吳 昊 李宗軒 張德福 李清雅 李云峰

1.中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，長春，1300332.中國科學院大學，北京，1000393.中國科學院天基動態(tài)快速光學成像技術(shù)重點實驗室，長春，130033

0 引言

柔性鉸鏈是通過材料的彈性變形和其自恢復特性實現(xiàn)運動與力傳遞的結(jié)構(gòu)[1-2]，憑借結(jié)構(gòu)緊湊、無間隙、無摩擦、運動精度高、制造工藝簡單等優(yōu)點[3]，被廣泛應(yīng)用于光學儀器、現(xiàn)代空間探測、生物細胞微操作及微機電系統(tǒng)中[4-5]。

國內(nèi)外研究機構(gòu)對交叉簧片柔性鉸鏈的研究已開展多年。GONCALVES等[6]研究了交叉簧片柔性鉸鏈的軸漂、轉(zhuǎn)動剛度及應(yīng)力集中問題，設(shè)計了試驗評估交叉簧片柔性鉸鏈的適用性。MARKOVIC等[7]研究了鉸鏈在最小轉(zhuǎn)角范圍與轉(zhuǎn)動剛度情況下的穩(wěn)定性，證明交叉簧片柔性鉸鏈可以應(yīng)用于MEMS等超高精度領(lǐng)域。劉浪等[8]基于Awtar提出的簡化模型揭示了柔性鉸鏈的翹曲變形機理，建立了柔性鉸鏈的翹曲模型。楊淼等[9]基于Euler-Bernoulli梁理論建立了鉸鏈末端載荷與鉸鏈變形之間的關(guān)系，改善了等截面鉸鏈軸漂大的問題。上述研究中，將交叉簧片柔性鉸鏈用于光學反射鏡支撐結(jié)構(gòu)卻鮮有報道，也沒有一種簡單、精度高的設(shè)計方法被提出。

交叉簧片型柔性鉸鏈屬于分布柔度型鉸鏈，由兩個柔性梁成一定角度復合而成，具有轉(zhuǎn)角行程大、應(yīng)力分布、壽命長、易于加工裝配等優(yōu)點[10]。利用電火花線切割技術(shù)將一個空心圓柱體沿兩個正交方向分別對稱加工，即形成兩個正交方向上具有相同柔度的交叉簧片型柔性環(huán)節(jié)，相比切口型柔性鉸鏈，該柔性鉸鏈具有以下優(yōu)點：回轉(zhuǎn)中心不集中，可以減少應(yīng)力集中；柔性環(huán)節(jié)呈一定角度，在不增加有效鉸鏈長度的情況下減小應(yīng)力集中。

本文提出了一種新型交叉簧片型柔性鉸鏈，利用卡氏第二定理對其進行分析，推導出交叉簧片型柔性鉸鏈剛度的計算公式，分析了直梁長度、直梁高度與空心圓柱體厚度對交叉簧片型柔性鉸鏈剛度的影響。同時，對鉸鏈進行了實例設(shè)計，并進行了有限元仿真與實驗驗證。通過三種方法所得結(jié)果驗證利用卡氏第二定理設(shè)計分析交叉簧片柔性鉸鏈的準確性。

1 交叉簧片柔性鉸鏈剛度計算公式

1.1 交叉簧片柔性鉸鏈結(jié)構(gòu)

根據(jù)某光學儀器對光學元件的柔性支撐的要求給出柔性鉸鏈的設(shè)計指標，見表1。此光學元件的柔性支撐要求在運動方向上具有較大的柔度，而在非運動方向上具有較小的柔度。根據(jù)以上要求，對空心圓柱體進行線切割，形成4處尺寸完全一致的簧片柔性環(huán)節(jié)，為光學元件提供繞兩軸進行轉(zhuǎn)動而限制其他方向自由度的約束。設(shè)計的交叉簧片型柔性鉸鏈如圖1所示。

表1 交叉簧片柔性鉸鏈設(shè)計指標Tab.1 Design index of cross-spring flexural hinge

(a)鉸鏈正視圖 (b)鉸鏈柔性環(huán)節(jié)局部放大圖

(c)俯視剖視圖 (d)正三軸測圖圖1 交叉簧片柔性鉸鏈結(jié)構(gòu)圖及參考坐標系Fig.1 The structure diagram and reference coordinate system of the cross-spring flexural hinge

圖1中，影響交叉簧片柔性鉸鏈剛度的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)如下：單根直梁的長度L，單根直梁的高度h和空心圓柱體的壁厚b。其中，單根直梁高度h受直梁長度L的約束，而空心圓柱體壁厚b與直梁高度h、直梁長度L完全獨立。

