張 源，張 冉，李惠峰

(北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100191)

0 引 言

高超聲速飛行器具有機(jī)動突防能力強(qiáng)、全球快速響應(yīng)等特點(diǎn)，已成為各國軍事上關(guān)注的焦點(diǎn)。在再入滑翔段，高超聲速飛行器需滿足復(fù)雜的約束條件，禁飛區(qū)屬于一種路徑約束，禁飛區(qū)數(shù)量越多分布越復(fù)雜，軌跡規(guī)劃的難度就越大。

在復(fù)雜禁飛區(qū)任務(wù)中，任務(wù)規(guī)劃是一個包含決策層和物理層規(guī)劃的混合問題。決策層指的是路徑規(guī)劃，即選擇禁飛區(qū)的規(guī)避路線；物理層指的是軌跡規(guī)劃，即設(shè)計(jì)高超聲速動力學(xué)來滿足再入飛行的各類約束?，F(xiàn)有研究大都是針對物理層的，通過軌跡優(yōu)化或設(shè)計(jì)橫向制導(dǎo)邏輯規(guī)避禁飛區(qū)。在軌跡優(yōu)化方面，主要包括偽譜法、凸優(yōu)化、啟發(fā)式算法等方法。原理是將禁飛區(qū)約束引入軌跡優(yōu)化最優(yōu)控制問題中，并用上述數(shù)值優(yōu)化算法求解。前兩種方法局部最優(yōu)性和收斂性好，但由于禁飛區(qū)約束的強(qiáng)非凸性，算法多依賴于初始猜想。而啟發(fā)式算法在全局搜索方面具有優(yōu)勢，但求解效率低下，難以實(shí)際應(yīng)用。在橫向制導(dǎo)邏輯設(shè)計(jì)方面，方法主要包括觸角法、人工勢場法、傾側(cè)角符號反轉(zhuǎn)法等。原理是在任務(wù)初值設(shè)定的前提下，基于上述方法使飛行器橫向機(jī)動，從而規(guī)避禁飛區(qū)。在橫向制導(dǎo)邏輯基礎(chǔ)上，閉環(huán)制導(dǎo)律具有良好的可解釋性和魯棒性，在工程中應(yīng)用廣泛。為了提升閉環(huán)反饋的實(shí)時性，有學(xué)者通過推導(dǎo)解析解的方式設(shè)計(jì)制導(dǎo)律。Yu等以能量為自變量，推導(dǎo)了滑翔彈道解析公式，并基于該公式規(guī)劃傾側(cè)角符號的反轉(zhuǎn)序列，使飛行器能夠規(guī)避多禁飛區(qū)。但當(dāng)飛行器進(jìn)行大范圍橫向機(jī)動時，動力學(xué)非線性強(qiáng)，解析公式往往誤差較大。

上述兩類方法在針對復(fù)雜禁飛區(qū)規(guī)避任務(wù)時均存在問題。由于高超聲速飛行器在任務(wù)規(guī)劃時有多種繞飛路線選擇，而軌跡優(yōu)化方法強(qiáng)依賴于初始猜想，橫向制導(dǎo)設(shè)計(jì)依賴任務(wù)初值設(shè)定，不具備決策能力。因此，本文將決策層的路徑規(guī)劃引入軌跡規(guī)劃中，提出了復(fù)雜禁飛區(qū)路徑-軌跡雙層規(guī)劃模型，通過組合優(yōu)化的方式，使算法不依賴任務(wù)初值，提升軌跡的全局性能。然而，高超聲速動力學(xué)具有強(qiáng)非線性，路徑與軌跡規(guī)劃之間往往是強(qiáng)耦合的，計(jì)算復(fù)雜度高，難以直接求解，因此如何對雙層規(guī)劃進(jìn)行解耦協(xié)調(diào)是求解該問題的主要難點(diǎn)。

