許雷波 金佳美

[摘? 要] 文章在對文[1]所述測試題和測試結(jié)果進行深入反思的基礎(chǔ)上，提出要實現(xiàn)激發(fā)學(xué)生興趣、促進學(xué)生發(fā)展的目標(biāo)，在單元整體設(shè)計的基礎(chǔ)上嘗試深度學(xué)習(xí)是一條有效路徑. 文章結(jié)合高中數(shù)學(xué)“中點弦問題”的教學(xué)案例，指出了平時教學(xué)中存在的問題，提出了具體可操作的建議和實施方案.

[關(guān)鍵詞] 整體設(shè)計;深度學(xué)習(xí);素養(yǎng)提升

[?]緣由

文[1]指出：2017屆廈門市高三第一次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）選擇題第12題的得分率極低（全市平均分不到0.1分），由于命題專家給出的只是答案，沒有給出具體的解答過程，使得不少教師都束手無策，直到試卷講評時都不知道該如何進行解答. 為此，作者回歸教材，從命題角度闡述了此題由來，剖析了得分率極低的原因. 文[1]娓娓道來，一氣呵成，讀后深受啟發(fā)，被作者深厚的數(shù)學(xué)功底與文學(xué)素養(yǎng)所折服. 同時也促使筆者進行了思考，教學(xué)中應(yīng)做出怎樣的改變，才能從容面對并突破此類問題，提高學(xué)習(xí)成績，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，進而形成學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)呢？帶著這樣的疑問，筆者開始了探索. 在實踐中發(fā)現(xiàn)，教育部基礎(chǔ)教育課程教材發(fā)展中心、課程教材研究所于2019年12月12日聯(lián)合舉辦的“第六屆全國基礎(chǔ)教育課程教學(xué)改革研討會暨深度學(xué)習(xí)教學(xué)改進項目成果交流會”中倡導(dǎo)的深度學(xué)習(xí)是一個很好的思路;首都師范大學(xué)劉曉玫老師于2020年在浙江省教育廳舉辦的“新課程關(guān)鍵問題解決”培訓(xùn)中作的《數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)與單元教學(xué)設(shè)計案例分析》報告給我們指明了方向：開展基于深度學(xué)習(xí)的單元整體教學(xué). 文章現(xiàn)以高中解析幾何中的“中點弦問題”為例，談?wù)劰P者的一些想法.

[?]教學(xué)分析

高中解析幾何中，圓、橢圓、雙曲線、拋物線均有涉及與中點弦有關(guān)的問題，在歷年高考與模擬考中這一類試題也為數(shù)不少. 文[1]所說的測試題歸根結(jié)底也是與中點弦有關(guān)的問題，之所以會出現(xiàn)如文[1]提到的測試結(jié)果，其中一個方面的原因就是在教學(xué)中沒有對中點弦問題進行單元整體設(shè)計，缺乏深度學(xué)習(xí). 那么在中點弦問題的教學(xué)中，具體該怎么做呢？筆者以為，在圓的教學(xué)中，涉及與中點弦有關(guān)的問題時就應(yīng)著重引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會解題的基本方法，如待定系數(shù)法、點差法，感悟運用幾何性質(zhì)在解題中的便捷性;在橢圓、雙曲線、拋物線的教學(xué)中涉及與中點弦有關(guān)的問題時可以類比圓的處理方法，著重讓學(xué)生體會類比思想方法;而在章節(jié)復(fù)習(xí)課中，對中點弦問題的處理就不能僅僅著眼于基本方法的復(fù)習(xí)，而要在回顧基本方法的同時通過重點挖掘圓錐曲線之間的聯(lián)系，在教師的引導(dǎo)下自主探究發(fā)現(xiàn)知識間內(nèi)在的聯(lián)系與規(guī)律，發(fā)現(xiàn)在橢圓、雙曲線中也有如圓的垂徑定理，形成新的知識結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)思維圖式的重構(gòu)，促進學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的深度理解. 下面以中點弦問題的章節(jié)復(fù)習(xí)為例，進行具體闡述.

