含Ⅰ型中心裂紋板修補結(jié)構(gòu)的應力強度因子計算

◎趙星 重慶交通大學航運與船舶工程學院

1.引言

船舶是海上運輸?shù)闹匾煌üぞ?，其安全性受到了廣泛重視。由于海洋環(huán)境的復雜多變性，船舶在波浪中航行時受載情況經(jīng)常發(fā)生變化，這使船體結(jié)構(gòu)長期處于交變應力狀態(tài)，易于萌生疲勞裂紋。而嚴重影響船體結(jié)構(gòu)安全的裂紋主要出現(xiàn)在船體甲板上，對于這種船舶甲板開裂情況，若不及時采取措施阻止裂紋的擴展，將會導致船體結(jié)構(gòu)突然發(fā)生斷裂，導致重大災難事故的發(fā)生，2009年巴拿馬籍油輪，2013年商船三井（MOL）號集裝箱船的斷裂就是因為疲勞裂紋的擴展導致的，為了保證船舶的安全運行，對裂紋損傷部位進行及時合理的修復是很有必要的。

現(xiàn)有一種碳纖維增強復合材料(Ca rbon Fiber Rein forced Polymer，簡稱CFRP)，具有重量輕強度高、抗疲勞和耐久性好、可設計性強等優(yōu)點，已被廣泛應用于飛機結(jié)構(gòu)、混凝土、鋼結(jié)構(gòu)等的修復中，但總體上來說，主要集中在結(jié)構(gòu)的加固、改造和補強中。

應力強度因子是表征外力作用下彈性物體裂紋尖端附近應力場強度的一個參量。在含裂紋結(jié)構(gòu)進行強度評估中，不能僅使用常規(guī)的強度準則；斷裂力學中提出了應力強度因子的概念，即裂紋端部應力強度由應力強度因子度量，能很好的評估裂紋結(jié)構(gòu)的強度，因此在CFRP修復含裂紋結(jié)構(gòu)中，要評估開裂結(jié)構(gòu)的強度以及對裂紋的修復效果，需要計算裂紋尖端的應力強度因子，在裂紋板修補結(jié)構(gòu)中的裂紋尖端應力強度因子有效的計算方法在此顯得尤為重要。

2.國內(nèi)外研究現(xiàn)狀

對于復合材料修復結(jié)構(gòu)應力強度因子的計算，在解析方法中，Erdogan等人考慮了膠層的彈塑性變形，采用復變函數(shù)方法分析了膠接修復結(jié)構(gòu)的應力強度因子。Rose假設所有材料是線彈性，根據(jù)等效夾雜法推導出了修復結(jié)構(gòu)應力強度因子的解析解。陳家權(quán)介紹了位移法的基本理論，并通過位移法理論計算公式求解了裂紋板裂紋尖端的應力強度因子說明了使用ANSYS計算應力強度因子的可用性；ROSE和Wang利用數(shù)值方法求解應力強度因子，以此為基礎建立了關(guān)于應力減小修正因子的插值函數(shù)，能簡潔有效計算應力強度因子。王海濤等人考慮裂紋長度變化的小尺寸裂紋建立了求解雙邊修補的裂紋應力強度因子求解公式。歐陽煜等人利用疊加原理導出了纖維增強復合材料(Fiber Reinforced Polymer，簡稱FRP)加固中心穿透裂紋板應力強度因子的解析表達式。穆志韜等人通過超奇異積分給出了應力強度因子的解法。

本文采取有限元模型計算和理論計算方法分別對矩形補片雙面修補的含Ⅰ型裂紋板的裂紋尖端應力強度因子進行計算，由于各向同性板可以看成是特殊情況的各項異性板，本文對補片采用各向同性材料進行分析，且不考慮粘結(jié)層的脫粘。研究的模型參數(shù)為：裂紋板彈性模量為2.06E5MPa,泊松比為0.3，板長100mm,板寬32mm,，板厚為3mm；膠層彈性模量為2.9E3MPa,泊松比為0.3，膠層長60 mm，寬32mm,厚0.1mm；補片彈性模量為1.362E5MPa,泊松比為0.3，補片長60mm,寬32mm，厚1.5mm；模型單元采用SOLID185單元，裂紋半長分別取2～8mm進行計算。

3.ANSYS建模計算

采用ansys有限元軟件對矩形補片雙面修補裂紋板模型進行建模，由于裂紋板結(jié)構(gòu)具有對稱性，因此采用ansys APDL對模型板厚方向上半部分的1/2結(jié)構(gòu)進行建模，就是整體模型的1/4，在Y坐標為0和Z坐標為0的對稱面上施加對稱邊界，需要注意的是由于裂紋尖端具有奇異性，所以在裂紋尖端附近需要建立奇異網(wǎng)格，要使裂紋尖端臨近節(jié)點向尖端節(jié)點移動1/4間距。