本文將上述耦合問題簡化為兩層進(jìn)行快速求解，上層為路徑規(guī)劃，下層為軌跡規(guī)劃。對于上層規(guī)劃，基于圖建模將路徑規(guī)劃轉(zhuǎn)化為有向圖搜索問題，搜索路徑的評價(jià)指標(biāo)根據(jù)一種路徑點(diǎn)跟蹤制導(dǎo)律仿真計(jì)算得到，仿真采用簡化的動力學(xué)替代軌跡規(guī)劃，實(shí)現(xiàn)雙層規(guī)劃的解耦。對于下層規(guī)劃，由于引入了路徑點(diǎn)信息，軌跡規(guī)劃模型具有能夠分段解耦橫縱向動力學(xué)的優(yōu)點(diǎn)，因此解析推導(dǎo)了橫縱向飛行剖面，每段橫程范圍小，減小了解耦誤差，提出了大范圍橫向機(jī)動的高超聲速飛行器半解析在線軌跡規(guī)劃方法。本文實(shí)現(xiàn)了物理層與決策層的融合規(guī)劃，提高了軌跡的全局性能，對提升飛行器的自主決策能力具有指導(dǎo)意義。

1 高超聲速飛行器復(fù)雜禁飛區(qū)規(guī)避路徑-軌跡雙層規(guī)劃問題建模

考慮高超聲速飛行器在再入滑翔段具有大范圍的橫向機(jī)動能力，可以根據(jù)不同路徑進(jìn)行禁飛區(qū)規(guī)避。上層規(guī)劃根據(jù)禁飛區(qū)的分布構(gòu)型布置路徑點(diǎn)，從能量較優(yōu)的角度優(yōu)選路徑點(diǎn)序列，進(jìn)行路徑規(guī)劃。下層規(guī)劃則基于上層規(guī)劃優(yōu)選得到的路徑點(diǎn)序列，在軌跡經(jīng)過路徑點(diǎn)的前提下，設(shè)計(jì)合理的橫縱向飛行剖面，得到飛行器的再入滑翔軌跡，以滿足再入滑翔的過程約束、終端約束和禁飛區(qū)約束。

在雙層規(guī)劃中，上層規(guī)劃反映能量消耗的路徑優(yōu)選指標(biāo)(最小控制力)需要根據(jù)下層動力學(xué)仿真計(jì)算得到，同時下層規(guī)劃的路徑點(diǎn)目標(biāo)由上層規(guī)劃決定。該雙層規(guī)劃問題在相互影響中最終做出滿足條件的決定，得到可行的飛行軌跡。在數(shù)學(xué)上，該雙層規(guī)劃模型可寫為如下形式：

(1)

式中：為由0/1變量組成的向量，表示路徑的選擇；為當(dāng)前路徑下飛行軌跡變量組成的向量，是時間的函數(shù)；：{0,1}×()→是上層規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)，它是由下層軌跡規(guī)劃結(jié)果反饋上來的；∈為常數(shù)，即下層規(guī)劃無優(yōu)化目標(biāo)，得到合理的可行解即可；：{0,1}→{0,1}′,：{0,1}×()→′()分別為上層和下層規(guī)劃的約束集，包含等式約束。其中,為0/1變量維數(shù),為軌跡變量維數(shù),′為上層約束集的維數(shù),′為下層約束集的維數(shù)。

1.1 復(fù)雜禁飛區(qū)規(guī)避上層路徑點(diǎn)規(guī)劃模型

(2)

式中：=1表示弧(,)包含在該路徑中；=0表示弧(,)不包含在該路徑中。當(dāng)某一條路徑確定后，可轉(zhuǎn)化成一系列的路徑點(diǎn)約束。

(3)

(4)

因此，給出以下上層規(guī)劃模型：

(5)

其中，由于高超聲速飛行器飛行狀態(tài)、控制量的不同和嚴(yán)格的物理約束，即使同一條弧(,)，在不同路徑中的值也不同，且無解析表達(dá)式。因此需要通過下層軌跡動力學(xué)仿真得到軌跡后計(jì)算得到。

1.2 高超聲速飛行器下層軌跡規(guī)劃模型

飛行器再入滑翔階段需滿足的前提條件包括動力學(xué)約束、路徑約束、控制量約束和終端約束，也包括禁飛區(qū)約束和上層規(guī)劃輸出的路徑點(diǎn)約束。

根據(jù)球形旋轉(zhuǎn)地球假設(shè)，飛行器動力學(xué)模型表達(dá)式如下：

(6)