[?]教學(xué)設(shè)計

1. 創(chuàng)設(shè)情境，復(fù)習(xí)回顧

引例 已知AB為圓x2+y2=16的一條弦，P（1，-1）為AB的中點，求弦AB所在直線的方程. 若P的坐標(biāo)為（0，1）呢？

設(shè)計意圖：通過引例回顧處理中點弦問題的具體方法：方法1——待定系數(shù)法，設(shè)弦AB所在的直線方程為y+1=k（x-1），然后聯(lián)立直線方程與圓方程，利用P（1，-1）為AB的中點求解. 方法2——點差法，設(shè)A（x，y），B（x，y），將A，B的坐標(biāo)代入圓方程x2+y2=16后相減求解. 方法3——利用垂徑定理代數(shù)化表示為k·k=-1求解，注意事項：考慮斜率是否存在;基本思想：數(shù)形結(jié)合.

2. 適時變式，引導(dǎo)探究

師：如果把圓方程x2+y2=16變?yōu)闄E圓方程x2+4y2=16，其余條件不變，如何求解？得到：

例1 已知AB為橢圓x2+4y2=16的一條弦，P（1，-1）為AB的中點，求弦AB所在直線的方程和橢圓的離心率.

設(shè)計意圖：通過變式求解，讓學(xué)生熟悉并掌握解題的基本方法，達(dá)到“知一題會一類”的效果. 同時，讓學(xué)生在解題中回顧并發(fā)現(xiàn)引例中的方法1和方法2是可以用來解決例1的，方法3則不行，為接下來的探究打下鋪墊. 例1中離心率的計算可以起到兩個作用，一是回顧復(fù)習(xí)，二是讓學(xué)生的思維能夠自然地進行過渡，然后思考以下兩個問題：橢圓離心率的范圍是多少？離心率與橢圓的形狀有什么關(guān)系？在學(xué)生思考回答的基礎(chǔ)上通過幾何畫板進行演示，讓學(xué)生直觀感受到離心率變小到0時，橢圓就成了圓，由此想到橢圓與圓存在著一定的聯(lián)系. 在教師的引導(dǎo)下主動思考：方法1、方法2、方法3在解決與圓相關(guān)的中點弦問題時，方法3最簡單，但這個最簡單的方法卻不能用于解決橢圓的中點弦問題. 原因是圓有垂徑定理可以代數(shù)化表示為k·k=-1，可橢圓卻沒有，若有就可以使用方法3了，這樣就簡單多了. 聯(lián)想到剛才幾何畫板的直觀演示，猜想橢圓可能也有類似于圓的垂徑定理的代數(shù)化表示，而且與離心率相關(guān)，從而激發(fā)學(xué)生心中強烈的探究欲望.

3. 探索實踐，發(fā)現(xiàn)結(jié)論

師：圓的垂徑定理可以代數(shù)化表示為k·k=-1，如果橢圓中也有類似的結(jié)論，那么結(jié)論應(yīng)是怎樣的呢？

從而得到要探索的問題：

例2 如圖1所示，已知AB為橢圓+=1（a>0，b>0）的一條弦，M為AB的中點，O為坐標(biāo)原點，求k·k的值.

受上述的啟示，學(xué)生應(yīng)用方法1或方法2進行解答. 經(jīng)初步嘗試，發(fā)現(xiàn)方法2比方法1簡單.

解：（方法2）設(shè)A（x，y），B（x，y），AB的中點M（x，y），所以

x

=，

y

=，由①-②得+=0，所以k==-，k=，所以k·k=-==e2-1.

設(shè)計意圖：教學(xué)中，對“四基四能”的培養(yǎng)是學(xué)生形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑，而上述內(nèi)容是培養(yǎng)學(xué)生提出問題、探索結(jié)論的好素材. 我們應(yīng)該抓住這個契機，引導(dǎo)學(xué)生猜想橢圓中k·k也是一個定值，而且是一個與離心率有關(guān)的式子，從中激發(fā)學(xué)生的探索興趣，積極運用分析、推理、證明等高階思維進行深度學(xué)習(xí).08AA3884-264E-415B-A096-A806850E2679

師：類似的，雙曲線、拋物線中有無類似的結(jié)論呢？

練習(xí)1：已知AB為雙曲線-=1（a>0，b>0）的一條弦，M為AB的中點，O為坐標(biāo)原點，求k·k的值.

