溫展平

【摘要】本節(jié)基于深度學(xué)習(xí)的復(fù)習(xí)課通過中考題的練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生整合一章知識(shí)點(diǎn)，整體把握核心內(nèi)容，選用典型素材，設(shè)計(jì)引發(fā)學(xué)生深度思考的問題，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)“再探究”的，不僅著眼于基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的落實(shí)，更著力于學(xué)生關(guān)健能力的提升及核心素養(yǎng)的發(fā)展.

【關(guān)鍵詞】深度學(xué)習(xí);復(fù)習(xí)課;教學(xué)設(shè)計(jì)

1 內(nèi)容分析

一元二次方程是初中階段一元一次方程、可化為一元一次方程的分式方程和二元一次方程（組）的延續(xù)和深化，是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型.所以，抽象出實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，布列一元二次方程，運(yùn)用一元二次方程的解法求得方程的解（根），進(jìn)而解決實(shí)際問題，是一元二次方程的中心問題.

2 復(fù)習(xí)目標(biāo)

（1）構(gòu)建整體知識(shí)脈絡(luò);理解配方法，強(qiáng)化公式法，能根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征，選擇最簡(jiǎn)潔解法解一元二次方程.能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)方程的解是否合理.

（2）經(jīng)歷運(yùn)用知識(shí)、技能解決問題的過程，提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、運(yùn)算能力.

（3）培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)參與、積極探索數(shù)學(xué)問題的熱情，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

3 教學(xué)過程

3.1 建構(gòu)知識(shí)體系，形成整體認(rèn)識(shí)

1.（2020·黑龍江鶴崗市）已知2+3是關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+m=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的值是（）

（A）0.（B）1.（C）-3.（D）-1.

2.（2021·山東臨沂市）方程x2-x=56的根是（）

（A）x1=7，x2=8. （B）x1=7，x2=-8.

（C）x1=-7，x2=8.（D）x1=-7，x2=-8.

3.（2021·浙江臺(tái)州市）x2-4x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）

（A）m>2.（B）m<2 .

（C）m>4 .（D）m<4.

4.（2019·廣東）已知x1、x2是一元二次方程x2-2x=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

（A）x1≠x2.（B）x21-2x1=0.

（C）x1+x2=2.（D）x1·x2=2.

5.（2020·湖南邵陽市）中國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝的《田畝比數(shù)乘除減法》中記載：“直田積八百六十四步，只云闊不及長(zhǎng)一十二步，問闊及長(zhǎng)各幾步？翻譯成數(shù)學(xué)問題是：一塊矩形田地的面積為864平方步，它的寬比長(zhǎng)少12步，問它的長(zhǎng)與寬各多少步？利用方程思想，設(shè)寬為x步，則依題意列方程為.

答案：1.B 2.C 3.D4.D

5.x（x+12）=864

設(shè)計(jì)意圖 復(fù)習(xí)中應(yīng)完成的基中一個(gè)任務(wù)是幫助學(xué)生完成知識(shí)的建構(gòu)，讓學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)有一個(gè)整體的認(rèn)識(shí).以上5題精選自近年各地市中考真題，題目基本覆蓋本章主要知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生容易入手，能讓學(xué)生快速進(jìn)入本節(jié)課的主題.既讓學(xué)生以題目中涉及的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)為線索，完成全章的知識(shí)梳理，又讓學(xué)生通過練習(xí)中考真題，直觀感受中考怎么考、考什么，可以讓學(xué)生熟悉中考的考查方式，提前適應(yīng)中考的感覺.

教學(xué)引導(dǎo) 讓學(xué)生獨(dú)立完成5道題目，完成后讓學(xué)生思考解決以上問題時(shí)所運(yùn)用的主要知識(shí)點(diǎn)、方法有哪些.然后讓學(xué)生以適當(dāng)?shù)姆绞匠尸F(xiàn)全章知識(shí)結(jié)構(gòu)，并與同伴交流.如果學(xué)生梳理知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)和能力不足，教師可以以下幾個(gè)問題進(jìn)行引導(dǎo)：教材上本章有幾節(jié)內(nèi)容？（本章內(nèi)容教材分6小節(jié)）哪些內(nèi)容可以整合為一個(gè)小單元？（用配方法、公式法、因式分解求解方程可以整合成一個(gè)小單元）整合后可以概括為幾個(gè)小單元？（大致分為三個(gè)小單元：對(duì)一元二次方程的認(rèn)識(shí)、一元二次方程的解法和一元二次方程的應(yīng)用）每個(gè)小單元有哪幾個(gè)主要知識(shí)點(diǎn)？對(duì)較好的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖教師利用投影儀進(jìn)行展示交流.