上述各式是對時間進(jìn)行微分所得，式中：為地球中心到飛行器重心的徑向距離；和分別為對應(yīng)的經(jīng)度和緯度；為飛行器相對于地球的速度；為航跡傾角；為航跡偏角；為傾側(cè)角；為地球旋轉(zhuǎn)角速度；為重力加速度；為飛行器質(zhì)量；其中航跡偏角是速度向量在當(dāng)?shù)厮矫娴耐队芭c正北方向的夾角，順時針方向旋轉(zhuǎn)為正；和分別為升力加速度和阻力加速度，其表達(dá)式如下所示：

(7)

式中：()為大氣密度，它是海拔高度的函數(shù)；=-,為地球半徑；為飛行器參考面積；為攻角；為馬赫數(shù)；(,)和(,)分別為升力系數(shù)和阻力系數(shù)。

軌跡的能量消耗指標(biāo)定義為：

(8)

作為上層評價(jià)當(dāng)前路徑的指標(biāo)。式中：為橫向加速度，,分別表示飛行器到達(dá)路徑點(diǎn)和時的時間。該指標(biāo)為橫向分配的最小控制力，是反映無動力滑翔飛行器能量消耗的重要指標(biāo)。由式(8)可以看出，受飛行器每個時刻的飛行狀態(tài)影響，在軌跡得到前無法預(yù)知，所以在上層規(guī)劃中需要通過下層動力學(xué)仿真得到路徑指標(biāo)。

除了上述傳統(tǒng)的約束，在本研究的飛行任務(wù)中還存在地理約束，即禁飛區(qū)約束和上層規(guī)劃傳遞下來的路徑點(diǎn)約束。

定義禁飛區(qū)為無限高的圓形區(qū)。禁飛區(qū)的圓心位置和半徑預(yù)先確定。如果飛行軌跡上各點(diǎn)(,)到第個禁飛區(qū)圓心位置(,)的大圓距離大于相應(yīng)的半徑，則認(rèn)為滿足第個禁飛區(qū)約束，=1,2,…,’，’是禁飛區(qū)的總數(shù)，即：

(9)

飛行器的路徑點(diǎn)約束為上層規(guī)劃中搜索得到的路徑點(diǎn)序列，由于路徑點(diǎn)為虛擬設(shè)定的，因此該約束為軟約束，目的是限定飛行器繞飛禁飛區(qū)的路線。當(dāng)?使得=1，=1,2,…,時，路徑點(diǎn)包含在路徑中，作為路徑點(diǎn)約束。假設(shè)表示路徑點(diǎn)約束，(,)為對應(yīng)的位置坐標(biāo)，∈{1,2,…,}，路徑點(diǎn)個數(shù)不固定，由上層規(guī)劃決定，則該約束可表示為：

(10)

因此，下層軌跡規(guī)劃即基于當(dāng)前的飛行狀態(tài)，找到每個時刻合適的傾側(cè)角控制指令()，使得相應(yīng)的飛行軌跡滿足上述動力學(xué)約束、路徑約束、控制量約束、終端約束、禁飛區(qū)約束和路徑點(diǎn)約束。

1.3 路徑-軌跡雙層規(guī)劃方法框架

為了求解上述模型，本文提出方法的技術(shù)路線圖如圖1所示。

圖1 路徑-軌跡雙層規(guī)劃方法框架Fig.1 Framework of the dual-level path-trajectory generation method

通過解耦雙層規(guī)劃模型，對上層規(guī)劃和下層規(guī)劃分別求解。根據(jù)雙層規(guī)劃模型，上下層的耦合點(diǎn)在于：1) 上層規(guī)劃中路徑評價(jià)指標(biāo)與下層規(guī)劃的高超聲速動力學(xué)約束耦合；2) 下層規(guī)劃中的路徑點(diǎn)約束與上層規(guī)劃的優(yōu)化變量耦合。注意到路徑評價(jià)指標(biāo)只與橫向動力學(xué)耦合，在路徑規(guī)劃中，用簡化的橫向動力學(xué)仿真替代軌跡規(guī)劃，以計(jì)算路徑評價(jià)指標(biāo)，實(shí)現(xiàn)上層規(guī)劃與下層規(guī)劃的解耦。在上層規(guī)劃得到最優(yōu)路徑后，將最優(yōu)路徑點(diǎn)序列作為路徑點(diǎn)約束，根據(jù)精確的高超聲速動力學(xué)約束，進(jìn)行下層軌跡規(guī)劃，實(shí)現(xiàn)下層規(guī)劃與上層規(guī)劃的解耦。通過這樣處理，既可以考慮路徑-軌跡的動力學(xué)耦合特性，使路徑評價(jià)指標(biāo)合理，也可以解耦雙層規(guī)劃以降低算法的復(fù)雜性。