練習(xí)2：已知AB為拋物線y2=2px（p>0）的一條弦，M為AB的中點，O為坐標(biāo)原點，求k·k的值.

師：從剛才的探索中發(fā)現(xiàn)，無論是橢圓還是雙曲線都有類似于圓的垂徑定理的代數(shù)化表示，即k·k=e2-1. 從幾何畫板的演示中發(fā)現(xiàn)，e變成0時橢圓成了圓，而上述式子中e=0時得到的k·k=-1正是圓的垂徑定理的代數(shù)化表示，數(shù)學(xué)真奇妙、真美！

設(shè)計意圖：從整體的角度去探索發(fā)現(xiàn)圓錐曲線中統(tǒng)一的結(jié)論與規(guī)律，讓學(xué)生形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成類意識，能更好地掌握知識，為下一步的運用打下基礎(chǔ). 同時體會數(shù)學(xué)聯(lián)系之美、簡潔之美，體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價值，激發(fā)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的興趣與信心.

4. 嘗試應(yīng)用，體驗成功

師：下面請大家嘗試用方法3解決例3.

例3 過橢圓x2+4y2=16內(nèi)一點P（1，1）作一直線m，求：（1）若直線m被橢圓截得的線段恰好被點P平分，求直線m的方程;（2）求直線m被橢圓截得的線段中點的軌跡方程.

（此處解略）

師：通過練習(xí)，我們發(fā)現(xiàn)剛才探索到的結(jié)論很有用，應(yīng)用這一結(jié)論，解題就方便快捷了許多. 下面請大家繼續(xù)嘗試用方法3解決下面的問題.

例4 （文[1]所指“2017屆廈門市高三第一次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試題第12題”）已知雙曲線-=1（a>0，b>0），過x軸上點P的直線l與雙曲線右支相交于M，N（M在第一象限），直線MO交雙曲線左支于Q（O為坐標(biāo)原點），連接QN. 若∠MPO=60°，∠MNQ=30°，則雙曲線的離心率e為（? ）

A.? B.? C. 2 D. 4

解：如圖3所示，取弦MN的中點R，連接OR，顯然OR為△MNQ的中位線，則有∠MRO=∠MNQ=30°，注意到∠MPO=60°，可得∠POR=30°，所以直線OR的傾斜角為150°. 又弦MN所在直線的傾斜角為120°，所以由k·k=e2-1得tan120°·tan150°=e2-1，即1=e2-1，所以e=.

設(shè)計意圖：讓學(xué)生在解題實踐中去享受成功，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣與積極性，樹立應(yīng)用意識，同時提高學(xué)生的解題能力，提升其數(shù)學(xué)素養(yǎng). 尤其是例4，在學(xué)生解決問題得到答案后，教師及時指出這一題在廈門市高三第一次質(zhì)檢中的結(jié)果——得分率極低，全市平均分不到0.1分，說明此題有一定難度，但他們自己獨立做出來了，真不簡單.

筆者曾經(jīng)嘗試，讓兩位高三學(xué)生來解此題. 一位來自省一級重點中學(xué)且數(shù)學(xué)成績位于班級前10，解題時不加提示，結(jié)果她沒有解出來. 另一位來自一般中學(xué)，平時的數(shù)學(xué)成績在80分左右（總分為150分），但在其做題前做了如上所示的鋪墊，結(jié)果這位學(xué)生做出來了，使其感到了數(shù)學(xué)的神奇，重新樹立了學(xué)好數(shù)學(xué)的自信.

5. 總結(jié)歸納，梳理提升

師：這節(jié)課你學(xué)會了什么？如何學(xué)的？學(xué)習(xí)中運用了哪些思想與策略？圓中還有什么性質(zhì)？橢圓中是否也有相應(yīng)的性質(zhì)呢？

設(shè)計意圖：通過對學(xué)習(xí)過程與方法的回顧，達(dá)到以下幾個目標(biāo).

（1）從知識角度來看，形成一個新的知識結(jié)構(gòu)：圓、橢圓、雙曲線有一個統(tǒng)一的結(jié)論（焦點均在x軸上時）：k·k=e2-1. 圓正是e=0時的情形.

