三角形的內(nèi)角和為什么等于180°

李迎新

在小學的時候我們就已經(jīng)知道三角形的內(nèi)角和是180°（如圖1）。但是，還記得那時我們是如何說明的嗎？

肯定有同學想起來了：用量角器去量一量各個內(nèi)角，然后把三個內(nèi)角加起來就可以了。

當然，還有同學可能會想到拼接的辦法。如圖2所示，我們將三角形的三個內(nèi)角撕下來，拼接到一起，通過觀察、測量，發(fā)現(xiàn)三角形的內(nèi)角和是180°。這種方法，我們稱之為合情推理。

所謂合情推理，就是一種比較自然的、合乎情理的、似乎為真的推理。它是根據(jù)已有的數(shù)學事實和正確的數(shù)學結(jié)論，或以個人的數(shù)學經(jīng)驗（數(shù)學實驗或?qū)嵺`）和數(shù)學直觀進行推測而得到某些結(jié)果的一種推理，通過觀察、實驗、歸納、類比、從特殊到一般等方法，憑直觀、直覺或聯(lián)想直接獲得某種數(shù)學結(jié)論。

當然，不論是度量，還是拼接，我們會發(fā)現(xiàn)，在實際動手操作過程中，可能會存在誤差，導致我們的結(jié)果不盡如人意。

那么，學習了本章之后，大家對“三角形的內(nèi)角和為什么是180°”這個結(jié)論，是否有了新的證明方法？

蘇科版教材第153頁就為我們提供了一種證明的方法：添加平行線，根據(jù)兩條直線平行得到內(nèi)錯角相等和同位角相等，完成三角形內(nèi)角和的證明（詳見教材）。這種證明的方法，我們稱之為演繹推理（或論證推理）。

所謂演繹推理，就是從一般性的前提出發(fā)，通過推導即“演繹”，得出具體陳述或個別結(jié)論的過程。

這種推理方法也是同學們在后續(xù)學習平面幾何證明時常常要用到的方法。演繹推理一般包含三個部分：條件、結(jié)論和依據(jù)。

現(xiàn)在我們回到剛剛的話題“三角形的內(nèi)角和為什么是180°”。在課下，有的同學學習了教材上的證明方法之后，想出了其他不同的證明方法。我們一起來看一看吧。

方法一：類比教材中的輔助線作法，如圖3，直接過點A作一條與BC平行的直線DE，根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”，得到∠B=∠EAB，∠C=∠DAC，再利用“平角為180°”證明即可。

方法二：如圖4，過點A作AD∥BC，根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”，得到∠C=∠DAC，再根據(jù)“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”，得到∠DAB+∠B=180°，從而得到三角形的內(nèi)角和為180°。

我們可以從剛剛的兩種證明方法中看到，如果想證明三角形的內(nèi)角和等于180°，那么，我們可以利用平角是180°，或者利用兩條直線平行，得到同旁內(nèi)角互補來進行轉(zhuǎn)化。

同學們，看到這，你們是不是還想到了其他的證明方法？快寫下來，與老師和其他同學一起分享吧。

（作者單位：江蘇省蘇州外國語學校）