劉紅磊，仲冠宇

（1.頁巖油氣富集機理與有效開發(fā)國家重點實驗室，北京 100101；2.中國石化石油工程技術(shù)研究院，北京 100101）

低滲透儲層基質(zhì)滲透率及孔隙度極低，需通過水力壓裂技術(shù)才可以獲得工業(yè)油氣流。利用定向射孔壓裂技術(shù)，可以使射孔角度與水平主應(yīng)力方向呈一定的夾角，進而誘導(dǎo)裂縫轉(zhuǎn)向，產(chǎn)生“S”形或“X”形裂縫，從而增加泄油面積，提高單井產(chǎn)能。目前，該技術(shù)已成功應(yīng)用于低滲透儲層的開發(fā)［1-3］。

定向射孔壓裂條件下裂縫的發(fā)展形態(tài)對單井增產(chǎn)效果有著重要影響。室內(nèi)實驗［4-7］可以定性分析定向射孔壓裂下裂縫的擴展機理及影響因素，但存在的尺度效應(yīng)等問題造成了研究結(jié)果難以直接用于現(xiàn)場。有學者通過有限元法［8-9］、邊界元法［10-13］等分析了水力壓裂裂縫的發(fā)展形態(tài)，但這些研究均將巖石簡化為各向同性的彈性均質(zhì)體，這與煤巖、頁巖等層理、裂隙發(fā)育的巖石嚴重不符。在前人研究的基礎(chǔ)之上，依據(jù)各向異性彈性力學基本原理，基于邊界元法建立了各向異性地層中定向射孔壓裂條件下裂縫發(fā)展形態(tài)的計算模形，研究了裂縫形態(tài)及影響因素，從而為定向射孔壓裂技術(shù)的研究與應(yīng)用提供了理論依據(jù)。

1 定向射孔壓裂條件下裂縫擴展模形的理論基礎(chǔ)

1.1 基本方程

煤巖、頁巖等巖石節(jié)理、裂隙發(fā)育，這類巖石具有不同程度的彈性各向異性。為真實地模擬裂縫擴展過程，將巖石簡化為各向異性彈性體，則作用于巖石的應(yīng)力應(yīng)滿足平衡方程：

式中：σij，j為應(yīng)力分量對j坐標的偏導(dǎo)數(shù)；fi為體力分量，Pa；i表示體力分量的方向及應(yīng)力分量所在坐標面的外法線方向，沿xi方向，稱為面元指標；j表示應(yīng)力分量的分解方向，沿xj方向，稱為方向指標。

當i=j時，應(yīng)力分量垂直于面元方向，稱為正應(yīng)力，當i≠j時，應(yīng)力分量作用在面元平面內(nèi)，稱為剪應(yīng)力。巖石的應(yīng)力和應(yīng)變滿足本構(gòu)方程：

式中：H為柔度矩陣，與彈性體的各向異性有關(guān)。ε為應(yīng)變，滿足下列公式：

式中：εij為應(yīng)變張量分量；ui為i方向位移分量，m；uj為j方向位移分量，m；xi為i方向坐標；xj為j方向坐標。

對于平面問題，式（2）可簡化為下式，具體參見文獻［14］：

式中：εx為x方向的應(yīng)變，無量綱；εj為方向的應(yīng)變，無量綱；γxy為應(yīng)變張量分量，等同于εij，無量綱；τxy為二階應(yīng)力張量分量，等同于為σij，Pa；σx為x方向的應(yīng)力，Pa；σy為方向的應(yīng)力，Pa；β11、β12、β16、……β36均為在x-y坐標系中計算的柔度分量。

