，即，b=a+12，由t=2a+b，可得a=2t-16①，b=2t+26②;

又由二次函數(shù)y=ax2+bx+12的圖象的頂點(diǎn)在第一象限，可得-b2a>0，12-b24a>0;

將①②分別代入解得-1

點(diǎn)評(píng) 解答該題需要充分運(yùn)用已知條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，尋找相關(guān)參數(shù)之間的不等關(guān)系.該題難度不大，解題的關(guān)鍵在于能夠理解題意，構(gòu)建參數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系.但是該題運(yùn)算量較大，運(yùn)算時(shí)應(yīng)認(rèn)真，細(xì)心.

例3 已知關(guān)于x的一元二次方程：x2-（m+n）x+mn+3=0（m

（A）m

（C）a

解析 根據(jù)題意將一元二次方程：x2-（m+n）x+mn+3=0，拆分成y=x2-（m+n）x+mn和y=-3;對(duì)于y=x2-（m+n）x+mn，令其值為0，則由根與系數(shù)的關(guān)系可知，其兩根分別為m、n.

由函數(shù)圖象可知，a、b為y=x2-（m+n）x+mn和y=-3圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出其圖象，如圖1所示：

由圖可直觀地看到m、n、a、b的大小關(guān)系為m

點(diǎn)評(píng) 該題考查學(xué)習(xí)者對(duì)二次函數(shù)以及一元二次方程關(guān)系的理解深度，難度中等.解答該題需要具備靈活的思維，結(jié)合函數(shù)圖象加以巧妙地分析.該題給出的已知條件雖然較為簡(jiǎn)單，但是解題難度較大.如沒(méi)有正確思路，很難得出正確答案.解題的關(guān)鍵在于將方程拆分成兩個(gè)函數(shù)，而后聯(lián)系二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行作答.

例4 拋物線y=x2+bx+3的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2，若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0（t為實(shí)數(shù)），在1

（A）0≤t<8或t=-1. （B）t≥0.

（C）0

解析 該題需要先根據(jù)已知條件求出b的值，而后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)和x軸在1

由拋物線y=x2+bx+3的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2，可得x=-b2=2，則b=-4，則關(guān)于x的一元二次方程為x2-4x+3-t=0.

根據(jù)題意可知該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2.

當(dāng)該拋物線和x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)滿(mǎn)足題意，即，Δ=16-4（3-t）=0，解得t=-1.

當(dāng)該拋物線和x軸只有兩個(gè)交點(diǎn)，即，Δ=16-4（3-t）>0，解得t>-1.

由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知，要想滿(mǎn)足題意，當(dāng)x=1時(shí)，x2+bx+3-t≤0且x=5時(shí)，x2+bx+3-t>0，解得0≤t<8，

即，此時(shí)t的取值范圍為0≤t<8;綜上可知t的取值范圍為0≤t<8或t=-1，選擇A項(xiàng).

點(diǎn)評(píng) 該題難度較大，很多學(xué)習(xí)者并不能從已知條件以及函數(shù)圖象抽象、概括出對(duì)應(yīng)的不等關(guān)系.究其原因在于其不能正確運(yùn)用二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，因此，實(shí)踐中可借助多媒體技術(shù)為學(xué)習(xí)者動(dòng)態(tài)的展示函數(shù)圖象，以幫助學(xué)習(xí)者更好地理解，真正地吃透與掌握該種習(xí)題的解題思路[2].

綜上所述，二次函數(shù)與一元二次方程聯(lián)系緊密.為提高學(xué)習(xí)者解答相關(guān)習(xí)題的能力，應(yīng)做好基礎(chǔ)知識(shí)講解[3].同時(shí)，還應(yīng)在課堂上與學(xué)習(xí)者一起剖析相關(guān)習(xí)題解題思路，暴露出學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)不足的同時(shí)更好地拓展其視野，啟發(fā)其在課下多進(jìn)行總結(jié)與反思，自覺(jué)堵住知識(shí)漏洞，積累解答不同習(xí)題的經(jīng)驗(yàn)與技巧.

參考文獻(xiàn)：

[1]靳瀟涵，謝祥.兩個(gè)“二次”手牽手——二次函數(shù)與一元二次方程的綜合應(yīng)用[J].今日中學(xué)生，2022（Z3）：25-31+80.

[2]盧奕.初中數(shù)學(xué)探究式教學(xué)的實(shí)踐——以“二次函數(shù)與一元二次方程”為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（33）：3-4.

[3]張開(kāi).初中數(shù)學(xué)中的“三角”關(guān)系——“二次方程、二次函數(shù)、二次不等式”之間的關(guān)系[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2020（14）：7-8.