在實(shí)際應(yīng)用中，本文根據(jù)禁飛區(qū)分布構(gòu)型構(gòu)造路徑點(diǎn)，建立有向圖模型，將上層路徑規(guī)劃轉(zhuǎn)化為一個圖搜索問題。在對搜索得到的路徑進(jìn)行指標(biāo)評價(jià)時，簡化動力學(xué)，保留與路徑評價(jià)指標(biāo)耦合的橫向動力學(xué)，用橫向動力學(xué)仿真替代復(fù)雜的軌跡規(guī)劃過程，使路徑規(guī)劃與軌跡規(guī)劃解耦。其中，在橫向動力學(xué)仿真時應(yīng)用了一種解析的路徑點(diǎn)跟蹤制導(dǎo)律。在下層軌跡規(guī)劃中，直接將最優(yōu)路徑的路徑點(diǎn)序列作為軌跡規(guī)劃的路徑點(diǎn)約束，解耦上層路徑規(guī)劃，解析推導(dǎo)高超聲速飛行器的橫縱向飛行剖面，設(shè)計(jì)自適應(yīng)剖面跟蹤制導(dǎo)律，完成雙層規(guī)劃。

2 考慮高超聲速動力學(xué)的上層路徑規(guī)劃方法

通過引入禁飛區(qū)分布構(gòu)型，進(jìn)行有向圖建模，建立路徑集，基于橫向動力學(xué)仿真得到路徑評價(jià)指標(biāo)，為下層軌跡規(guī)劃提供最優(yōu)路徑點(diǎn)序列。

2.1 禁飛區(qū)規(guī)避路徑建模

根據(jù)任務(wù)環(huán)境中禁飛區(qū)的分布構(gòu)型布置路徑點(diǎn)，引入全局信息，建立有向圖模型。在作者之前的工作中，提出了一種適用于高超聲速飛行器禁飛區(qū)規(guī)避的圖建模方法，具體建模方法詳見文獻(xiàn)[22]。本文基于上述圖建模方法進(jìn)行上層路徑優(yōu)選，這里簡要列出圖建模方法。

1)布置路徑點(diǎn)

2)有向邊連接

(1)連接起點(diǎn)與串行線第一個禁飛區(qū)的兩路徑點(diǎn)；

(2)連接串行線中相鄰兩禁飛區(qū)的各個路徑點(diǎn)；

(3)連接串行線中最后一個禁飛區(qū)的兩個路徑點(diǎn)與飛行終點(diǎn)。

圖2 連邊規(guī)則示意圖Fig.2 Schematic diagram of directed edges connection

3)遍歷路徑

該建模方法結(jié)合了高超聲速飛行器轉(zhuǎn)彎能力有限的動力學(xué)特性，可以包含飛行器可行的繞飛方式。同時，連邊策略能夠減少無效邊的連接，進(jìn)而避免組合數(shù)的急劇增加。

2.2 路徑評價(jià)

由于有向圖中路徑是離散路徑點(diǎn)序列形式存在的，不滿足高超聲速動力學(xué)，因此通過對目標(biāo)函數(shù)有直接影響的橫向動力學(xué)，基于一種最小控制力路徑點(diǎn)跟蹤制導(dǎo)律進(jìn)行數(shù)值積分，計(jì)算路徑指標(biāo)。

由式(8)，上層規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)與橫向加速度=sin相關(guān)，暫時無需考慮縱向運(yùn)動和強(qiáng)非線性的氣動方程，忽略地球自轉(zhuǎn)，得到如下運(yùn)動模型：

(11)

(12)

式中：和LOS表示與第個路徑點(diǎn)的相對大圓距離和視線角；Δ=LOS-表示航向誤差。

假設(shè)個路徑點(diǎn)是按其相應(yīng)到達(dá)時間,增加排序的，即,<,+1。在飛行器接近路徑點(diǎn)時，到達(dá)時間可以近似為：

(13)

(14)

其中，拉格朗日乘子向量=[,,…,]可以解析求解，具體推導(dǎo)過程詳見文獻(xiàn)[18]。該制導(dǎo)律本質(zhì)上是一種推廣的自適應(yīng)比例導(dǎo)引律，路徑點(diǎn)跟蹤精度高，且普適性強(qiáng)。