在井壁及裂縫面上，其應(yīng)力及面力應(yīng)滿足靜力邊界條件：

式中：pi為i方向面力分量，Pa；σij為二階的應(yīng)力張量分量，Pa；nj為靜力邊界外法線與j方向夾角的余弦；。

1.2 邊界積分方程

彈性體邊界上的邊界積分方程［15］為：

式中：Uij和Tij為當無限大平面彈性體內(nèi)某一點（x0，y0）的j方向有單位集中力作用時，在任意一點（xk，yk）的i方向上的位移分量及應(yīng)力分量；Γ為彈性體邊界。

無限大地層中裂縫形態(tài)的計算需求解井壁（內(nèi)部邊界）及裂縫面的未知數(shù)。為方便計算，令Δuj=uj（C+）-uj（C-），則由式（6）可得井壁邊界上的積分方程：

式中：uj表示j方向位移，m；Γw表示井壁邊界；Tc表示裂縫面。

結(jié)合式（2）、（5），為提高計算精度，采用二次單元對邊界進行離散化處理，由于水力壓裂裂縫尖端具Δu～有的性質(zhì)［11］，因此，裂縫尖端單元可用二次插值函數(shù)表示為：

根據(jù)式（7）、（9），結(jié)合已知邊界條件，可求得井壁及裂縫面處的位移及應(yīng)力分布。

1.3 應(yīng)力強度因子的計算方法

裂縫尖端相對位移Δu1、Δu2與應(yīng)力強度因子KI、KII之間的關(guān)系為［17］：

式中：Δu1、Δu2為裂縫尖端相對位移，m；KI、KII為應(yīng)力強度因子，Pa·；RΔu、H11、H12、H21、H22為中間計算單位變量。

水力壓裂過程中裂縫以張拉形破壞為主，較少出現(xiàn)純剪切破壞的情況，因此，為避免奇異性，J積分定義如下［18］：

式中：W為應(yīng)變能密度。

J積分與應(yīng)力強度因子KI、KII關(guān)系為［19］：

式中：α11、α12、α22均為在x-y坐標系中計算的柔度分量，這些分量與材料彈性參數(shù)有關(guān)。

將式（10）代入式（12）中，可求解應(yīng)力強度因子KI、KII：

2 定向射孔壓裂條件下裂縫擴展模型的建立及程序編制

2.1 物理模型的建立

在定向射孔的引導(dǎo)下，裂縫沿著射孔方向形成初始裂縫，并在井筒壓力、遠場地應(yīng)力及縫內(nèi)壓力等因素的共同作用下延伸擴展，形成雙翼彎曲縫。為研究裂縫形態(tài)，沿水平方向截取單位厚度的巖層為研究對象，建立定向射孔壓裂條件下裂縫的擴展模型（圖1）。射孔方向與最大主應(yīng)力的夾角為θ，水平最大主應(yīng)力為σH，水平最小主應(yīng)力為σh。

圖1 模型示意圖

2.2 各向異性地層中裂縫擴展準則

各向異性材料裂縫尖端應(yīng)力場的計算公式與各向同性材料存在很大差別，基于各向同性力學所推導(dǎo)的裂縫擴展角計算公式并不適用于各向異性地層中裂縫擴展路徑的計算。最大周向應(yīng)力準則計算裂縫開裂角度簡便，目前在工程上常被應(yīng)用［20］，故采用最大周向應(yīng)力準則計算各向異性地層中裂縫的擴展路徑。

裂縫尖端應(yīng)力場可用應(yīng)力強度因子KI、KII表示為：

式中：r為與裂縫尖端的距離，m；γ為與裂縫尖端的夾角，Re定義為復(fù)數(shù)的實部。

極坐標條件下裂縫尖端的周向應(yīng)力可表示為：

σθ（γ）=σx1sin2（γ）-2τx1y1sin（γ）cos（γ）+

式中：σθ為周向應(yīng)力，Pa。

根據(jù)最大周向應(yīng)力理論，裂縫沿最大周向拉應(yīng)力的方向起裂，因此，可將裂縫擴展的方位角的求解問題轉(zhuǎn)換為帶約束條件的非線性優(yōu)化問題，即：