在單一軸運動方向上，交叉簧片型柔性鉸鏈可簡化為一個交叉鉸鏈柔性環(huán)節(jié)，圖2所示為交叉簧片柔性鉸鏈，展現(xiàn)了最簡單的設(shè)計，當外部載荷作用在轉(zhuǎn)動平臺時，通過梁的分布式柔性變性來實現(xiàn)轉(zhuǎn)動平臺相對于固定平臺的轉(zhuǎn)動，它可以等效為在運動方向上兩個直梁的并聯(lián)，等效力模型如圖3所示。根據(jù)串并聯(lián)彈簧原理[11]，可以得到交叉簧片鉸鏈的剛度K：

K=2K1

(1)

式中，K1為單一直梁的剛度。

圖2 交叉簧片型柔性鉸鏈結(jié)構(gòu)Fig.2 The structure of cross-spring flexural hinge

圖3 鉸鏈受力等效力模型Fig.3 Equivalent model of the load of the hinge

1.2 交叉簧片柔性鉸鏈單一直梁柔度矩陣計算

對交叉簧片柔性鉸鏈進行計算時，為了便于鉸鏈柔度計算公式的推導，做以下假設(shè)[12-14]：①鉸鏈的變形只發(fā)生在直梁部分，忽略其他部分的變形；②將鉸鏈等效成小變形懸臂梁；③鉸鏈一端固定，鉸鏈的彎曲變形由力和彎矩產(chǎn)生，考慮軸向載荷的影響，忽略剪切和扭轉(zhuǎn)的影響。

基于以上假設(shè)，鉸鏈下平臺完全固定，作用于轉(zhuǎn)動平臺的力分解為軸向載荷和純彎矩，受力分析如圖4所示。柔性鉸鏈單一直梁受力情況簡化為懸臂梁，如圖5所示。

圖4 鉸鏈受力參數(shù)模型Fig.4 Parameter model of the load of the hinge

圖5 單一鉸鏈受力分析Fig.5 Single hinge force analysis

根據(jù)卡氏第二定理，可得柔性鉸鏈在1點的變形量與載荷的關(guān)系：

(2)

式中，F(xiàn)1x、F1y分別為單一鉸鏈在1處x向與y向受力；M1z為單一鉸鏈在1處繞z軸彎矩；矩陣中的每個元素Ci-j稱為柔度因子；u1x為1點在力F1x的作用下沿x軸的微小線性位移；u1y為1點在力F1y的作用下沿y軸的微小線位移；θ1z為1點在彎矩M1z的作用下繞z軸的轉(zhuǎn)角。

根據(jù)互等定理，Cθ-Fy=Cy-Mz，并且對位移矢量應(yīng)用卡氏第二定理，有

(3)

其中，U為材料的變形能。由材料力學知識可知，變形能表達式為

(4)

Fx=F1xMz=M1z+F1y(L-x)

A(x)=bhIz=bh3/12

式中，Mz為繞z軸的力矩；E為材料的彈性模量；A(x)為鉸鏈的橫截面面積；Iz為繞z軸的轉(zhuǎn)動慣量；h為橫截面上任意一點的厚度。

求得鉸鏈的形變?yōu)?/p>

(5)

其中，積分變量分比為

(6)

結(jié)合式(1)～式(3)，求得交叉簧片柔性鉸鏈各個柔度分別為

(7)

1.3 交叉簧片柔性鉸鏈剛度的計算與分析

圖6 鉸鏈在z軸方向受力示意圖Fig.6 Schematic diagram of the load of the hinge in the z-axis direction

柔性鉸鏈在z方向的總位移

z=F1xCx-Fxsinθ+F1yCy-Fycosθ+M1zCy-Mz

(8)

由公式K=Fz/z可得鉸鏈在z軸方向的剛度

(9)

鉸鏈在受力Fz的情況下，可由式(1)計算轉(zhuǎn)動角度θ1z：

θ1z=Cθ-FyF1y+Cθ-MzM1z

(10)

由公式KM=M/θ1z可得柔性鉸鏈在轉(zhuǎn)動方向的剛度

(11)