（2）從方法層面來看，能從知識間的聯(lián)系角度去思考并提出問題、解決問題. 體會觀察、類比、猜想、數(shù)形結(jié)合等思想方法， 提高推理和解決問題的能力.

（3）拓展. 通過最后兩問：“圓中還有什么性質(zhì)？橢圓中是否也有相應(yīng)的性質(zhì)呢？”讓學(xué)生舉一反三，學(xué)會并應(yīng)用本節(jié)課的研究方法，進一步完善已有的知識結(jié)構(gòu)，猜想并指出如下的結(jié)論，滿足學(xué)生的好奇心和探究的欲望，形成更完備的知識體系.

結(jié)論1：如圖5所示，若AB為圓x2+y2=r2的一條直徑，P為此圓上一個點，則k·k=-1;類似的，若AB為橢圓+=1（a>0，b>0）的一條直徑，P為橢圓上一點，則k·k=e2-1.

結(jié)論2：如圖6所示，若O為圓x2+y2=r2的圓心，l為過圓上一點P的切線，則k·kl=-1;類似的，若O為橢圓+=1（a>0，b>0）的中心，l為過橢圓上一點P的切線，則k·kl=e2-1.

[?]實踐感悟

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2007年版）》指出：高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本，以落實立德樹人為根本任務(wù). 在實踐中，我們發(fā)現(xiàn)，要實施這一理念，整體設(shè)計是前提，深度學(xué)習(xí)是路徑，素養(yǎng)提升是目標(biāo).

1. 整體設(shè)計是前提

我們知道，現(xiàn)在要成為一名教師，至少要大學(xué)本科畢業(yè)，需要經(jīng)過層層選拔與考試，優(yōu)勝者才可以. 至于高中的新教師，許多人的學(xué)歷是碩士及以上. 進入教師隊伍后，還要參加新教師試用期培訓(xùn)、教師專業(yè)發(fā)展培訓(xùn)等. 目的就是要讓教師有系統(tǒng)的學(xué)科知識、完整的教育理論，能根據(jù)教材與學(xué)生的實際情況進行整體設(shè)計與教學(xué). 因此，教師教學(xué)源于自身對教材與學(xué)生的理解，能對知識的邏輯體系、層次、學(xué)生的學(xué)情進行有效的重組，能更有效地在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)開展教學(xué)，激發(fā)其興趣，培養(yǎng)其理性精神與思維. 在以前的教學(xué)中，教材由于篇幅限制沒有介紹橢圓、雙曲線中類似圓的垂徑定理，許多人（包括筆者自己）并不知道有這樣一個定理，教學(xué)中照本宣科，沒有進行整體的設(shè)計與思考. 不僅失去了一個很好培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題、提升理性思維的機會，而且使學(xué)生陷入了“題海戰(zhàn)術(shù)”之中，不利于解題能力提升. 因此，教師掌握系統(tǒng)的專業(yè)知識，對教材進行整體設(shè)計，是實施有效教學(xué)、提升學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的前提，具有很強的必要性.08AA3884-264E-415B-A096-A806850E2679