3.2 解答典型例題，強(qiáng)化基本技能

例 將一條長(zhǎng)為56cm的鐵絲剪成兩段.

（1）要使其中一段比另一段長(zhǎng)10cm，該怎么剪？

（2）把每一段鐵絲做成一個(gè)正方形，且兩個(gè)正方形的面積之和等于100cm2，該怎么剪？

（3）把每一段鐵絲做成一個(gè)正方形，這兩個(gè)正方形的面積之和可能等于200cm2嗎？

設(shè)計(jì)意圖 為盡可能在同一問題情境下呈現(xiàn)列方程、解方程、用方程的完整過程，這里選用教科書復(fù)習(xí)題第11題，并添加了問題（1）.

首先，通過問題（1）的解答讓學(xué)生再次明確方程的本質(zhì)是“量與量之間的等量關(guān)系的刻畫”，而且可以利用方程求出未知量，同時(shí)讓學(xué)生感受方程之間的聯(lián)系，通過解法的類比，體會(huì)消元、降次的化歸轉(zhuǎn)化手段，參透數(shù)學(xué)思想.

其次，讓學(xué)生從對(duì)問題的分析解決過程中，再次感受用方程解決實(shí)際問題的一般步驟：設(shè)定適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，建立符合等量關(guān)系的方程，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠?，檢驗(yàn)方程的解是否符合題意，最終得出實(shí)際問題的解，讓學(xué)生掌握基本方法.

再次，在設(shè)未知數(shù)、列方程中，學(xué)生經(jīng)歷用字母表示未知量，用代數(shù)式表示未知量，用方程表示量與量之間的相等關(guān)系，即建立方程的意思是用符號(hào)來表達(dá)一個(gè)用文字表述的條件，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.

然后，在運(yùn)用不同的解法解方程過程中引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“怎么算？”“為什么這樣算？”“哪種算法好？”等一系列問題進(jìn)行思考，幫助學(xué)生提高運(yùn)算技能.

教學(xué)引導(dǎo)第（1）題引導(dǎo)學(xué)生利用表格1的形式，把文字語言轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言，體會(huì)建模過程;用不同的方程模型解答，體會(huì)一元一次方程與二元一次方程的區(qū)別與聯(lián)系.通過回顧解二元一次方程的基本思路是代入消元、加減消元，基本思想是化歸為一元一次方程，為得出解一元二次方程的數(shù)學(xué)思想提供類比.

3.3 拓展反思總結(jié)，提升學(xué)科素養(yǎng)

拓展1 把每一段鐵絲做成一個(gè)正方形，若兩個(gè)正方形的面積之和為m，求m的取值范圍.

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圍成的正方形的面積的范圍進(jìn)行討論、方程的有整數(shù)的分析，提高學(xué)生的探究分析能力，一方面滲透配方法在確定代數(shù)式的最值中的應(yīng)用，另一方面讓學(xué)生注意到，在學(xué)習(xí)中不要刻意追求一些解題的特殊技巧，要掌握通性通法（公式法），特別是近年來，新課程改革越來越強(qiáng)調(diào)初高中知識(shí)的銜接，中考命題逐漸向高考命題方向靠攏，而高考命題的一個(gè)原則就是淡化特殊技巧.

教學(xué)引導(dǎo) 教師鼓勵(lì)學(xué)生先獨(dú)立思考并嘗試完成，再進(jìn)行組內(nèi)交流，小組派代表展示成果.

解法1配方法 S=x42+56-x42=18（x-28）2+98，

又由0

通過解法1，教師引導(dǎo)學(xué)生理解配方法的作用：既是一元二次方程的基本解法，又是推導(dǎo)求根公式的方法，而且還可以通過配方求代數(shù)式的最值.

解法2公式法 由x42+56-x42=m，

得x2-56x+8（196-m）=0，其中0

在把原方程化為一元二次方程的一般式后，可向?qū)W生提出以下幾個(gè)問題：文字表達(dá)“把每一段鐵絲做成一個(gè)正方形，兩個(gè)正方形的面積之和為m”，從得出的一元二次方程的角度來說，意味著什么？如何解這個(gè)方程？方程的解是在全體實(shí)數(shù)范圍內(nèi)嗎？?jī)蓚€(gè)解哪個(gè)大哪個(gè)?。恳龑?dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)符號(hào)語言表達(dá)實(shí)際問題，把原問題轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間0

由Δ=-562-4·8（196-m）=32（m-98）≥0，

得m≥98，由求根公式得

x1=28-22（m-98），

x2=28+22（m-98），

且x1028+22（m-98）<56，

解得98≤m<196.