分析式(9)、式(11)可知，鉸鏈軸向剛度Kz與轉(zhuǎn)動剛度KM與E、b成正比，其他鉸鏈結(jié)構(gòu)參h、L均影響鉸鏈的柔度性能，且其影響關(guān)系較為復雜。利用MATLAB對鉸鏈剛度進行計算，分別分析軸向剛度Kz、轉(zhuǎn)動剛度KM與h、L之間的關(guān)系。作軸向剛度Kz、轉(zhuǎn)動剛度KM與L、h的關(guān)系圖，圖7所示為交叉簧片柔性鉸鏈軸向剛度K隨設(shè)計參數(shù)L、h的變化關(guān)系，圖8所示為交叉簧片柔性鉸鏈轉(zhuǎn)動剛度KM隨設(shè)計參數(shù)L、h的變化關(guān)系。

圖7 交叉簧片柔性鉸鏈軸向剛度Kz隨設(shè)計參數(shù) L和h的變化關(guān)系Fig.7 The relationship of the axial stiffness Kz of the cross-spring flexural hinge with design parameters L and h

圖8 交叉簧片柔性鉸鏈轉(zhuǎn)動剛度KM隨設(shè)計參數(shù) L和h的變化關(guān)系Fig.8 The relationship of rotational stiffness KM of the cross-spring flexural hinge with design parameters L and h

根據(jù)圖7、圖8，對于鉸鏈的軸向剛度Kz，在E、h一定的情況下，隨著L的減小和h的增大而增大，且隨h的變化較快；對于轉(zhuǎn)動剛度KM，在E、b一定的情況下，隨著L的減小和h的增大而增大，且隨h的變化較快。

2 交叉簧片型柔性鉸鏈實例設(shè)計

為尋找能滿足主鏡組件特殊要求且具有最佳性能的柔性鉸鏈設(shè)計，需要尋找h、b、L的最佳值。根據(jù)金屬材料性能手冊，TC4(Ti-6Al-4V)具有強度高、密度小、比剛度高、膨脹系數(shù)小和機械性能好等優(yōu)點，因此材料選擇鈦合金TC4，其彈性模量為106 820 MPa，泊松比為0.34，許用應(yīng)力為895 MPa。

為了考慮載荷對交叉簧片型柔性鉸鏈的影響，可以確定鉸鏈在各力作用下的應(yīng)力：

(12)

(13)

則鉸鏈所受總應(yīng)力

(14)

SMITH[15]對交叉簧片柔性鉸鏈進行了計算，確定鉸鏈行程在梁長10%以內(nèi)時，鉸鏈所受極限軸向載荷

(15)

將式(15)代入式(14)，得到鉸鏈最大轉(zhuǎn)角θmax與最大應(yīng)力σmax的關(guān)系：

(16)

令ε=h/L，將θmax=πα/180，σmax=895 MPa代入式(16)，可得ε=0.31，保證鉸鏈軸向剛度大于1.6×107N/m，將ε=0.31代入式(9)，可得b≥15.8 mm。

又由于在光學組件中，空心圓柱體尺寸受光學元件尺寸限制，其中外徑尺寸d=73 mm，b≤16 mm。有15.8 mm≤b≤16 mm。

保證鉸鏈轉(zhuǎn)動剛度大于1500 N·m/rad，將ε=0.31代入式(11)，可得

bh2≤4.0768×10-7h≤5 mm

由式(13)可知，為保證正應(yīng)力最小，則b=16 mm，h=5 mm，此時L=16.13 mm，為保證最大轉(zhuǎn)角滿足設(shè)計要求，可令L=16 mm。

至此，決定交叉簧帶柔性鉸鏈的全部尺寸都已確定，并且能夠滿足設(shè)計要求。實例設(shè)計的交叉簧帶柔性鉸鏈的尺寸參數(shù)見表2，交叉簧片柔性鉸鏈實物如圖9所示。

表2 設(shè)計實例結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.2 Structural parameters of design case

(a)正視圖 (b)側(cè)視圖圖9 交叉簧片柔性鉸鏈實物Fig.9 The prototype of cross-spring flexural hinge

3 實例驗證與分析

3.1 鉸鏈剛度有限元數(shù)值分析

根據(jù)上述尺寸設(shè)計參數(shù)，利用Patran/Nastran軟件對鉸鏈進行有限元分析。為模擬交叉簧片柔性鉸鏈的工作情況，有限元分析的約束條件為柔性鉸鏈下平臺施加6個自由度的約束，距離上平臺中心10 mm處施加轉(zhuǎn)矩。分析得到鉸鏈Y向最大位移為ΔZ′，代入下式[16]可求得有限元計算轉(zhuǎn)動剛度：

其中，M為施加的單位轉(zhuǎn)矩；d=73 mm為交叉柔性鉸鏈的外直徑。施加轉(zhuǎn)矩與有限元的數(shù)值計算結(jié)果見表3。

表3 施加轉(zhuǎn)矩與有限元數(shù)值計算結(jié)果Tab.3 Applied torque and finite element results

