考慮公平性的兩階段系統(tǒng)固定成本分攤DEA模型

昂 勝, 范婷婷, 楊 鋒

(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 管理學(xué)院,安徽 合肥 230026)

0 引言

固定成本分攤問題具有很高的現(xiàn)實意義，例如跨國公司需要將信息平臺建設(shè)維護費用和廣告公關(guān)費用等成本在子公司間分攤[1]，商業(yè)銀行總行將建設(shè)成本和系統(tǒng)維護成本在二級分行間分攤[2]。而DEA方法是一種非參數(shù)線性規(guī)劃方法，其權(quán)重選擇具有一定靈活性[3]，且可用于研究可行分攤方案對效率評估的影響[4]，因此利用DEA方法處理固定成本分攤問題成為近年來的研究熱點之一。

固定成本分攤問題不僅存在于多個決策單元之間，也存在于具有多階段生產(chǎn)過程的決策單元內(nèi)部，例如，商業(yè)銀行中各分行的金融部門和投資部門共同在分攤公共信用信息共享的系統(tǒng)成本[5]。在已有關(guān)于兩階段系統(tǒng)固定成本分攤的研究中(如，[5～9])，較少有方法考慮分攤方案的公平性問題。例如，Li等[5]為使決策單元整體和各階段在分攤后均為有效，可能會使得某些決策單元分攤較多的固定成本。Yu等[6]為保證效率不變，可能同樣存在極端分攤的情況。而在實際情況下，這種極端分攤方案并不公平，往往無法被企業(yè)所接受。因此，如何公平地將固定成本分攤給具有兩階段生產(chǎn)過程的決策單元及其各階段是一個具有實際意義的問題。Li等[4]在單階段系統(tǒng)固定成本分攤研究中首次引入非自利原則，認為決策單元在各自所提出的固定成本分攤方案中，其自身分攤的固定成本數(shù)量不應(yīng)小于其他決策單元的分攤數(shù)量，即提出分攤方案的決策單元分攤該方案中最大的固定成本數(shù)量。由于這種對自身的分攤行為滿足非自利原則，因此各決策單元分攤給自身的固定成本可被所有決策單元接受。該原則適用于缺乏集中決策者情形下的資源分配和固定成本分攤等決策問題，可在實際經(jīng)濟環(huán)境中為決策者提供決策支持。本文將非自利原則引入到兩階段系統(tǒng)的固定成本分攤問題中，針對群組式組織結(jié)構(gòu)提出新的兩階段系統(tǒng)固定成本分攤模型。

本文的主要創(chuàng)新工作是在兩階段系統(tǒng)固定成本分攤問題中，考慮公平性因素對分攤方案的影響，通過非自利原則求出整體和階段的固定成本分攤上界，并對分散決策環(huán)境下的群組式組織結(jié)構(gòu)，構(gòu)建新的兩階段系統(tǒng)固定成本分攤模型，使得分攤結(jié)果更為公平。最后本文通過實際算例驗證了新模型的可行性和適用性。

1 方法與模型

1.1 兩階段系統(tǒng)固定成本分攤模型

圖1 考慮固定成本分攤的兩階段系統(tǒng)

根據(jù)Chen等[11]對兩階段系統(tǒng)效率的定義，第一階段和第二階段效率分別為

決策單元的整體效率可表示為兩個階段效率的加權(quán)和，即

有w1+w2=1。則在規(guī)模報酬不變假設(shè)下，可構(gòu)建如下的效率評價模型[9]:

此外，各DMU分攤前的整體效率和階段效率可通過求解令R=0時的模型(1)得到[5]。由于模型(1)僅追求DMUo效率最大化，并未考慮到對其他DMU的成本分攤是否公平，因此該方案可能不會被其他DMU所接受。換句話說，DMUo根據(jù)模型(1)所提出的分攤方案是自利的，該方案可能會損害其他DMU的利益，因此不被其他DMU認可。為了實現(xiàn)更公平的分攤，本文通過非自利原則提出兩階段系統(tǒng)固定成本的分攤方法。

1.2 群組式組織結(jié)構(gòu)的固定成本分攤模型

在實際情況下，具有兩階段系統(tǒng)的決策單元往往具有多個群組。例如，在零件供應(yīng)商和汽車制造商構(gòu)成的多個兩級供應(yīng)商網(wǎng)絡(luò)中，所有零件供應(yīng)商和汽車制造商可分別構(gòu)成供應(yīng)商群組和制造商群組[12]。上述群組式組織結(jié)構(gòu)可通過圖1闡述，即存在若干個兩階段生產(chǎn)系統(tǒng)，且不同生產(chǎn)系統(tǒng)的同一生產(chǎn)階段構(gòu)成群組[12]，每個群組均可以自身整體效率最大化為目標，提出一組分攤方案。但該方案可能僅利于某個群組自身，無法被另一群組接受。在非自利原則下，規(guī)定提出分攤方案的群組要在其方案中分攤最大的固定成本，使得分攤方案并不有利于該群組，因此該群組在其方案中所分攤的固定成本可被另一群組接受。對于包含多個子階段的群組，不僅要保證群組整體的分攤成本滿足非自利原則，即提出分攤方案的群組整體所分攤的總成本不小于其他群組的總成本，也要保證群組各子階段的分攤成本滿足非自利原則，即該群組各子階段分攤的成本不小于其他群組對應(yīng)子階段的成本。對于圖2所示的組織結(jié)構(gòu)，有如下定義：

