曹嶺紅

【摘要】有效促進學(xué)生對知識的理解和運用，是培養(yǎng)學(xué)生問題解決能力的關(guān)鍵.本文以“平方差公式練習(xí)講評”教學(xué)為例，依次構(gòu)建知識鞏固場景、知識變式場景和完型假想場景，有效促進學(xué)生達成鞏固與熟練、融通與理解、精通與構(gòu)建的螺旋式目標，最終使學(xué)生對知識形成從淺表到中層再到深度的遞進式理解.

【關(guān)鍵詞】知識鞏固場景;知識變式場景;完型假想場景

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（實驗稿）》將“解決問題”列入課程總目標，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》將“解決問題”改為“問題解決”，繼續(xù)列入課程總目標.2016年9月，《中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》正式發(fā)布，共列舉了18個要點，“問題解決”屬于其中之一.2019年12月教育部考試中心發(fā)布的《中國高考評價體系說明》中明確提出：“學(xué)科素養(yǎng)是（學(xué)習(xí)者）在面對生活實踐或?qū)W習(xí)探索情境中的問題時，能夠……高質(zhì)量地認識問題、分析問題、解決問題的綜合品質(zhì).”可見，問題解決已成為學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的重要表征.但在現(xiàn)實學(xué)習(xí)生活中，解決問題往往是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，他們或讀不懂題意，或無從下手，或解答思路漏洞百出，等等.因此，迅速提升學(xué)生問題解決的能力既是教師教學(xué)的重點，又是提升教學(xué)質(zhì)量的共識.目前，培養(yǎng)學(xué)生解題能力的教學(xué)方式有很多，但大量解題成了一種常態(tài)的培養(yǎng)方式.眾所周知，這種方式的高效性是值得商榷的，在如今“雙減”大背景下，這種方式的可行性也被打上了問號，這就需要我們從“問題解決”的本質(zhì)上再度進行思考.

“問題”是基于現(xiàn)實場景而產(chǎn)生的，“問題解決”是基于知識的理解而形成的策略，“問題解決”能力是學(xué)生在現(xiàn)實場景中知識運用能力的重要表征.因此，有效促進學(xué)生對知識的理解和運用，是培養(yǎng)學(xué)生問題解決能力的關(guān)鍵.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們將知識理解與知識運用深度融合，構(gòu)建起“知識運用場景”概念，并在不同的場景下貫徹“以運用促理解”的教學(xué)策略，從而實現(xiàn)基于知識運用場景的構(gòu)建設(shè)計和實施教學(xué).知識運用場景主要有三種，即：知識鞏固場景、知識變式場景和完型假想場景.知識鞏固場景體現(xiàn)在對知識運用要素的鞏固上，目的是理解知識要素，如完成教材上的習(xí)題;知識變式場景體現(xiàn)在知識運用方式的變化性訓(xùn)練上，目的是在變式中理解知識，如變式訓(xùn)練;完型假想場景體現(xiàn)在引導(dǎo)學(xué)生基于知識理解，自我構(gòu)建知識運用場景的知識運用訓(xùn)練上，目的是深度理解知識.從訓(xùn)練目標而言，知識鞏固運用場景重在鞏固，知識變式運用場景重在變換，完型假想場景重在自我建構(gòu).三種場景的聯(lián)動實施，輪次推進，幫助學(xué)生循序漸進地感受不同深度的知識內(nèi)涵，體驗知識要素的“變與不變”，熟悉運用場景的豐富可能，經(jīng)歷知識運用的經(jīng)驗總結(jié)、方法提煉，從而達到充分理解與深度學(xué)習(xí).

一、知識鞏固場景

知識鞏固場景的教學(xué)是指在新授課教學(xué)過程中或結(jié)束后，為了使學(xué)生達到熟練掌握知識的目的，讓學(xué)生完成一些與例題相同或相似的練習(xí)的知識運用教學(xué)，它對知識要素的鞏固和例題的理解有明顯的效果.

