丁 東，王 粲，余明星

(華北科技學(xué)院，北京 東燕郊 065201)

0 引言

作為量子計(jì)算和量子信息中的一種物理資源，量子糾纏態(tài)在量子計(jì)算[1]、量子密碼學(xué)[2]、量子隱形傳態(tài)[3,4]等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。量子態(tài)在傳輸過(guò)程中不可避免地會(huì)受到環(huán)境噪聲的影響而產(chǎn)生退相干。退相干通常是指量子系統(tǒng)與環(huán)境發(fā)生相互作用，導(dǎo)致量子相干性的退化，在某些情況下甚至可能導(dǎo)致量子糾纏的消失[5,6]。因此，減輕或避免環(huán)境噪聲引起的退相干是量子信息應(yīng)用中面臨的一個(gè)重要難題。

目前已有的減輕糾纏態(tài)退相干的方法及原理包括糾纏蒸餾協(xié)議[7-10]，無(wú)退相干子空間[11,12]，量子Zeno效應(yīng)[13,14]和弱測(cè)量和量子測(cè)量翻轉(zhuǎn)方法[15-17]等。糾纏蒸餾協(xié)議可以從退化的糾纏態(tài)中，提取出所需的最大糾纏態(tài)。無(wú)退相干子空間是指可以從Hilbert空間中找到幺正的子空間，在這個(gè)子空間中的狀態(tài)不會(huì)受到特定環(huán)境的退相干。量子Zeno效應(yīng)是指可以通過(guò)對(duì)量子系統(tǒng)不斷地測(cè)量來(lái)保持量子系統(tǒng)的初始狀態(tài)以阻止系統(tǒng)的演化，從而減輕退相干。弱測(cè)量和量子測(cè)量翻轉(zhuǎn)方法是利用弱測(cè)量可翻轉(zhuǎn)性質(zhì)來(lái)克服退相干。

常見的退相干信道包括振幅阻尼信道、相位阻尼信道和去極化信道，其中，振幅阻尼退相干適用于許多真實(shí)的量子系統(tǒng)，包括具有光子損耗的真空單光子量子比特和具有自發(fā)衰變的原子量子比特等。本文主要以振幅阻尼信道為例，研究弱測(cè)量和量子測(cè)量方法在退相干信道中對(duì)糾纏態(tài)的保護(hù)作用。以Wigner的朋友實(shí)驗(yàn)中使用的三粒子糾纏態(tài)作為研究對(duì)象，計(jì)算該量子態(tài)在不同退相干強(qiáng)度和弱測(cè)量強(qiáng)度下的糾纏度和保真度，探索弱測(cè)量和量子測(cè)量翻轉(zhuǎn)方法對(duì)減輕或避免振幅阻尼量子信道退相干的可行性。

1 理論原理

振幅阻尼信道是一種常見的量子信道，量子態(tài)經(jīng)過(guò)振幅阻尼量子信道時(shí)會(huì)發(fā)生能量耗散，造成糾纏特性的損失。以單量子比特為例，假設(shè)量子系統(tǒng)的初始態(tài)S處于{|0〉，|1〉}基中的任意一個(gè)基態(tài)，環(huán)境E為|0〉E態(tài)，振幅阻尼退相干信道對(duì)系統(tǒng)的影響為：

|0〉s|0〉E→|0〉s|0〉E，

(1)

(2)

對(duì)應(yīng)到三粒子糾纏態(tài)中，振幅阻尼退相干信道對(duì)糾纏態(tài)的作用即為Mi?Mj?Mk，i,j,k=0,1。

弱測(cè)量和量子測(cè)量翻轉(zhuǎn)方法是基于弱測(cè)量可翻轉(zhuǎn)的事實(shí)，在糾纏態(tài)經(jīng)過(guò)量子信道傳輸之前先對(duì)量子系統(tǒng)的糾纏態(tài)進(jìn)行弱測(cè)量，將部分|1〉態(tài)演化為|0〉態(tài)，以降低環(huán)境對(duì)糾纏態(tài)的影響，此過(guò)程用非幺正算子表示為