圖2 群組式組織結(jié)構(gòu)

定義1對于任一群組Mg(g∈G={1,2})所提出的固定成本分攤方案，若Mg分攤的總成本Rg不小于群組Mg′(g′∈G={1,2},g′≠g)的總成本Rg′，且Mg各階段分攤的成本Rgj不小于Mg′對應(yīng)階段的成本Rg′j，即：Rg≥Rg′,Rgj≥Rg′j(g′∈G={1,2},g′≠g,j=1,…,n)，則Mg提出的分攤方案滿足兩階段系統(tǒng)的非自利原則。

定義1表明，相對于其他群組整體和內(nèi)部各階段而言，提出分攤方案的群組Mg整體及其內(nèi)部各階段均分攤該方案中最大的成本數(shù)量，即滿足非自利原則，因此群組Mg分攤給自身的成本可被所有群組認可。而在非自利原則下，群組Mg分攤給自身的成本為Mg所能接受的成本上界，若分攤成本超出此上界，可能會造成Mg效率值進一步降低，對Mg而言是不公平的。

對于群組Mg的整體效率，可根據(jù)Chen等[11]對兩階段系統(tǒng)整體效率的定義方法，定義群組Mg的整體效率為群組內(nèi)部各階段效率的加權(quán)和，其中權(quán)重為各階段的加權(quán)投入與所有階段加權(quán)投入之和的比值。對于圖2所示的組織結(jié)構(gòu)，其群組M1內(nèi)部各階段的權(quán)重為

群組M2內(nèi)部各階段的權(quán)重為

第一階段和第二階段效率分別為

則群組M1的整體效率可表示為

群組M2的整體效率可表示為

σM1，σM2∈[0,1]。對于群組整體效率與群組內(nèi)部各階段效率之間的關(guān)系，有如下定理：

定理1群組整體效率為1當且僅當群組內(nèi)部各階段效率均為1。

根據(jù)以上分析，對于圖2所示的組織結(jié)構(gòu)，以群組M1在非自利原則下提出分攤方案，可構(gòu)建如下的固定成本分攤模型：

此外，對于模型(3)存在以下定理：

定理2模型(3)至少存在一組分攤方案，使得群組M1的整體效率值為1。

定理2表明，至少存在一種群組M1在非自利原則下的分攤方案，該方案可使得群組M1達到整體有效。并且根據(jù)定理1可知，群組M1內(nèi)部各階段也均為有效，即所有決策單元的第一階段均為有效。

類似地，以群組M2在非自利原則下提出分攤方案，可構(gòu)建如下的固定成本分攤模型:

令υm+1R1j=F1j，υm+1R2j=F2j，模型(4)通過Charnes-Cooper變換[13]轉(zhuǎn)化為線性化模型(5):

類似模型(2)，模型(4)存在以下定理：

定理3模型(4)至少存在一組分攤方案，使得群組M2的整體效率值為1。

定理3表明，至少存在一種群組M2在非自利原則下的分攤方案，該方案可使得群組M2達到整體有效。并且根據(jù)定理1可知，群組M2內(nèi)部各階段也均為有效，即所有決策單元的第二階段均為有效。

盡管M1與M2均在非自利原則下給出了分攤方案，但兩種分攤方案可能是不一致的?？紤]到各群組都想分攤盡可能少的固定成本，同時盡可能提高效率，為了實現(xiàn)最終公平的分攤，提出如下模型:

maxβ+γ

令υm+1R1j=F1j,υm+1R2j=F2j，模型(6)通過Charnes-Cooper[13]變換轉(zhuǎn)化為模型(7):

maxβ+γ

值得說明的是，由于線性模型可能存在多解情況，本文求解的固定成本分攤方案存在不唯一性，可進一步借鑒Chu等[8]和Li等[5]的研究獲得一組唯一解。

2 應(yīng)用算例

表1 27家商業(yè)銀行的投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)表

表2 27家商業(yè)銀行分行的成本分攤及效率結(jié)果表

3 結(jié)論

本文針對兩階段系統(tǒng)固定成本分攤問題中的公平性因素對分攤結(jié)果的影響，充分考慮了群組式組織結(jié)構(gòu)情形下各決策單元及群組的分攤預(yù)期，基于非自利原則得到成本分攤上界，并進一步提出新的兩階段系統(tǒng)成本分攤模型，使得分攤方案更具公平性，進而更容易被決策單元及群組所接受。本文的方法能夠更好的實現(xiàn)固定成本在兩階段系統(tǒng)之間以及內(nèi)部的分攤，且充分考慮了實際環(huán)境下的應(yīng)用問題，為現(xiàn)實中的成本分攤問題提供了新思路。此外，由于本文僅基于簡單的兩階段系統(tǒng)結(jié)構(gòu)進行探討，未來研究中可將此方法拓展至更一般的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，如多階段串聯(lián)、并聯(lián)或混聯(lián)結(jié)構(gòu)等。