以上優(yōu)化問題可通過單純形法、大M法或?qū)ε紗渭冃畏ǖ惹蠼狻?/p>

2.3 定向射孔壓裂條件下裂縫發(fā)展形態(tài)的計算程序

基于二次單元的邊界元計算方法可顯著提高計算精度，但其高計算精度是以計算速度為代價的。以系數(shù)矩陣為例，與常單元的邊界元計算方法相比，其系數(shù)矩陣的元素個數(shù)增大了9倍。由此可見，基于二次單元的邊界元計算方法提高了計算的準確性，但是在計算時間上并沒有什么優(yōu)勢。并行計算是提高計算機系統(tǒng)計算速度和處理能力的有效方法之一，其基本思想是將所求解問題分解成若干個子區(qū)域，各子區(qū)域均由一個獨立的處理機處理，從而實現(xiàn)多計算資源的協(xié)同計算［21］。文中邊界元計算時間最長的任務(wù)為系數(shù)矩陣的計算。由式（8）、式（9）可以看出，∫TijujdΓ、∫UijujdΓ、∫Tij，kujdΓ、∫Uij，kujdΓ的計算任務(wù)是相互獨立的，并不需要通過數(shù)據(jù)傳遞以實現(xiàn)數(shù)值計算。因此，可采用并行運算方法將系數(shù)矩 陣 的 計 算 分 為∫TijujdΓ、∫UijujdΓ、∫Tij，kujdΓ、∫Uij，kujdΓ四個子區(qū)域進行，從而在保證精度的前提下提高計算速度。

按照以上理論及方法，編寫了可模擬定向射孔壓裂條件下裂縫發(fā)展形態(tài)的計算程序。模擬過程為計算裂縫的位移場及應(yīng)力場分布，求出應(yīng)力強度因子及裂縫擴展的方位角，并在裂縫尖端處延伸一小段二次單元，更新計算單元系數(shù)矩陣及單元編號，重復(fù)以上步驟，直到裂縫延伸至目標長度為止。

2.4 模型驗證

A.Azhdari等推導(dǎo)了各向異性介質(zhì)中遠場應(yīng)力作用下裂紋的應(yīng)力強度因子解析式［22］，M.Chertov求出了橫向各向同性地層中縫內(nèi)受均勻壓力下裂紋的寬度分布解析式［23］。為驗證所編制程序的正確性，將所計算的數(shù)值解與解析解結(jié)果相對比，計算參數(shù)為：彈性模量Ex=2.877 92 GPa，Ey=1.728 81 GPa，Ez=2.877 92 GPa，vxy=0.393 0，vyz=0.236 3，vzx=0.393 0，Gxy=1.100 0 GPa，Gyz=0.734 5 GPa，Gzx=0.734 5 GPa。計算結(jié)果見圖2，從圖2可以看出，本文所提的邊界元計算結(jié)果與解析解結(jié)果吻合。

圖2 計算結(jié)果對比

3 影響因素分析

為探討各向異性地層中起裂壓力的影響因素，取某煤層氣儲層［24］參數(shù)進行影響因素分析。其計算參數(shù)為：Ex=2.880 00 GPa，Ey=1.730 00 GPa，Ez=2.880 00GPa，vxy=0.393 0，vyz=0.236 0，vzx=0.393 0，Gxy=1.100 0 GPa，Gyz=0.730 0 GPa，Gzx=0.730 0 GPa，σH=19.28 MPa，σh=16.21 MPa。

