王形華,陳榮泉,王 清

(1贛南師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院,江西 贛州 341000;2閩南理工學(xué)院土木工程學(xué)院,福建 泉州 362799;3九江學(xué)院理學(xué)院,江西 九江 332005)

0 引言

渦旋光束是一種攜帶軌道角動(dòng)量的新型光束,在光通信中有獨(dú)特的應(yīng)用價(jià)值。2007年,Dai等[1]用分離變量法研究了渦旋光束在強(qiáng)非局域非線性介質(zhì)中傳輸?shù)囊?guī)律,光束會(huì)繞傳輸方向旋轉(zhuǎn),光強(qiáng)在徑向的分布呈現(xiàn)單環(huán)或多環(huán)結(jié)構(gòu)。Chen[2]研究了復(fù)宗量拉蓋爾-高斯光束在強(qiáng)非局域非線性介質(zhì)中的傳輸。Zhang等[3]用解析法分析得到,在一定條件下共線傳輸?shù)膹?fù)宗量厄米-高斯型光束演化為渦旋光束,束寬呈現(xiàn)周期性變化。2013年,Martinez-Castellanos對(duì)復(fù)宗量渦旋光束的研究中,得到了復(fù)宗量分?jǐn)?shù)階拉蓋爾-高斯光束,會(huì)出現(xiàn)渦旋的產(chǎn)生、湮滅和橫切面上運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象[4]。2016年,Zhu[5]研究了復(fù)宗量渦旋厄米-高斯光束在大氣湍流中的傳播,可以通過(guò)減小波長(zhǎng)和拓?fù)潆姾苫蛘咴龃蟾咚故?有效地控制光束的擴(kuò)散。

復(fù)宗量厄米-高斯光束是波動(dòng)方程在旁軸近似下的近似解析解,是一種參量滿足復(fù)數(shù)函數(shù)的光束,相比厄米-高斯光束具有更復(fù)雜的光強(qiáng)和相位結(jié)構(gòu)。本文研究(1+2)維復(fù)宗量厄米-高斯光束在強(qiáng)非局域過(guò)程中的傳輸特性,分析在不同階數(shù)情況下光強(qiáng)、束寬和角動(dòng)量的變化規(guī)律;并在此基礎(chǔ)上探討渦旋呼吸子在不同傳輸距離上的截面光強(qiáng)和相位圖,研究不同階數(shù)以及傳播距離對(duì)該渦旋光束擴(kuò)展的影響。

1 理論模型

在非局域非線性介質(zhì)中,光束的演化規(guī)律可以由歸一化的非局域非線性薛定諤方程(NNLSE)來(lái)描述[6-10],即

式中:ψ 是輸入光束波函數(shù);z是縱向坐標(biāo);x和y代表橫向坐標(biāo);是誘導(dǎo)的非線性折射率,其中R代表響應(yīng)函數(shù),這里采用高斯型響應(yīng)函數(shù),因?yàn)樗梢员容^容易地得到孤子在非局域介質(zhì)中的傳輸規(guī)律

式中σ為特征寬度。復(fù)宗量厄米-高斯渦旋光束可以表示為

式中:A是振幅,a是光束寬度,m是階數(shù)。為厄米多項(xiàng)式,且 ξ=x+iy。對(duì)于高階孤子,在x和y方向上的光束統(tǒng)計(jì)寬度可以定義為

光束橢圓率可以定義為

孤子的功率和軌道角動(dòng)量OAM[11,12]可以分別表示為

2 數(shù)值模擬結(jié)果與分析

為了方便討論,響應(yīng)函數(shù)特征長(zhǎng)度和束寬分別取為σ=20和a=1。采用成熟的分步傅里葉法數(shù)值模擬復(fù)宗量厄米-高斯渦旋光束在此強(qiáng)非局域介質(zhì)中的傳播。一般來(lái)說(shuō),非線性和衍射效應(yīng)是同時(shí)起作用的。如果傳輸步長(zhǎng)取得足夠短,則每一步傳輸時(shí)可以近似地處理為衍射和非線性分別單獨(dú)作用[13],這就是分步傅里葉法。

2.1 復(fù)宗量厄米-高斯光束的強(qiáng)度分布與相結(jié)構(gòu)圖

不同階數(shù)情況下,復(fù)宗量厄米-高斯光束的強(qiáng)度分布和x、y方向上相應(yīng)相位結(jié)構(gòu)分別如圖1、2所示。圖1表明,復(fù)宗量厄米-高斯光束的強(qiáng)度和相位分布非常復(fù)雜,并且隨著階數(shù)而變化產(chǎn)生了一些新穎的傳播特性。光束強(qiáng)度變化如圖1中(a1)、(b1)、(c1)、(d1)所示,其表明當(dāng)階數(shù)m增大時(shí),光束束寬也相應(yīng)增大,但是渦旋奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)與階數(shù)相等;相位結(jié)構(gòu)變化如圖1中(a2)、(b2)、(c2)、(d2)所示。光束傳輸過(guò)程中光斑將發(fā)生旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)方向取決于表達(dá)式ξ=x+iy中虛部前的符號(hào),虛部前的符號(hào)取正時(shí),光斑沿著逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn);虛部前的符號(hào)取負(fù)時(shí),光斑沿著順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。復(fù)宗量光束旋轉(zhuǎn)的物理本質(zhì)在于其光束橫向能流分布不均勻[14]。而常規(guī)厄米-高斯光束沒(méi)有渦旋相位,并且在傳輸過(guò)程中不會(huì)旋轉(zhuǎn)。