(3)

其中P表示弱測(cè)量強(qiáng)度，0≤P≤1且P為實(shí)數(shù)。對(duì)應(yīng)到三粒子糾纏態(tài)中，弱測(cè)量算子可表示為

(4)

經(jīng)過(guò)弱測(cè)量后的糾纏態(tài)，進(jìn)入振幅阻尼退相干信道進(jìn)行傳輸。到達(dá)接收方后，應(yīng)用量子測(cè)量翻轉(zhuǎn)對(duì)弱測(cè)量之后的量子態(tài)進(jìn)行恢復(fù)，將部分|0〉態(tài)演化為|1〉態(tài)。此過(guò)程用非幺正算子表示為

(5)

(6)

2 弱測(cè)量和量子測(cè)量翻轉(zhuǎn)的實(shí)現(xiàn)

以三方Wigner朋友實(shí)驗(yàn)[21]中的糾纏態(tài)

|φ〉abc=[cosθ(|001〉+|010〉-|100〉)

(7)

作為量子系統(tǒng)的初始態(tài)。假設(shè)三粒子糾纏態(tài)經(jīng)過(guò)振幅阻尼信道分別分別發(fā)送至Alice、Bob和Charlie的實(shí)驗(yàn)室，此時(shí)考慮由于糾纏態(tài)與環(huán)境相互作用產(chǎn)生的退相干。接下來(lái)，我們采用弱測(cè)量和量子測(cè)量翻轉(zhuǎn)方法[22]來(lái)避免或減輕糾纏度在振幅阻尼信道中的衰減。

首先考慮不使用弱測(cè)量和量子測(cè)量翻轉(zhuǎn)方法的情況，三粒子糾纏態(tài)|φ〉abc經(jīng)振幅阻尼退相干后，演化為

(8)

其中ρφabc=|φ〉abc〈φ|abc，為表述簡(jiǎn)單起見，我們假設(shè)三個(gè)振幅阻尼量子信道具有相同的退相干強(qiáng)度λ，進(jìn)而得到系統(tǒng)經(jīng)過(guò)振幅阻尼退相干信道后的密度矩陣

(9)

我們采用計(jì)算糾纏度來(lái)量化振幅阻尼量子信道對(duì)量子態(tài)的影響?？紤]三體糾纏度量[23]

(10)

(11)

接下來(lái)，考慮使用弱測(cè)量和量子測(cè)量翻轉(zhuǎn)方法給出針對(duì)量子態(tài)|φ〉abc克服退相干的效果。在量子態(tài)進(jìn)行傳輸之前，首先對(duì)|φ〉abc進(jìn)行弱測(cè)量，令三個(gè)粒子具有相同的弱測(cè)量強(qiáng)度P，得到態(tài)

(12)

隨后，經(jīng)過(guò)振幅阻尼量子信道，同樣假設(shè)三個(gè)量子信道具有相同的退相干強(qiáng)度λ，從而得到密度矩陣

(13)

(14)

得到經(jīng)過(guò)弱測(cè)量和量子測(cè)量翻轉(zhuǎn)后的量子系統(tǒng)密度矩陣

(15)

(16)

為直觀起見，我們繪制可視化圖像做進(jìn)一步分析，如圖1所示。圖1(a)為弱測(cè)量和量子測(cè)量翻轉(zhuǎn)前糾纏態(tài)的糾纏度隨角度θ和退相干強(qiáng)度λ的變化；圖1(b)為弱測(cè)量和量子測(cè)量翻轉(zhuǎn)后糾纏度隨角度θ和弱測(cè)量強(qiáng)度P的變化(假設(shè)振幅阻尼量子信道的退相干強(qiáng)度為λ=0.5)。