上述過程利用禁飛區(qū)分布構(gòu)型，建立有向圖模型進(jìn)行路徑規(guī)劃，實(shí)現(xiàn)了高超聲速飛行器路徑-軌跡緊耦合，為下層提供合理路徑點(diǎn)序列。

3 基于上層優(yōu)選路徑的高超聲速飛行器分段半解析軌跡規(guī)劃方法

由于飛行器非線性較強(qiáng)，需合理分配橫縱向飛行能力。其中，縱向剖面需要在滿足滑翔過程約束和控制量約束的基礎(chǔ)上，滿足終端航程和狀態(tài)量約束；橫向剖面設(shè)計(jì)需要滿足路徑點(diǎn)要求和禁飛區(qū)繞飛要求，控制飛行能量在合理范圍內(nèi)。

3.1 高超聲速飛行器縱向解析剖面規(guī)劃

基于小量假設(shè)，將縱向運(yùn)動與橫向運(yùn)動解耦處理，根據(jù)平衡滑翔條件確定阻力加速度-速度剖面，推導(dǎo)待飛航程解析式，求解剖面參數(shù)。在推導(dǎo)待飛航程預(yù)估閉環(huán)解析公式時，忽略因地球自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的哥氏加速度和離心加速度，得到如下所示運(yùn)動公式：

(15)

令表示第段軌跡的預(yù)估航程，=1,2,…,。由航程的變化率：

(16)

則航程計(jì)算公式為：

(17)

式中：0為每段初始速度；為每段終端速度；sin≈0; cos≈1。通過將阻力加速度表示為相對速度的函數(shù)關(guān)系()，便可根據(jù)式(17)直接得到航程解析表達(dá)式。

(18)

將式(18)代入式(17)中，可推導(dǎo)得到航程解析表達(dá)式如下所示：

(19)

根據(jù)每段軌跡的實(shí)際航程需求，可反解求得剖面參數(shù)/，確定阻力加速度剖面，=1,2,…,。則/為：

(20)

3.2 高超聲速飛行器橫向解析剖面規(guī)劃

基于縱向航程預(yù)估設(shè)計(jì)的剖面，提出飛行器橫程預(yù)估的解析表達(dá)式，令每段軌跡的橫程為0，得到每段軌跡對應(yīng)的傾側(cè)角反轉(zhuǎn)點(diǎn)，使得飛行器能夠經(jīng)過路徑點(diǎn)。

由動力學(xué)方程(15)，在廣義赤道的基礎(chǔ)上，設(shè),為小量，采用sin≈0, cos≈1, tan≈0的假設(shè)條件，可簡化為：

(21)

則：

(22)

令每段傾側(cè)角反轉(zhuǎn)點(diǎn)速度為，初始傾側(cè)角符號表示為()，=1,2,…,。則可得每段航跡偏角計(jì)算公式為:

(23)

式中：為當(dāng)前速度；0為每段航跡偏角初值，=1,2,…,。

在基于平衡滑翔條件設(shè)計(jì)剖面時，/參數(shù)給定，可得到參考阻力加速度對應(yīng)的鉛垂面內(nèi)升阻比(/)≈/。由于剖面給定，因此飛行器實(shí)際升阻比可由下式計(jì)算得到：

(24)

當(dāng)攻角變化不大時，可將的幅值近似為常值。則式(23)可簡化為：

-0=

(25)

由每段橫程的變化率：

(26)

式中：LOS為每段目標(biāo)點(diǎn)的視線偏角，每段橫向機(jī)動較小，可假設(shè)Δ為小量。將式(25)代入式(26)中，橫程對速度的變化率為：

(27)

因此，可得如下所示的橫程計(jì)算公式：

(28)

式中：為每段終端速度。

(29)

(30)

令=0，利用簡單迭代法得到傾側(cè)角反轉(zhuǎn)點(diǎn)的位置，=1,2,…,。

3.3 橫縱向解析剖面跟蹤制導(dǎo)邏輯

根據(jù)剖面形式，設(shè)計(jì)自適應(yīng)跟蹤制導(dǎo)律，完成軌跡規(guī)劃。飛行剖面跟蹤制導(dǎo)邏輯具體如下：

采用傾側(cè)角和攻角兩個控制量，傾側(cè)角為主控制量，攻角采用標(biāo)稱剖面以減小飛行器氣動加熱分布變化。傾側(cè)角完成航程與橫程的控制：幅值控制航程,符號控制橫程。