如：北師大版七年級下冊第一章“整式的乘除”第5節(jié)“平方差公式”的內(nèi)容是平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2，兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積等于它們的平方差.教材上的例題類型如下：

（1） （-m+n）（-m-n）

（2）（5+6x）（5-6x）

（3）（2x-5）（2x+5）-2x（2x-3）

（4）103×97

教材上提供的練習(xí)類型如下：

（1） （-x-1）（1-x）

（2）（mn-3n）（mn+3n）

（3）（an+b）（an-b）

（4）a+1[]2ba-12b-（3a-2b）（3a+2b）

（5）1007×993

將例題、練習(xí)和平方差公式進行對比發(fā)現(xiàn)，例題和練習(xí)是對平方差公式進行了如下五個維度的變形：字母替換、因數(shù)（式）變換、指數(shù)變換、含平方差公式的整式混合運算和含平方差公式的數(shù)的計算.將例題和練習(xí)進行對比發(fā)現(xiàn)，五個維度的練習(xí)變形中，有四個可以從例題中找到原型，有了對例題的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以根據(jù)例題的解答過程進行模仿解答.在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生能否順利解答上述練習(xí)主要取決于教師是否詳細講解或強調(diào)過這些類型題的解答要點.而學(xué)生作業(yè)的正確率往往是教學(xué)目標達成情況的主要表征.并且，為了幫助學(xué)生解答相對于例題而言的陌生習(xí)題，教師往往會增加對應(yīng)例題以盡量覆蓋這些習(xí)題類型.如：為了讓學(xué)生順利解答練習(xí)第（3）題指數(shù)變換類型題，教師往往會增加一個這樣類似例題進行講解，為學(xué)生完成練習(xí)提供范例或指引.所以，教師充分的前期鋪墊是學(xué)生正確解答這些習(xí)題的必要條件，學(xué)生及時鞏固訓(xùn)練則能達到熟練掌握例題解答技巧的目的.但其缺陷也非常明顯：

（1）學(xué)生對知識運用場景屬于被動接受.習(xí)題由教師提供，提供這些習(xí)題的原因不為學(xué)生所知，只是讓學(xué)生一味解題.因此，學(xué)生對知識運用場景是被動接受的，很難真正理解知識的運用特征.

（2）學(xué)生對知識運用方式容易出現(xiàn)過度模仿.教師對知識運用要點進行了詳細講解，學(xué)生的鞏固性訓(xùn)練只需對教師講解內(nèi)容進行回憶與模仿.長期的模仿訓(xùn)練容易導(dǎo)致學(xué)生習(xí)慣運用當天所學(xué)解答當天問題，從而形成不對問題進行認真分析就直接開始解答的解題習(xí)慣，這樣往往容易產(chǎn)生思維惰性.

二、知識變式場景

知識變式場景的教學(xué)是基于知識內(nèi)容，對知識運用場景的特征進行分類訓(xùn)練的教學(xué)，旨在幫助學(xué)生熟練掌握知識運用的各種已知方式，從而達到促進理解、熟練運用的目的，它對知識特定變式方式的理解有明顯的效果.

如：平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2的運用場景通常分為如下情況：變換字母（將a，b兩字母改為其他字母）、變換系數(shù)（將a，b兩字母的系數(shù)變換為任意常數(shù)）、增添因數(shù)（將a，b兩單一字母變換為任意單項式）、增添項數(shù)（將a，b兩單一字母變換為任意多項式）、復(fù)合變換（融合上述兩種或兩種以上的變換）和在復(fù)雜場景下的甄別性訓(xùn)練如a+1[]2ba-12b-（3a-2b）（3a+2b）等.D0DF1DB2-109E-42D0-9985-A7741199335A

教師根據(jù)這些類型分別提供一定數(shù)量的習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生分類別進行訓(xùn)練.教師讓學(xué)生集中精力接受同類別訓(xùn)練是為其排除干擾因素，并在特定類別訓(xùn)練中領(lǐng)悟平方差公式的本質(zhì)，熟練掌握特定類別的各種運用情況.當綜合所有類別后，學(xué)生還能領(lǐng)悟到如下內(nèi)容：（1）無論字母因式如何變化，平方差公式的本質(zhì)都不能變——兩數(shù)之和乘這兩數(shù)之差;（2）在字母因式中，可變換的內(nèi)容有字母、字母數(shù)量、字母系數(shù)等;（3）在變化過程中，可以單一變，可以復(fù)合變.這些領(lǐng)悟是學(xué)生對知識本身的理解和對知識運用場景的理解，它融通了知識與運用之間的關(guān)聯(lián)，但存在如下缺陷：學(xué)生訓(xùn)練用的習(xí)題都由教師提供，即在教師指定的范圍內(nèi)進行領(lǐng)悟，所以學(xué)生還是處于被動學(xué)習(xí)狀態(tài)，主動性沒有得到充分激發(fā).而知識運用的場景是多樣的，在有限的學(xué)習(xí)時間內(nèi)，學(xué)生難以訓(xùn)練完所有內(nèi)容.因此，當學(xué)生面對沒有經(jīng)過訓(xùn)練的運用場景時，依然會有初次解決問題時的茫然感.