2. 深度學(xué)習(xí)是路徑

所謂深度學(xué)習(xí)，指在教師的引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心地積極參與體驗成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程. 在這個過程中，幫助學(xué)生掌握學(xué)科的核心知識，理解學(xué)習(xí)過程，把握學(xué)科的本質(zhì)及思想方法，形成積極的內(nèi)在學(xué)習(xí)動機、高級的社會性情感、積極的態(tài)度、正確的價值觀. 而數(shù)學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生理性精神與思維能力的學(xué)科，要達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)，教學(xué)中不能僅僅依靠記憶、理解，而是需要觀察、分析、推理、探究等高階思維的介入，需要教師在教學(xué)中根據(jù)學(xué)生的學(xué)情和教材創(chuàng)設(shè)合適的情境，激發(fā)和滿足學(xué)生內(nèi)在探究與發(fā)現(xiàn)問題的欲望，從中體驗成功，形成正確的價值觀. 所以深度學(xué)習(xí)是實現(xiàn)預(yù)期目標(biāo)的有效途徑. 在本節(jié)課的教學(xué)中，教材是沒有現(xiàn)成內(nèi)容的，需要教師根據(jù)自己豐富的專業(yè)知識，合理地進行組織與設(shè)計，從中去訓(xùn)練學(xué)生的思維，上述做法就較好地體現(xiàn)了這一點：在優(yōu)化意識的主導(dǎo)下，針對圓的垂徑定理的代數(shù)化表示，能較好地解決圓的中點弦問題的事實，及時聯(lián)想到橢圓與圓之間的關(guān)系——當(dāng)橢圓的離心率變成0時，橢圓就變成了圓. 說明圓是橢圓的特殊形狀，圓有垂徑定理的代數(shù)化表示，橢圓很可能也有，而且與離心率相關(guān). 由此進行探索與思考，過程中充分展開了分析、推理等高階思維活動，有效地進行了深度學(xué)習(xí). 通過推導(dǎo)得出結(jié)論后，教師及時引導(dǎo)學(xué)生進行了應(yīng)用，讓學(xué)生體驗到了探索的價值，不僅提高了學(xué)生的解題能力，而且提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的意識與能力，不知不覺中也提高了學(xué)生的素養(yǎng).

3. 素養(yǎng)提升是目標(biāo)

在實踐中，針對此課例，存在著不同程度的兩大教學(xué)誤區(qū)：一是教師自身業(yè)務(wù)水平的限制，知識面不廣，專業(yè)素養(yǎng)不精，不知道橢圓與雙曲線中也有類似圓的垂徑定理的代數(shù)化表示，由此在教學(xué)中照本宣科. 二是教師知道有這樣的一個結(jié)論，卻因教學(xué)時間的限制和擔(dān)心學(xué)生的基礎(chǔ)知識不足，教學(xué)中放棄引導(dǎo)學(xué)生去探究、發(fā)現(xiàn)，直接告訴學(xué)生結(jié)論，然后應(yīng)用結(jié)論，當(dāng)前社會上的一些培訓(xùn)班就是如此. 在第一種教學(xué)中，教師對知識沒有進行有效拓展，教學(xué)深度不夠，教學(xué)中缺少有效的探索過程和成功的體驗，學(xué)生沒能形成系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu). 由于學(xué)習(xí)中缺少高階思維的思考過程，培養(yǎng)不出優(yōu)秀的學(xué)生. 第二種教學(xué)的目的完全是應(yīng)試，具有很強的功利性，把學(xué)生當(dāng)作了一個工具，幾年過去后，學(xué)生就會遺忘這種知識，而教學(xué)中能力與方法又沒有形成，等于是誤人子弟. 我們知道，教育的目的是育人，從小的方面來講，是為了讓學(xué)生獲得技能，能勝任一份工作;從大的方面來講，是為了促進學(xué)生能終生發(fā)展. 要達(dá)到這一目標(biāo)，依靠的是學(xué)生素養(yǎng)的提升，而不僅是考試成績. 針對教學(xué)中的誤區(qū)，國務(wù)院辦公廳在2019年印發(fā)了《關(guān)于新時代推進普通高中育人方式改革的指導(dǎo)意見》，明確提出教育的根本任務(wù)是落實立德樹人，要深化考試命題改革，堅決扭轉(zhuǎn)片面應(yīng)試教育傾向，切實提高育人水平，促進學(xué)生發(fā)展，提高學(xué)生素養(yǎng)，為學(xué)生適應(yīng)社會生活、接受高等教育和未來職業(yè)發(fā)展打好基礎(chǔ). 教育部考試中心于2020年1月發(fā)布的《中國高考評價體系》和《中國高考評價體系說明》進一步對考試評價這一層面進行了規(guī)范，提出了要求，使學(xué)生的發(fā)展、素養(yǎng)的提升、最終實現(xiàn)立德樹人的目標(biāo)變得更加現(xiàn)實和可能.

參考文獻：

[1]? 王淼生，吳衛(wèi)軍. 一道得分很低的質(zhì)檢題引發(fā)的思考[J]. 數(shù)學(xué)通訊，2017（18）：50-53.08AA3884-264E-415B-A096-A806850E2679