1)縱程控制

采用“前饋+反饋”的控制策略完成整個再入過程阻力加速度剖面的在線跟蹤，形式如下：

(31)

則傾側(cè)角幅值指令：

(32)

式中：(/)為飛行器實(shí)際升阻比。

2)橫程控制

每段規(guī)劃一個反轉(zhuǎn)點(diǎn)，根據(jù)橫程公式，式(30)，計(jì)算反轉(zhuǎn)點(diǎn)位置，經(jīng)過路徑點(diǎn)。在最后一段軌跡，為更好的瞄準(zhǔn)目標(biāo)，采用航向瞄準(zhǔn)誤差作為橫向死區(qū)，實(shí)現(xiàn)橫程控制。

通過本方法，可以根據(jù)路徑優(yōu)選得到的路徑點(diǎn)序列，將軌跡分段處理，基于小量假設(shè)進(jìn)行橫縱向解耦，解析推導(dǎo)橫縱向飛行剖面。分段減小了橫向機(jī)動帶來的解耦誤差，提高了剖面解析精度，實(shí)現(xiàn)了大范圍橫向機(jī)動的半解析軌跡規(guī)劃算法。

4 方法實(shí)現(xiàn)

本節(jié)介紹高超聲速飛行器復(fù)雜禁飛區(qū)的路徑-軌跡雙層規(guī)劃方法的數(shù)值實(shí)現(xiàn)過程。整個雙層規(guī)劃的流程圖如圖3所示。具體實(shí)施步驟可總結(jié)為：

1)進(jìn)行有向圖建模，使用深度優(yōu)先算法遍歷飛行路徑；

4)根據(jù)最優(yōu)路徑對應(yīng)的路徑點(diǎn)序列，分割滑翔軌跡，分配分段點(diǎn)速度值;

5)設(shè)定攻角剖面和初始高度，根據(jù)剖面跟蹤控制律跟蹤軌跡，計(jì)算傾側(cè)角幅值指令;

6)在每段初始位置，根據(jù)橫程預(yù)估解析表達(dá)式求解該段的傾側(cè)角反轉(zhuǎn)點(diǎn),當(dāng)?shù)竭_(dá)最后一段初始位置時，切換為死區(qū)控制;

7)以速度到達(dá)終端速度作為停機(jī)條件，得到最終的剩余航程，依據(jù)剩余航程是否滿足要求反向調(diào)整縱向初始高度和攻角剖面，完成下層軌跡規(guī)劃;

8)輸出上層路徑優(yōu)選的路徑點(diǎn)序列和下層軌跡規(guī)劃的飛行軌跡，即狀態(tài)量及控制量，完成雙層規(guī)劃。

圖3 方法實(shí)現(xiàn)流程圖Fig.3 The flow chart for implementation

5 仿真校驗(yàn)

本節(jié)中應(yīng)用本文提出的高超聲速飛行器路徑-軌跡雙層規(guī)劃方法求解一個復(fù)雜禁飛區(qū)規(guī)避的算例，以說明方法的有效性。

飛行器在任意初始航向角的滑翔過程中，需要避開5個圓形禁飛區(qū)。飛行器在經(jīng)緯度坐標(biāo)中的初始位置為(0°, 0°)，終點(diǎn)位置為(100°, 0°)。禁飛區(qū)約束的圓心經(jīng)緯度坐標(biāo)和半徑見表1。

飛行器初始狀態(tài)為：=7002 m/s，=60～70 km，=0°，指向第一個路徑點(diǎn)?；杞K端要求：>42 km，剩余航程150 km≤≤250 km，終

表1 禁飛區(qū)分布Table 1 Information of no-fly zones

5.1 飛行器復(fù)雜禁飛區(qū)上層路徑規(guī)劃仿真

根據(jù)上層規(guī)劃中的圖建模方法，利用Python NetworkX庫建立可視化網(wǎng)絡(luò)模型，得到有向圖模型如圖4所示，圖中數(shù)字表示各路徑點(diǎn)序號。