三、完型假想場景

完型假想場景的教學(xué)是基于知識特征，在教師引導(dǎo)下，學(xué)生對其可能出現(xiàn)的所有運用場景進行自我建構(gòu)，并予以解答的教學(xué)方式.它是通過構(gòu)建問題場景來領(lǐng)悟問題產(chǎn)生原理，從而達到提升學(xué)生解決問題能力和理解知識的目的.它屬于開放性思維訓(xùn)練和問題自構(gòu)訓(xùn)練， 在激發(fā)學(xué)生的主動性學(xué)習(xí)、培養(yǎng)學(xué)生的開放性思維、提升學(xué)生問題解答的遷移能力等方面有顯著效果，也是使學(xué)生最終達到理解知識目標的最佳方式.為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，在引導(dǎo)學(xué)生進行平方差公式的運用場景建構(gòu)時，教師可以設(shè)置這樣的問題：平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2中的兩數(shù)是以單一字母a，b呈現(xiàn)的，那么還有哪些代數(shù)式可以替換a，b兩字母來表示這兩個數(shù)？然后學(xué)生對其所有表示方式進行歸類，利用平方差公式進行計算.在這種足夠開放的問題指引下，學(xué)生得出可以用任意代數(shù)式來表示這兩個數(shù)，代數(shù)式包含任意單項式和任意多項式.根據(jù)學(xué)生的課堂表現(xiàn)，平方差公式變換情況呈現(xiàn)了如下情況：

（一）因式變換，理解了單項式的整體性

使用任意單項式表示平方差公式中的兩個數(shù)時，因為單項式是數(shù)與字母的乘積形式，數(shù)與各字母都是這個單項式的因式，所以將這種變換方式稱為因式變換.因式變換的類型包含字母變換、系數(shù)變換、因式數(shù)量變換和指數(shù)變換[將字母指數(shù)“1”變換為任意整數(shù)，如

（2a3x2 +by4 ）（2a3x2 -by4 ）=（2a3x2 ）2 -（by4 ）2 ]、復(fù)合變換等.學(xué)生在自我建構(gòu)這種變換場景時，必定遵循平方差公式的本質(zhì)“兩數(shù)和乘這兩數(shù)差”不變的特征，即不管這個單項式多么復(fù)雜，它都是以單項式整體的形式表示平方差公式中兩個數(shù)中的某一個數(shù).這個本質(zhì)特征于學(xué)生構(gòu)建運用場景過程而言，剛開始時是隱形的，但隨著構(gòu)建單項式的類別越來越豐富，學(xué)生對這種本質(zhì)的理解將會越來越深刻，并能達到準確表達出這種本質(zhì)特征的程度，此時，對這些問題的正確解答就是水到渠成的事情了.

（二）項數(shù)變換，理解了多項式的整體性

使用任意多項式表示平方差公式中的兩個數(shù)時，因為多項式是幾個單項式和的形式，各單項式都是這個多項式的項，所以將這種變換方式稱為項數(shù)變換.在項數(shù)變換時，對學(xué)生進行有序性思維訓(xùn)練是一個非常好的教育時機.如：先引導(dǎo)學(xué)生對兩個數(shù)中的其中一個數(shù)進行多項式變換，再對另一個數(shù)進行多項式變換，最后對兩個數(shù)同時進行多項式變換;在變換的項數(shù)上，引導(dǎo)學(xué)生從二項式到更多項數(shù)進行依次變換.在變換開始時，為了幫助更多同學(xué)順利完成自我構(gòu)建場景的學(xué)習(xí)任務(wù)，教師可以適當搭設(shè)腳手架.如：將一個用多項式表示的數(shù)作為腳手架，引導(dǎo)學(xué)生以此構(gòu)建平方差公式計算的運用場景，具體操作方式如下：

1.已知一個數(shù)構(gòu)建平方差公式.如：若a+2b-3c是平方差公式中乘積式的第一個因式， 根據(jù)下列條件寫出第二個因式，然后利用平方差公式進行計算.（1）兩數(shù)中第一個數(shù)是a+2b;

（2）兩數(shù)中第一個數(shù)是a.