圖1 復(fù)宗量厄米-高斯光束的強(qiáng)度分布[(a1)～(d1)]和相應(yīng)的相結(jié)構(gòu)[(a2)～(d2)]。選擇參數(shù)為A=1;(a1),(a2)m=1;(b1),(b2)m=2;(c1),(c2)m=3;(d1),(d2)m=4Fig.1 Intensity distributions[(a1)～(d1)]and the corresponding phase structures[(a2)～(d2)]of the complex variable Hermite-Gaussian beams with A=1;(a1),(a2)m=1;(b1),(b2)m=2;(c1),(c2)m=3;(d1),(d2)m=4

由圖2可知,光強(qiáng)分布在x和y軸方向的分布是不一樣的,x軸方向的光強(qiáng)奇異點(diǎn)(光強(qiáng)為0)與階數(shù)m相等,但是y軸方向的光強(qiáng)奇異點(diǎn)與階數(shù)m無(wú)關(guān)。

圖2 不同階數(shù)的復(fù)宗量厄米-高斯光束在x和y方向的歸一化光強(qiáng)分布Fig.2 The normalized intensity distribution for different orders of complex variable Hermite-Gaussian beams in x and y directions

2.2 復(fù)宗量厄米-高斯呼吸子

復(fù)宗量光束表達(dá)式中參數(shù)ξ=x+iy是復(fù)數(shù),一般具有渦旋光的性質(zhì)。圖3為二階(m=2)復(fù)宗量厄米-高斯光束在非局域介質(zhì)中傳播時(shí)光斑結(jié)構(gòu)隨傳播距離的變化。由圖3(a)可知,當(dāng)光束的輸入功率小于臨界功率(光束束寬不變形成孤子時(shí)所對(duì)應(yīng)的功率)時(shí),光束束寬周期性地先擴(kuò)展后壓縮,傳輸中光束束寬總體大于臨界束寬(孤子的束寬),周期比圖3(b)的大;由圖3(b)可知,當(dāng)光束的輸入功率等于臨界功率時(shí),光束束寬保持不變,保持穩(wěn)定傳輸;由圖3(c)可知,當(dāng)光束的輸入功率大于臨界功率時(shí),光束束寬周期性地先壓縮后擴(kuò)展,傳輸中光束束寬總體小于臨界束寬,周期比圖3(b)的小。圖3(a)、(c)即為復(fù)宗量厄米-高斯呼吸子。

圖3 復(fù)宗量厄米-高斯光束在非局域介質(zhì)中傳播,選擇參數(shù)為m=2,(a)P0=129000,(b)P0=258000,(c)P0=515000Fig.3 Propagation of the complex variable Hermite-Gaussian breathers in the nonlocal media.Parameters are chosen as m=2,(a)P0=129000,(b)P0=258000,(c)P0=515000

2.3 復(fù)宗量厄米-高斯孤子

圖4為不同階數(shù)情況下復(fù)宗量厄米-高斯孤子在傳播過(guò)程中的光斑結(jié)構(gòu)變化。由圖4可知,隨著階數(shù)m增加,渦旋奇點(diǎn)個(gè)數(shù)增多,光束束寬和橢圓率增大,但是臨界功率和旋轉(zhuǎn)周期不變。圖5為一個(gè)周期內(nèi)復(fù)宗量厄米-高斯孤子的波形輪廓圖。由圖5可知,不同階數(shù)m情況下,光束在傳輸一個(gè)周期后的波形與初始波形基本重合,說(shuō)明光束在傳輸過(guò)程中波形可以基本保持不變;當(dāng)m增大時(shí),光斑中間區(qū)域光強(qiáng)為0的點(diǎn)增多,光強(qiáng)在x軸方向的分布更加復(fù)雜。

圖4 非局域介質(zhì)中的復(fù)宗量厄米-高斯孤子的傳播,選擇參數(shù)為P0=258000,(a)m=3,(b)m=4,(c)m=5,(d)m=6Fig.4 Propagation of the complex variable Hermite-Gaussian solitons in the nonlocal media.Parameters are chosen as P0=258000,(a)m=3,(b)m=4,(c)m=5,(d)m=6

圖5 入射(z=0,藍(lán)線)和傳輸一個(gè)周期(z=6.3,粉紅線)處光束波形對(duì)比,各參量取值與圖4相同F(xiàn)ig.5 Comparison of beam waveforms at incident(z=0,blue line)and one transmission period(z=6.3,pink line).Values of each parameter are the same as those in Fig.4