圖4 算例有向圖Fig.4 Directed graph for the numerical simulation

將遍歷后的路徑進(jìn)行基于路徑點(diǎn)跟蹤制導(dǎo)律，即式(14)的仿真路徑評價(jià)，排序得到指標(biāo)最優(yōu)的路徑為[0,6,3,11]，指標(biāo)為7764.61 m/s，該路徑所對應(yīng)的路徑點(diǎn)坐標(biāo)見表2。

表2 路徑點(diǎn)優(yōu)選方案Table 2 Information of waypoints

作為對比，基于Gauss偽譜法，利用MATLAB工具箱GPOPS求解此問題(求解時進(jìn)行3次網(wǎng)格精化，網(wǎng)格精化的容差設(shè)置為0.0001)。圖5～8給出了本方法仿真結(jié)果與最優(yōu)參考的對比。

圖5 軌跡對比Fig.5 Comparison of trajectories

圖6 橫向加速度對比Fig.6 Comparison of lateral accelerations

圖7 航跡偏角對比Fig.7 Comparison of heading angles

圖8 性能指標(biāo)對比Fig.8 Comparison of performance indicators

圖5對比了兩種方法的軌跡，GPOPS選擇的路徑與本方法不同，這是因?yàn)閭巫V法陷入了禁飛區(qū)帶來的局部最優(yōu)，對初始猜測有很強(qiáng)的依賴性。圖6為橫向加速度的比較，在軌跡后半段GPOPS得到的的幅值明顯更大。通過積分，GPOPS的性能指標(biāo)為23082.26 m/s，性能指標(biāo)對比如圖8所示，本方法優(yōu)選路徑的指標(biāo)7764.61 m/s明顯更優(yōu)。從航跡偏角的對比圖7也可以看出，GPOPS得到的航跡偏角變化更快，累積橫程更大，導(dǎo)致能量消耗更多。因此，優(yōu)化算法雖然可以保證局部最優(yōu)解，但本文引用上層信息的路徑優(yōu)選方法考慮了不同路徑對軌跡性能的影響，具有更好的全局性能。

5.2 高超聲速飛行器下層軌跡規(guī)劃仿真

由上層路徑優(yōu)選出的3個路徑點(diǎn)(包含終點(diǎn))，將軌跡分成3段，基于航程預(yù)估解析公式求解各段阻力加速度剖面參數(shù)/，每段待飛航程為兩點(diǎn)間大圓距離，最后一段待飛航程設(shè)置為距離終點(diǎn)175 km。分配每段終端速度使得整個滑翔軌跡阻力加速度剖面光滑，得到縱向各參數(shù)。剖面跟蹤過程中，在每段初根據(jù)橫程預(yù)估式(30)求解得到每段的傾側(cè)角反轉(zhuǎn)點(diǎn)位置。得到橫縱向飛行剖面各參數(shù)見表3。

表3 飛行剖面參數(shù)Table 3 Profile parameters

其中，最后一段橫程控制切換為死區(qū)控制，所以無固定的傾側(cè)角反轉(zhuǎn)點(diǎn)。

將初始高度定為65700 m，攻角設(shè)置為13.10°，進(jìn)行在線剖面跟蹤制導(dǎo)。仿真結(jié)果如圖9～13所示。仿真結(jié)果顯示，以速度為停機(jī)條件，規(guī)劃的剩余航程為175 km，實(shí)際跟蹤制導(dǎo)后實(shí)際的剩余航程為174.81 km，誤差僅為0.19 km(飛行總航程為11112 km，誤差百分比為0.002%)，表明本方法的解析式具有很高的精度。

圖9為飛行軌跡，2個路徑點(diǎn)位置誤差分別為14.76 km和12.88 km，由于路徑點(diǎn)為軟約束，允許誤差范圍大，因此該方法能夠滿足條件。圖10為高度剖面圖，終端高度為44.64 km，滿足要求，且高度剖面光滑，沒有出現(xiàn)軌跡震蕩的現(xiàn)象。圖11給出了傾側(cè)角指令，仿真算例滿足傾側(cè)角幅值和角速率的要求。由圖12航跡傾角的剖面看出，終端航跡傾角在-0.3°以內(nèi)，可以滿足平衡滑翔的軟約束。圖13給出阻力加速度剖面的跟蹤效果，圖中可以看出，實(shí)際剖面與標(biāo)稱剖面幾乎重疊，跟蹤效果顯著，跟蹤誤差在10數(shù)量級，說明剖面設(shè)計(jì)合理可飛。圖中毛刺產(chǎn)生原因是剖面更新帶來的瞬時變化對跟蹤控制律的影響。整個飛行過程中熱流率峰值為825.82 kW/m，過載峰值為1.10，滿足過程約束。

