毛云長

【摘要】所謂“數形結合”思想，其實就是一種研究數學問題的思想，即具體結合數學問題中所作出的題設與結論間的內在關系，既分析出其數量關系，又揭示出其幾何意義，從而使得數量關系同幾何圖形更加巧妙的結合在一起，讓問題更好的解決的一種思想方法.加強“數形結合思想”在教學中應用，能更好地加深對數學的理解、落實核心素養(yǎng).

【關鍵詞】數學理解;初高銜接;數形結合

1 以形助數，確定方程解的個數問題

方程的解的問題，其實質是函數圖象的交點問題，可滲透數形結合思想“以形助數”使問題直觀.

例1 已知關于x的方程2x-1=ax-1.

（1）當a=3時，求方程的解;

（2）分別求出下列條件下a的取值范圍：

①方程無解;②方程有唯一解;③方程有兩個解.

第（2）問若用代數方法來解決，運用的模型是：

關于x方程ax=b的解：當a≠0 時方程有唯一解，當a=0，b≠0時，方程無解，當 a=0，b=0時，方程有無數解.即可得：當x≥1時，原方程可化為：2x-1=ax-1，所以a-2x=a-1.

若 a=2，無解;若a≠2，x=a-1a-2，檢驗：a-1a-2≥1即a>2時符合題意，a-1a-2<1 即a<2時，不符合題意，舍去.

當x<1時，原方程可化為：2x-1=a1-x，所以a+2x=a+1.

若a=-2，無解;若a≠-2，x=a+1a+2，檢驗：a+1a+2<1即a>-2時符合題意，a+1a+2≥1即a<-2時，不符合題意，舍去.

所以：①a≤-2或a=2;②-22.這個解法中很容易誤認為a=2時方程無解，實際上，當a=2時，方程有一個解.

如果這個問題用圖象法，關于x的方程2x-1=ax-1的解就是函數y=2x-1 和函數y=ax-1圖象的交點，當a>0時，如圖1：當x<1時，函數y=ax-1圖象與直線y=2x-1有一個交點，當x≥1時，函數y=ax-1圖象與直線y=2x-1的交點個數與a的取值有關，當a=2時，直線y=ax-1與直線y=2x-1平行，當a>2時，直線y=ax-1與直線y=2x-1有一個交點，當a<2時，直線y=ax-1與直線y=2x-1沒有交點;當a<0時，如圖2：當x≥1時，函數y=ax-1圖象與直線y=2x-1沒有交點，但是當x<1時，函數y=ax-1圖象與直線y=2x-1的交點個數與a的取值有關，當a=-2時，直線y=ax-1與直線y=2x-1平行，即圖象沒有交點;但是當a>-2時，直線y=ax-1與直線y=2x-1有一個交點，當a<-2時，直線y=ax-1與直線y=2x-1沒有交點，綜上所述：

當a<-2 時方程無解，當-22時，方程有兩個解.

以形助數，不僅使得問題直觀形象，并且有助于學生對數學本質的理解，為今后高中學習做好準備.

2 以形助數，求代數式的最值問題

代數式的最值問題是初中數學學習中的一個難點，教師若能引導學生理解該代數問題所代表的幾何意義，以形助數，使復雜問題簡單化，抽象概念直觀化想必可取得較好的效果.

例2 已知 x≥0，y≥0且x+2y=1 ，求x2+y2 的最小值與最大值.

分析 若是用代數方法求解，多半是利用消元法，把x+2y=1轉化成x=1-2y帶入x2+y2，得到5y2-4y+1，然后轉化成 二次函數S=5y2-4y+1（0≤y≤12）的最大和最小值求解，這個問題可以向學生滲透數形結合思想，“以形助數”.如圖3，x+2y=1，x≥0，y≥0在直角坐標系上表示一條直線段 AB，而 x2+y2則表示該條線段上的點（x，y）到原點的距離x2+y2 的平方，故由圖可知，線段AB上的點距離原點最小的為線段OQ的長，距離最大則為OA的長，故到x2+y2最小值為55，最大值為1.

3 以形助數，求參數的取值范圍

有關含參數一元二次方程根的情況問題，除了用根的判別式求解外，若能引導學生轉化為函數問題，借助函數圖象來解決，能使復雜問題簡單化.

例3 已知關于x的一元二次方程x2-2x+a=0有兩個實數根，求a的取值范圍;

變式1一元二次方程x2-2x+a=0的一根為x1，且12

變式2關于x的一元二次方程7x2-（a+3）x+a2-a-2=0的兩根為x1，x2，且0

例3關于x的一元二次方程x2-2x+a=0我們可以運用根的判別式Δ=b2-4ac>0，求出a≤1，從另外一個角度思考，x2-2x+a=0有兩個實數根，即二次函數y=x2-2x+a的圖象與x軸有兩個交點，即當x=1時，函數y=x2-2x+a的值小于等于0.而對于變式1和變式2，如果只是運用代數的方法進行解答，解法繁瑣不易理解，根據題意進行數形轉化，由二次方程轉化到二次函數，對于變式1，將方程的根看作二次函數y=-x2+2x與直線y=a在12

4 結語

數形結合思想方法的研究有助于學生從諸多“術”的實踐體會上升到“道”的層面認識和解決數學問題，以幫助學生構建良好的數學認知結構，開闊學生的視野，促進學生思維層次不斷走向高端.