例談“字母”的魅力

郭源源

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是從易到難，由淺入深的過程。其中，從小學(xué)的“算術(shù)”跨越到初中的“代數(shù) ”的關(guān)鍵性一步是字母的出現(xiàn)。蘇科版七（上）教材整冊都在滲透著字母的意義和作用。借助“字母”可以精練地表達(dá)數(shù)學(xué)概念，運(yùn)用“字母”可以顯性地解釋數(shù)學(xué)規(guī)律，理解“字母”可以更易發(fā)現(xiàn)章節(jié)知識之間的關(guān)聯(lián)。這些都能幫助我們理清知識的結(jié)構(gòu)體系，從而進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)思維能力。下面，我們就圍繞“字母”，重溫七（上）的知識內(nèi)容。

一、借助字母簡明地表示公式或規(guī)律

蘇科版教材第二章“有理數(shù)”中，在探究運(yùn)算律或法則時(shí)，為了凸顯所有的數(shù)都能適用，就用到了字母的表示方法。如：

（1）去絕對值符號：當(dāng)a>0時(shí)，[a]=a;當(dāng)a=0時(shí)，[a]=0;當(dāng)a<0時(shí)，[a]=-a。

（2）有理數(shù)加法運(yùn)算律：交換律a+b=b+a，結(jié)合律（a+b）+c=a+（b+c）。

（3）有理數(shù)乘法運(yùn)算律：交換律a×b=b×a，結(jié)合律（a×b）×c=a×（b×c），分配律（a+b）×c=a×c+b×c。

（4）科學(xué)記數(shù)法：a×10n（1≤a<10，n是正整數(shù)）。

這些都充分體現(xiàn)了字母的一般性和簡潔性。

例1 （1）“減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)”用字母可以表示為 。

（2）若a<0，b>0，在a+b，a-b，-a+b，-a-b中，最大的是 。

【解析】（1）a的相反數(shù)表示為-a，所以原敘述用字母表示為a-b=a+（-b）。

（2）字母可以表示任何數(shù)，不一定帶“-”號就小，帶“+”號就大。本題中，a負(fù)b正，填空題可以用舉例子的方法快速判斷，也可以將4個(gè)式子統(tǒng)一為加法。只有（-a）+b中兩個(gè)加數(shù)都為正，故最大。此外，我們還可以借助數(shù)軸去理解。

【點(diǎn)評】字母的出現(xiàn)，使數(shù)學(xué)有了更精練的符號語言。

二、借助字母進(jìn)行說理

在蘇科版教材第三章“代數(shù)式”中，我們更加深入地理解了字母，研究了用字母表示數(shù)，感悟了字母的價(jià)值，并掌握了代數(shù)式的運(yùn)算，代數(shù)的學(xué)習(xí)也正式地從“數(shù)”跨越到“式”。在本章，我們學(xué)會了數(shù)學(xué)說理的方法——用字母說理。字母說理更能揭示事物內(nèi)部的規(guī)律特征。

例2 猜數(shù)字游戲：

表演者：“寫一個(gè)比1大的一位數(shù);將你寫的數(shù)減去1，再乘5，再減去2，再乘2;接著再隨意加上一個(gè)一位數(shù)，把最后的結(jié)果告訴我，我不僅能猜到你寫的是哪個(gè)數(shù)，還能猜到最后加的是哪個(gè)數(shù)?！?/p>

眾人不信，紛紛試驗(yàn)。盡管他們寫的數(shù)和加的數(shù)各不相同，但都被表演者一一猜中。大家都很奇怪，表演者是怎么知道的呢？

最后表演者公布了猜法：“將你們的答案加上14，可得一個(gè)兩位數(shù)。十位上的數(shù)就是你寫的數(shù)，個(gè)位上的數(shù)就是你加的數(shù)。”請用數(shù)學(xué)知識解釋這其中的道理。