Ansys軟件帶有計算應力強度因子的功能，是采取位移法進行計算，位移法是通過提取裂紋尖端部分節(jié)點的位移進行計算，所以需要提取裂紋尖端附近節(jié)點的節(jié)點編號，定義裂紋路徑，首先通過APDL語言快速建立好模型之后，便可以在軟件后處理里面通過節(jié)點計算功能，定義裂紋路徑，計算裂紋尖端應力強度因子，該功能也可以使用APDL語言實現(xiàn)，使用path命令定義路徑，使用KCALC命令計算應力強度因子，取裂紋半長為8mm時的有限元模型進行展示如圖1所示，通過對裂紋半長a分別為2～8mm的工況進行計算，得到計算結(jié)果如表1所示表所示。

圖1 有限元模型

表1 ANSYS計算結(jié)果

4.位移法理論計算

該方法是通過提取裂紋附近的節(jié)點位移和坐標如圖2所示，通過位移外推法求得參數(shù)A，之后帶入計算公式（1）或（2）,計算裂紋尖端應力強度因子，裂紋尖端附近節(jié)點的位移可以通過建立限元模型計算完成之后進行：

圖2 提取裂紋尖端及附近位移的節(jié)點（a.半裂紋模型 b.全裂紋模型）

提取ANSYS模型計算得到的裂紋尖端節(jié)點位移信息帶到位移法理論計算公式中進行計算得到計算結(jié)果如表2所示。

表2 位移法公式計算結(jié)果

5.ROSE計算解

根據(jù)ROSE計算修補之后的有限長度裂紋板應力強度因子的一般公式如公式（3）所示：

F 為修補后應力強度因子減小因子。

Rose根據(jù)其在文獻[9]中提供的數(shù)值結(jié)果建立了插值函數(shù)F

（4）式帶入（3）式可得：

σ是未開裂裂紋板上應力

σ是裂紋板遠端拉應力

B:補片寬度

A：補片長度

S：剛度比

針對Y 方向單向拉伸情況，λ取0。

通過理論計算公式（3）得到應力強度因子如表3所示。

表3 Rose法計算結(jié)果

6.王海濤所引用方法

王海濤在文獻中給出了CFRP矩形補片雙面修補含中心Ⅰ型裂紋有限板的裂紋尖端應力強度因子計算公式為：

根據(jù)公式（11）計算裂紋尖端的應力強度因子得到計算結(jié)果見表4。

表4 王海濤所用公式計算結(jié)果

對位移法公式計算結(jié)果、ROSE計算公式、王海濤所用計算公式的計算結(jié)果與ANSYS建模分別在平面應力和平面應變條件下計算得到結(jié)果進行對比，與ANSYS在平面應力條件下計算結(jié)果對比如表5所示，與ANSYS在平面應變條件下計算結(jié)果對比如表6所示。

通過表5和表6可以得知ANSYS與位移法公式計算結(jié)果分別在平面應變和平面應力條件下的誤差都很小，不超過1%；ANSYS在平面應變條件下的計算結(jié)果與ROSE計算公式、王海濤所用計算公式得到的結(jié)果對比，誤差較大，均超過8%；ANSYS在平面應力條件下的結(jié)果與ROSE計算公式、王海濤所用計算公式得到的結(jié)果對比，誤差較小，均在5%以內(nèi)，其中王海濤所用計算公式得到的結(jié)果誤差稍大一點，最大誤差4.29%，ROSE計算公式得到的結(jié)果與有限元建模計算得到的結(jié)果誤差均小于1%。

表5 平面應力條件下計算結(jié)果對比

表6 平面應變條件下計算結(jié)果對比

7.結(jié)論

（1）文章采用的幾種計算方法均可以得到較為一致的計算結(jié)果，王海濤所用計算公式精度相比于其他方法略低一點。

（2）ANSYS軟件通過位移法計算解與位移法公式計算得到的應力強度因子誤差很小，表明ANSYS采用位移法計算得到的應力強度因子解是有效的。

（3）ANSYS通過位移法計算得到的平面應力條件下的應力強度因子與ROSE計算公式、王海濤所用計算公式誤差更小吻合度更高，因此采用平面應力條件下的計算結(jié)果較好。

（4）對中心裂紋板修補結(jié)構(gòu)的應力強度因子求解，采用ANSYS建模計算的結(jié)果可靠性較好，可以采用該方法繼續(xù)進一步研究補片參數(shù)變化對用力強度因子影響等問題。