3.2 鉸鏈轉(zhuǎn)動剛度的測量

為了驗證利用卡氏第二定理方法設(shè)計交叉簧片柔性鉸鏈的可行性，本文搭建了圖10所示的光學測試平臺[16]，實驗中所采用的柔性鉸鏈為具有2正交方向的交叉簧片柔性環(huán)節(jié)的柔性鉸鏈，即4個直梁周向布置的形式。具體實施方案如下：在扭轉(zhuǎn)工裝距離鉸鏈軸線l=0.1 m處懸掛質(zhì)量為MG的砝碼，其中砝碼通過逐次增加200 g的方式進行懸掛，砝碼對鉸鏈產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩，在轉(zhuǎn)矩的作用下鉸鏈發(fā)生變形，此時平面反射鏡發(fā)生轉(zhuǎn)動，利用經(jīng)緯儀測量懸掛砝碼前后平面鏡角度變化量α，此角度偏差即為交叉簧片柔性鉸鏈上平臺在轉(zhuǎn)矩作用下的轉(zhuǎn)動角度。

圖10 光學測量實驗Fig.10 The test of optical measurement

根據(jù)實驗測量的轉(zhuǎn)動角度求得轉(zhuǎn)動剛度

Kθ=lMG/α

其中，l為砝碼與鉸鏈軸線的直線距離；α為平面鏡角度變化量。實驗測得鉸鏈轉(zhuǎn)動角度與轉(zhuǎn)動剛度計算值見表4。

表4 實驗測量角度與轉(zhuǎn)動剛度計算值Tab.4 Experimental measured angle and rotational stiffness value

圖11、圖12所示分別為施加不同轉(zhuǎn)矩的情況下，轉(zhuǎn)動角度與轉(zhuǎn)動剛度的仿真結(jié)果與實驗結(jié)果對比曲線。在不同轉(zhuǎn)矩情況下，鉸鏈轉(zhuǎn)動角度仿真值與實驗值較為接近，最大誤差為6.33%，且實驗測得轉(zhuǎn)動角度均大于仿真計算所得到的轉(zhuǎn)動角度；鉸鏈轉(zhuǎn)動剛度仿真值穩(wěn)定在1625.9 N·m/rad，通過對比計算，實驗值與仿真值最大誤差為6.31%，解析解、仿真值與實驗值的最大誤差為8.7%。上述結(jié)果驗證了利用卡氏第二定理方法設(shè)計交叉簧片柔性鉸鏈的可行性。

圖11 鉸鏈轉(zhuǎn)動角度的仿真值與實驗值對比Tab.11 Comparison of simulated and experimental values of hinge rotation angle

圖12 鉸鏈轉(zhuǎn)動剛度的仿真值與實驗值對比Tab.12 Comparison of simulated and experimental values of hinge rotation stiffiness

3.3 誤差分析

鉸鏈轉(zhuǎn)動角度的仿真值與實驗值最大誤差為6.33%，鉸鏈轉(zhuǎn)動剛度的解析解、仿真值和實驗測量值三者最大誤差為8.7%，證明了理論推導過程及其結(jié)果的準確性。雖然設(shè)計值、有限元數(shù)值計算與實驗測量值一致性滿足要求，但還是有必要對誤差源進行分析。首先在對鉸鏈轉(zhuǎn)動剛度與軸向剛度求解過程中，建立鉸鏈的懸臂梁等效模型基于一系列的假設(shè)，在實際中鉸鏈變形過程較為復雜，因此這些假設(shè)引入了模型誤差。其次，在有限元計算過程中，有限元程序是將連續(xù)體進行離散近似來計算的，從而產(chǎn)生了離散誤差；而且有限元網(wǎng)格近似程度、程序算法等也會引入誤差。最后，在測量過程中由人眼判斷經(jīng)緯儀是否瞄準，從而引入了人為誤差。

4 結(jié)論

結(jié)果顯示，轉(zhuǎn)動角度的仿真值與實驗值誤差為6.33%，轉(zhuǎn)動剛度的解析解為1483.6 N·m/rad、有限元仿真值為1625.9 N·m/rad和實驗測量結(jié)果平均值為1558.1 N·m/rad，三者間的最大誤差為8.7%，并從三個方面對誤差源進行了分析。綜上所述，卡氏第二定理能快速、方便、準確地對交叉簧片柔性鉸鏈進行設(shè)計，同時，交叉簧片柔性鉸鏈為其他鉸鏈的設(shè)計形式與方法提供了新思路。