3.1 彈性各向異性對裂縫形態(tài)的影響

不同彈性模量各向異性比值條件下的裂縫形態(tài)如圖3所示。當定向射孔方向與水平最大主應(yīng)力方向呈一定角度時，裂縫沿射孔方向起裂并延伸一段距離后，在遠場地應(yīng)力作用下逐漸轉(zhuǎn)向水平最大主應(yīng)力方向擴展，形成雙翼彎曲縫［25］。根據(jù)最小能量原理，裂縫沿著阻力最小的方向擴展，當裂縫沿平行于水平最大主應(yīng)力方向擴展時，由于所克服的應(yīng)力為水平最小主應(yīng)力，擴展阻力最小，因此裂縫的擴展方向均由射孔方向逐漸轉(zhuǎn)向水平最大主應(yīng)力方向。與理想的平直雙翼裂縫相比，定向射孔壓裂所形成的“S”形裂縫顯著增加了裂縫與油藏的接觸面積，提高了儲層的動用程度，因此，定向射孔壓裂技術(shù)有利于油藏的高產(chǎn)及穩(wěn)產(chǎn)。

圖3 K E（彈性模量各向異性比值）對裂縫形態(tài)的影響

定義彈性模量各向異性比值KE為Y方向上彈性模量Ey與X方向上彈性模量Ex的比值，顯然比值越大，X方向上與Y方向上的彈性模量差別越大。從圖3可以看出，裂縫Y方向上延伸距離隨著比值的增加而緩慢增大，因此，隨著彈性模量各向異性比值的增加，裂縫轉(zhuǎn)向變緩，轉(zhuǎn)向半徑增大。但增長幅度較小。隨著彈性模量比值的增大，由裂縫、井筒等所產(chǎn)生的誘導(dǎo)應(yīng)力增加，會對井周原始地應(yīng)力場產(chǎn)生了一定的影響，使得近井周區(qū)域水平應(yīng)力差異性減小，裂縫更容易發(fā)生轉(zhuǎn)向。

3.2 射孔角度對裂縫形態(tài)的影響

圖4為不同射孔角度條件下的裂縫形態(tài)。由圖可見，轉(zhuǎn)向半徑隨著射孔角度的增加而增大。根據(jù)最小能量原理，裂縫延射孔方向起裂后均逐漸轉(zhuǎn)向最大主應(yīng)力方向擴展。當射孔方向與水平最大主應(yīng)力方向夾角較小時（小于40°時），裂縫延伸較小距離后即可沿水平最大主應(yīng)力方向擴展，因而轉(zhuǎn)向半徑較小。

圖4 射孔角度對裂縫形態(tài)的影響

不同射孔角度條件下的裂縫寬度見圖5。由圖可見，當射孔方向與水平最大主應(yīng)力方向夾角過大時，裂縫寬度小。射孔方向與水平最大主應(yīng)力夾角過大時（大于40°），裂縫擴展所克服的阻力為水平最大主應(yīng)力和水平最小主應(yīng)力的合力，夾角越大，水平最大主應(yīng)力的分量越大，合力也就越大，因而裂縫寬度減小。在壓裂作業(yè)過程中，由于裂縫的彎曲及寬度減小，沿程摩阻增大，會造成砂堵等復(fù)雜情況，不利于壓裂增產(chǎn)作業(yè)。鑒于此，推薦射孔角度為0～40°。

圖5 射孔角度對裂縫寬度的影響

4 結(jié)論

（1）基于各向異性彈性力學和邊界元方法，建立了各向異性地層中定向射孔壓裂條件下裂縫的擴展模型，并通過最大周向應(yīng)力準則提出了裂縫發(fā)展形態(tài)的計算方法。

（2）基于邊界元法編寫了定向射孔壓裂條件下裂縫發(fā)展形態(tài)的計算程序，采用二次單元及裂縫尖端單元以提高計算精度，通過并行運算提高了系數(shù)矩陣的計算速度，從而在保證精度的前提下縮短了計算時間。

（3）當射孔角度與最大主應(yīng)力方向呈一定角度時，裂縫為一條規(guī)則的“S”形裂縫。隨著彈性模量各向異性比值的增加，裂縫轉(zhuǎn)向半徑略微增大，裂縫轉(zhuǎn)向半徑隨著射孔角度的增大而增加。