由圖1可知，未進(jìn)行弱測(cè)量和量子測(cè)量翻轉(zhuǎn)前，糾纏度依賴于量子態(tài)參數(shù)θ和信道強(qiáng)度λ。λ越大，退相干程度越大，當(dāng)λ達(dá)到1時(shí)，F(xiàn)123=0，初始糾纏態(tài)的糾纏特性消失。經(jīng)過(guò)弱測(cè)量和量子翻轉(zhuǎn)測(cè)量后，量子系統(tǒng)的糾纏度明顯上升，且始終高于未加弱測(cè)量和量子測(cè)量翻轉(zhuǎn)的量子態(tài)，當(dāng)弱測(cè)量強(qiáng)度P達(dá)到1時(shí)，糾纏態(tài)恢復(fù)到未進(jìn)行退相干時(shí)的糾纏度F123=0.8889。

圖1 弱測(cè)量和量子測(cè)量翻轉(zhuǎn)前后糾纏態(tài)|φ〉abc的糾纏度變化圖

為進(jìn)一步表明相對(duì)于初態(tài)|φ〉abc，加入弱測(cè)量和量子測(cè)量翻轉(zhuǎn)前后糾纏態(tài)的還原程度，我們計(jì)算保真度

(17)

其中，ρ表示量子系統(tǒng)經(jīng)過(guò)退相干信道演化后的密度矩陣。當(dāng)系統(tǒng)未進(jìn)行弱測(cè)量和量子測(cè)量翻轉(zhuǎn)時(shí)，量子系統(tǒng)的保真度為

(18)

當(dāng)進(jìn)行弱測(cè)量和量子測(cè)量翻轉(zhuǎn)后，量子系統(tǒng)的保真度為

(19)

此時(shí)，將信道退相干強(qiáng)度設(shè)置為λ=0.5，我們得到弱測(cè)量和量子測(cè)量翻轉(zhuǎn)前后糾纏態(tài)的保真度如圖2所示。

圖2 弱測(cè)量和量子測(cè)量翻轉(zhuǎn)前后糾纏態(tài)|φ〉abc的保真度變化圖

由圖2可知，保真度隨振幅阻尼強(qiáng)度λ的增加而下降。當(dāng)量子態(tài)處于無(wú)噪聲的理想環(huán)境下，即振幅阻尼量子信道的強(qiáng)度λ為0時(shí)，不會(huì)對(duì)糾纏態(tài)造成退相干影響，保真度仍為1；當(dāng)振幅阻尼強(qiáng)度λ達(dá)到1時(shí)，部分糾纏態(tài)保真度降為0，且對(duì)于不同參數(shù)的量子態(tài)，退相干效果不同。經(jīng)過(guò)弱測(cè)量和量子測(cè)量翻轉(zhuǎn)后，糾纏態(tài)的保真度有了顯著提高，當(dāng)θ一定時(shí)，弱測(cè)量強(qiáng)度越大，保真度越高，甚至當(dāng)弱測(cè)量強(qiáng)度達(dá)到1時(shí)，保真度可恢復(fù)到1。

通過(guò)計(jì)算量子態(tài)的糾纏度和保真度表明，在振幅阻尼量子信道中傳輸糾纏態(tài)|φ〉abc，弱測(cè)量和量子測(cè)量翻轉(zhuǎn)方法確實(shí)能夠保護(hù)糾纏態(tài)，減小退相干影響。

3 結(jié)論

(1) 通過(guò)弱測(cè)量對(duì)量子系統(tǒng)的初始狀態(tài)應(yīng)用Kraus算子，將系統(tǒng)部分|1〉態(tài)坍縮成|0〉態(tài)，然后對(duì)經(jīng)過(guò)振幅阻尼信道傳輸后的量子態(tài)應(yīng)用相應(yīng)的測(cè)量翻轉(zhuǎn)將部分|0〉態(tài)恢復(fù)成|1〉態(tài)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)糾纏特性的保護(hù)。

(2) 根據(jù)弱測(cè)量和量子測(cè)量翻轉(zhuǎn)前后量子系統(tǒng)的密度矩陣，計(jì)算相應(yīng)糾纏度F123與保真度F。結(jié)果表明，弱測(cè)量和量子測(cè)量翻轉(zhuǎn)方法對(duì)保護(hù)糾纏態(tài)減少退相干的影響具有顯著效果，且弱測(cè)量強(qiáng)度越大，糾纏態(tài)受到退相干的影響會(huì)越小。