圖9 飛行軌跡Fig.9 Flight trajectory

圖10 高度-速度剖面Fig.10 Altitude-velocity profile

圖11 傾側(cè)角-速度剖面Fig.11 Bank angle-velocity profile

圖12 航跡傾角-速度剖面Fig.12 Flight path angle-velocity profile

圖13 阻力加速度剖面及跟蹤誤差Fig.13 Drag acceleration profile and tracking errors

蒙特卡洛仿真是檢驗(yàn)算法魯棒性的主要方式，對本節(jié)仿真的路徑進(jìn)行1000次蒙特卡洛仿真散布分析?？紤]的不確定性參數(shù)見表4，其中風(fēng)干擾為由高速-風(fēng)速差值表得到的平穩(wěn)風(fēng)。

表4 蒙特卡洛仿真不確定性參數(shù)Table 4 The uncertain parameters of Monte Carlo simulation

在上述不確定性參數(shù)的影響下，軌跡規(guī)劃算法得到的各終端指標(biāo)滿足情況見表5。為方便展示，其中50條軌跡規(guī)劃結(jié)果如圖14所示。

表5 蒙特卡洛仿真結(jié)果統(tǒng)計(jì)Table 5 Monte Carlo simulation results

圖14 蒙特卡洛仿真飛行軌跡圖Fig.14 Monte Carlo simulation of flight trajectories

可以得出，該軌跡規(guī)劃算法對外界環(huán)境干擾具有較強(qiáng)的魯棒性，各終端約束和過程約束基本可以滿足。這些不確定性對解析剖面精度造成一定的影響，從而造成標(biāo)稱軌跡存在誤差，在實(shí)際使用中可通過剖面實(shí)時更新來降低干擾的影響。

為了驗(yàn)證解析剖面的適應(yīng)性，對該禁飛區(qū)場景的其他路徑進(jìn)行剖面計(jì)算并進(jìn)行在線跟蹤制導(dǎo)仿真，以速度為停機(jī)條件，規(guī)劃的剩余航程為175 km，統(tǒng)計(jì)各工況制導(dǎo)精度見表6。

從表6中可以看出，本文提出的分段半解析方法對各路徑的適應(yīng)性較強(qiáng)，航程誤差最大為3.45 km，誤差百分比不超過0.03%，可以表明本方法的解析飛行剖面具有很高的精度。

表6 不同路徑剖面制導(dǎo)精度對比Table 6 Comparison of paths’ guidance accuracy

總之，將復(fù)雜禁飛區(qū)規(guī)避的軌跡規(guī)劃轉(zhuǎn)化為雙層規(guī)劃，引入全局信息進(jìn)行路徑的優(yōu)選，提高了軌跡的全局性能；同時，根據(jù)上層優(yōu)選路徑點(diǎn)序列，得到分段解析飛行剖面，制導(dǎo)精度較高。本方法融合了路徑規(guī)劃和軌跡規(guī)劃各自的優(yōu)勢，既能從全局性能需求出發(fā)選擇合理的路線，又能得到滿足各類約束的可行飛行軌跡。

6 結(jié) 論

本文實(shí)現(xiàn)了高超聲速飛行器禁飛區(qū)規(guī)避上層路徑選擇與軌跡規(guī)劃雙層建模和快速求解。該方法提升了軌跡的全局性能，數(shù)值仿真表明此方法與不考慮路徑選擇的軌跡優(yōu)化方法比，路徑能量指標(biāo)更優(yōu)。此外，解決了大范圍橫向機(jī)動的飛行剖面解析難題，數(shù)值仿真表明該方法制導(dǎo)精度高，適應(yīng)性強(qiáng)，滿足再入滑翔過程各類約束。總之，提出的路徑-軌跡雙層規(guī)劃方法是一種全局求解高超聲速飛行器復(fù)雜禁飛區(qū)規(guī)避軌跡規(guī)劃問題的有效途徑。