圖6為不同階數(shù)情況下復(fù)宗量厄米-高斯孤子的相位變化情況。由圖6可知,光束在橫向截面上對(duì)應(yīng)的相位結(jié)構(gòu)類似“花瓣”結(jié)構(gòu),光束對(duì)應(yīng)的階數(shù)m越多,花瓣越復(fù)雜,且花瓣個(gè)數(shù)與m相等。在光束傳輸過(guò)程中,光束的相位結(jié)構(gòu)穩(wěn)定。

圖6 復(fù)宗量厄米-高斯型孤子傳輸一個(gè)周期相位變化圖,各參量取值與圖4相同F(xiàn)ig.6 Phase variation diagram of a periodic transmission for complex variable Hermite-Gaussian soliton.Values of each parameter are the same as those in Fig.4

圖7為臨界功率和軌道角動(dòng)量(OAM)與階數(shù)m變化之間的關(guān)系。由圖7可知,在不同階數(shù)m情況下,形成穩(wěn)定的光束渦旋孤子所需要的臨界功率保持不變,而光束的軌道角動(dòng)量會(huì)隨階數(shù)m的增大而增大。光束的軌道角動(dòng)量也是分析光束信息的一個(gè)重要參量,理論上軌道角動(dòng)量越大也可以使得光束進(jìn)行更多的信息編碼。當(dāng)m=0時(shí),復(fù)宗量厄米-高斯光束的軌道角動(dòng)量為0,光束會(huì)退化為一般的高斯光束。Li[15]通過(guò)增大螺旋相位板的階數(shù)得到近軸渦旋光軌道角動(dòng)量增大的結(jié)果,在這里出現(xiàn)相似的現(xiàn)象。

圖7 復(fù)宗量厄米-高斯型孤子的功率和軌道角動(dòng)量與m的關(guān)系Fig.7 The power and OAMs of complex variable Hermite-Gaussian soliton versus m

圖8為x、y方向上的束寬在不同階數(shù)m下的變化情況。由圖8(a)可知,隨著階數(shù)m的增大,y方向的束寬變化明顯大于x方向的束寬;由圖8(b)可知,橢圓率η隨著階數(shù)m的增大而增大。光束在傳輸過(guò)程中,橢圓率η增大,兩光斑分得越開(kāi),光斑變得更加扁長(zhǎng),顯出更新穎的形狀。

圖8 (a)光束束寬與拓?fù)浜蒻的關(guān)系;(b)橢圓率η與拓?fù)浜蒻的關(guān)系Fig.8 (a)Beam width versus m;(b)Ellipticity versus m

2.4 穩(wěn)定性分析

為了更嚴(yán)格地驗(yàn)證孤子的穩(wěn)定性,需要考慮隨機(jī)擾動(dòng)的影響。簡(jiǎn)易做法為:給圖4中的孤子在入射時(shí)添加一個(gè)隨機(jī)擾動(dòng)[16],可表示為A0[T(x,y)+βB(x,y)],A0代表孤子振幅,T(x,y)代表無(wú)微擾時(shí)的孤子解,B(x,y)是微擾項(xiàng),β是微擾系數(shù)。一般來(lái)說(shuō),隨機(jī)微擾都較小,因此取β=0.02來(lái)進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證。圖9為添加噪聲后復(fù)宗量厄米-高斯孤子的傳輸變化情況,由圖可見(jiàn)復(fù)宗量厄米-高斯型孤子可以在隨機(jī)擾動(dòng)下穩(wěn)定地傳播。

圖9 非局域介質(zhì)中加噪的復(fù)宗量厄米-高斯孤立子的演化,各參量取值與圖4相同F(xiàn)ig.9 Evolution of the noise-added complex variable Hermite-Gaussian solitons in nonlocal media.The parameters are chosen as those in Fig.4

3 結(jié)論

運(yùn)用分步傅里葉法模擬了復(fù)宗量厄米-高斯光束的傳輸,得到了一系列演化特性圖,由圖可見(jiàn)復(fù)宗量厄米-高斯光束具有軌道角動(dòng)量和獨(dú)特的光學(xué)渦旋結(jié)構(gòu)。當(dāng)復(fù)宗量厄米-高斯光束階數(shù)m增大時(shí),其橢圓率增大,即y軸方向的展寬大于x軸方向的展寬,使得光斑呈現(xiàn)y軸方向的拉伸;軌道角動(dòng)量將增大,光學(xué)渦旋個(gè)數(shù)與階數(shù)相等。光斑在x-y平面作逆時(shí)針?lè)较虻男D(zhuǎn)。這些結(jié)果表明階數(shù)越高的復(fù)宗量厄米-高斯光束在高斯型強(qiáng)非局域非線性介質(zhì)中傳輸具有越多新穎的特性,可以在傳輸中攜帶更多信息,因此在信號(hào)傳輸方面具有潛在應(yīng)用價(jià)值。獨(dú)特的渦旋結(jié)構(gòu)則可以應(yīng)用在光鑷、光學(xué)操控等方面。