【解析】數(shù)字運(yùn)算后呈現(xiàn)的是結(jié)果，暴露的規(guī)律不夠明顯，而字母可以表示任意數(shù)，最能反映事物內(nèi)部規(guī)律。因此，我們可以嘗試設(shè)開始的一位數(shù)為x，最后加上的數(shù)為y，經(jīng)過運(yùn)算得到的結(jié)果含有x和y，這時(shí)x、y的關(guān)系也就清晰了。

解：設(shè)最開始寫的一位數(shù)為x，后來加上的數(shù)為y。

按步運(yùn)算，得

[（x-1）×5-2]×2+y=（5x-7）×2+y=10x

+y-14。

因此，結(jié)果加上14后為10x+y，即十位上是x，個(gè)位上是y。

【點(diǎn)評】字母可以讓規(guī)律可視化，而解釋規(guī)律也正是字母的優(yōu)勢之一。

三、借助字母列方程解決問題

蘇科版教材第四章“一元一次方程”充分發(fā)揮了用字母解決問題的重要作用。設(shè)未知數(shù)，讓思維更加“順向”，讓思路更加直觀明晰。

例3 A、B兩地果園分別有蘋果40噸和60噸，C、D兩地分別需要蘋果30噸和70噸。已知從A、B到C、D的運(yùn)價(jià)如下表：

如果總運(yùn)輸費(fèi)為1100元，那么從A果園運(yùn)到C地的蘋果為多少噸？

【解析】本題的兩果園和C、D兩地都有運(yùn)輸關(guān)系，而且A、B之間，C、D之間也有關(guān)系，如何將這些關(guān)系都顯性化就是解決問題的關(guān)鍵。這時(shí)，我們就可以發(fā)現(xiàn)設(shè)x的優(yōu)勢，讓x參與“戰(zhàn)斗”，可以將所有的關(guān)系都梳理出來，從而列出方程。

解：設(shè)A果園運(yùn)到C地的蘋果為x噸，則A果園運(yùn)到D地的蘋果為（40-x）噸，B果園運(yùn)到C地的蘋果為（30-x）噸，B果園運(yùn)到D地的蘋果為[60-（30-x）]噸。

可列方程為15x+12（40-x）+10（30-x）+9[60-（30-x）]=1100，

解得x=25。

答：從A果園運(yùn)到C地的蘋果為25噸。

蘇科版教材第六章“平面圖形的認(rèn)識（一）”解決了有關(guān)線段長度和角度的問題。當(dāng)圖形說理有困難時(shí)，借助字母，可以讓長度和角度運(yùn)算變得更加簡單，讓圖形的關(guān)系變得可視化。

例4 如圖1，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，探索∠DOE和∠AOB之間的關(guān)系。

【解析】圖中的角非常多，錯(cuò)綜復(fù)雜，目標(biāo)角關(guān)系不明顯，所以得用更直觀和更明晰的方式來呈現(xiàn)關(guān)系。

解：設(shè)∠AOC=m，∠BOC=n，

則∠AOB=m-n。

∵OD平分∠AOC，

∴∠DOC=∠AOD=[12]m。

∵OE平分∠BOC，

∴∠EOC=∠BOE=[12]n。

∴∠DOE=∠DOC-∠EOC

=[12]m-[12]n=[12]（m-n）。

由此可得∠DOE=[12]∠AOB。

【點(diǎn)評】代數(shù)和幾何并不是完全割裂的，而是相互交融的，“數(shù)形結(jié)合”是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法。

綜上，字母在七年級上冊中可以關(guān)聯(lián)到任何一章，在“數(shù)與代數(shù)”這一板塊有著重要的地位。字母可以代表數(shù)與式，那么，隨著代數(shù)的進(jìn)一步發(fā)展，是否還可以代表其他內(nèi)容呢？事實(shí)上，字母還可以代表更加抽象的運(yùn)算對象，如集合、行列式、矩陣等。同學(xué)們，我們從初中的起始階段就要理解字母的意義，體會字母的價(jià)值，習(xí)慣字母的運(yùn)算，善于用字母去解釋，這樣便可以為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。

（作者單位：江蘇省南京市雨花臺區(qū)教師發(fā)展中心）