通過解法2，教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)，公式法是解一元二次方程的通性方法，要熟悉公式法的基本步驟.

拓展2 若分成的兩段鐵絲長(zhǎng)為整數(shù)，且兩段鐵絲做成的兩個(gè)正方形的面積之和為m也為整數(shù)，則m的可能取值有幾個(gè)？

設(shè)計(jì)意圖 對(duì)學(xué)生進(jìn)行一題多變的訓(xùn)練，讓學(xué)生學(xué)會(huì)提出問題、分析問題和解決問題，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、深刻性，提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng).比如改變條件的敘述方式，改變條件、題設(shè)背景，改變?cè)O(shè)問方式，或把相似的幾個(gè)題目組合改造、引申演變成新的問題等，都是重要手段.善于進(jìn)行一題多變訓(xùn)練，是培養(yǎng)思維靈活性、深刻性的關(guān)健.

教學(xué)引導(dǎo) 方程角度看以上問題的數(shù)學(xué)表達(dá)為：若m為整數(shù)，且方程x2-56x+8（196-m）=0在0

師生共同分析方程有整數(shù)根，需要同時(shí)滿足以下條件：

①Δ=b2-4ac為完全平方數(shù);

②-b±b2-4ac是2a的整數(shù)倍.

因?yàn)榉匠痰母鶠閤=28±22（m-98），由m為整數(shù)，當(dāng)2（m-98）為完全平方數(shù)時(shí)，方程的根為整數(shù)，設(shè)2（m-98）=n2（其中n為整數(shù)），所以n為偶數(shù)，

m=n2+1962，由98≤m<196，

得98≤n2+1962<196，

得-14

所以n=0，2，4，6，8，10，12，

所以m的可能取值有7個(gè).

4 強(qiáng)化練習(xí)

解方程 （1）x2-2x+1=4;

（2）3x2-4x-1=0.

解關(guān)于x的方程 mx2-（3m+2）x+2m+2=0.

（2021·四川南充市）已知關(guān)于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0.

（1）求證：無論k取何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

（2）如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，且k與x1x2都為整數(shù)，求k所有可能的值.

5 設(shè)計(jì)說明

首先，深度學(xué)習(xí)的“深”在于能讓學(xué)生對(duì)核心內(nèi)容有整體的、本質(zhì)的認(rèn)識(shí).學(xué)生學(xué)習(xí)了方程之后，如果僅僅記住了“方程是含有未知數(shù)的等式”，但對(duì)方程的本質(zhì)即“量與量之間的等量關(guān)系的刻畫”這一特征沒有體會(huì)理理解，那還是只學(xué)習(xí)到了外在的、形式化的東西.所以，在復(fù)習(xí)中應(yīng)該盡可能在同一問題情境下呈現(xiàn)列方程、解方程、用方程的完整過程，同時(shí)可以把方程知識(shí)與不等式的概念、解法進(jìn)行橫向?qū)Ρ?，以融?huì)慣通的方式對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行組織、整合，形成整體認(rèn)識(shí).

其次，深度學(xué)習(xí)的“深”在于讓學(xué)生掌握核心知識(shí)，形成基本能力.基于深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課重要目標(biāo)是讓學(xué)生基于整體的知識(shí)框架，掌握數(shù)學(xué)學(xué)科核心知識(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)健能力.如何幫助學(xué)生發(fā)展關(guān)健能力？關(guān)健在于教師的引導(dǎo)、分析要“深刻”.

然后，深度學(xué)習(xí)的“深”在于讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考，提升學(xué)科素養(yǎng).本節(jié)課在復(fù)習(xí)完具體實(shí)系數(shù)一元二次方程的解法后，通過拓展的形成把問題引申為解含參一元二次方程及整數(shù)根問題，一方面引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)通過改變條件的敘述方式，改變條件、題設(shè)背景，改變?cè)O(shè)問方式，改變條件的范圍，提出新的問題;另一方面讓學(xué)生學(xué)會(huì)最基本的數(shù)學(xué)思考方法——借助數(shù)學(xué)工具（公式、法則）分析問題、解答問題，從而提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

基金項(xiàng)目：興寧市教育科研課題《基于深度學(xué)習(xí)的初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐研究》（課題編號(hào)XNJY2021023）的研究成果.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]深度學(xué)習(xí)：走向核心素養(yǎng)（學(xué)科教學(xué)指南·初中數(shù)學(xué)）[M].北京：教育科學(xué)出版社，2019.