2.自主選定兩個數(shù)構(gòu)建平方差公式.如：若a-2b+3c-d是平方差公式中乘積式的第一個因式，請自行選取這個多項式的任意項來確定兩個數(shù)，然后寫出第二個因式，最后利用平方差公式進行計算.為了培養(yǎng)學(xué)生思考的全面性，教師要求學(xué)生至少寫出四種，并且類別不能相同.在學(xué)生自我建構(gòu)這種變換場景時，與因式變換一樣，隨著變換類別的豐富，學(xué)生對平方差公式本質(zhì)特征的感受將越來越明顯、深刻.學(xué)生最后能清晰地表達出其中的“不變”與“變”，即平方差公式兩數(shù)本質(zhì)“不變”，表示兩數(shù)的多項式可以任意“變”.

（三）位置變換，理解了符號的不變性

位置變換是在不改變表示平方差公式兩數(shù)的情況下，利用加法的交換律，改變兩數(shù)在兩數(shù)和或兩數(shù)差所對應(yīng)多項式中的各項位置.學(xué)生在經(jīng)歷位置的變換中，理解了平方差公式中兩數(shù)符號的“變”與“不變”規(guī)律.如：平方差公式中的兩數(shù)分別為a和2b-3c，對應(yīng)的平方差公式計算場景可以是（a+2b-3c）（a-2b+3c），（a+2b-3c）（a+3c-2b），（a+2b-3c）·（3c-2b+a），（2b+a-3c）（3c-2b+a），等等.

在進行位置變換時，為了幫助更多的同學(xué)順利完成自我構(gòu)建場景的學(xué)習(xí)任務(wù)，教師可以按下面方式搭設(shè)腳手架：先進行已知兩個數(shù)的變換，再進行已知一個數(shù)的變換，最后進行自選兩數(shù)變換（注：為了滿足位置變換的條件，兩數(shù)不管是已知，還是學(xué)生自己選定，都必須使用多項式表示）.根據(jù)學(xué)情，教師在教學(xué)中或選擇其中一個環(huán)節(jié)，或兩個環(huán)節(jié)，或按照上述遞進方式依次推進.因式變換和項數(shù)變換的“變”體現(xiàn)在兩數(shù)的表現(xiàn)形式上，位置變換的“變”體現(xiàn)在用多項式表示兩數(shù)時，兩數(shù)和或這兩數(shù)差中多項式各項的位置上，三種方式所灌輸內(nèi)容都是感受平方差公式運用場景的“不變”與“變”，以及其中所蘊含的整體數(shù)學(xué)思想.

（四）逆向構(gòu)建場景，強化深度理解

因式變換、項數(shù)變換和位置變換都是對平方差計算公式的順向思考.思維的方向是多向的，與順向思維對應(yīng)的是逆向思維.平方差公式既可以作為計算公式，反過來又可以作為因式分解公式，我們可以利用平方差公式進行逆向思維訓(xùn)練.基于教學(xué)的推進順序，此時直接進行因式分解訓(xùn)練是不合適的，但從學(xué)習(xí)深度的角度來看，進行因式分解的滲

透是完全可行的.因此，在不改變平方差公式從乘積到和差順序的前提下，教師可以根據(jù)知識運

用的結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建逆向推導(dǎo)知識運用場景，這就是逆向構(gòu)建場景.比如：

1.已知兩數(shù)和與這兩數(shù)差的乘積等于9x6y2-1625a2b4，請將這兩個數(shù)分別填在下面相應(yīng)的位置上.

（? +? ?）（? -? ?）=9x6y2-1625a2b4

2.已知兩數(shù)和與這兩數(shù)差的乘積等于1002減去某個數(shù)的平方，請將這兩個數(shù)分別填在下面相應(yīng)位置上.

（? +? ?）（? -? ）=1002 -（? ）2

逆向構(gòu)建場景是對知識進行另一個方向的理解，它與順向構(gòu)建場景一起，多維度、多方向構(gòu)建知識運用場景.在構(gòu)建問題的過程中，深度理解知識內(nèi)涵，明白問題產(chǎn)生機理，而問題的解決方法必定存在于問題產(chǎn)生機理中，所以，問題的解決就是順理成章之事了.眾所周知，問題是無限的，但問題產(chǎn)生機理是有限的，在有限問題中明白了無限問題的產(chǎn)生機理，再面對陌生問題的解決時就可迎刃而解了.

通過上述分析可知，在知識教學(xué)過程中，我們可以結(jié)合具體知識，合理設(shè)計知識鞏固、 知識變式和完型假想三個階梯式的場景，逐層提升學(xué)生問題解決的能力，有效促成學(xué)生達成鞏固與熟練、融通與理解、精通與構(gòu)建三個螺旋式的目標，最終使學(xué)生對知識形成淺表、中層到深度的遞進式理解.

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.D0DF1DB2-109E-42D0-9985-A7741199335A