分層剖析理解水平 有效促進(jìn)意義建構(gòu)

陳巨峰

通過文獻(xiàn)分析、問卷調(diào)查等方法，對小學(xué)五、六年級學(xué)生 “分?jǐn)?shù)意義”的理解水平進(jìn)行了研究，得出小學(xué)高段學(xué)生理解“分?jǐn)?shù)意義”的十個水平層次：“份數(shù)”定義的形式化理解水平1（分?jǐn)?shù)單位對應(yīng)的具體量是單個物體的）;分?jǐn)?shù)的“數(shù)概念”認(rèn)識水平;分?jǐn)?shù)單位的理解水平;“份數(shù)”定義的形式化理解水平2（分?jǐn)?shù)單位對應(yīng)的具體量是多個物體的）;單位“1”深層次理解水平;“份數(shù)”定義抽象化理解水平;假分?jǐn)?shù)意義理解水平;分?jǐn)?shù)的無量綱性和量綱性理解水平;自主建構(gòu)單位“1”水平;“份數(shù)”定義、“商”定義、“比”定義綜合理解水平。根據(jù)分?jǐn)?shù)意義的理解水平層次和學(xué)生在理解上存在的問題，對分?jǐn)?shù)意義教學(xué)提出若干建議。

分?jǐn)?shù)一詞來自拉丁文的“fangere”，它的原意是分開，通常用來描述一個分開的全體的各個部分。作為數(shù)學(xué)概念的分?jǐn)?shù)，由于其表征形式的不同而產(chǎn)生多種意義：圖形中整體的一部分（即連續(xù)量中“部分與整體”關(guān)系）;子集與集合關(guān)系（離散量）;除法中等分除的商;小數(shù);數(shù)軸上的一點(diǎn);比（比值）。張奠宙將分?jǐn)?shù)定義概括為以下四種：“份數(shù)”定義：分?jǐn)?shù)是一個單位均分之后中的一份或幾份。“商”定義：分?jǐn)?shù)是兩個整數(shù)相除的商?！氨取倍x：分?jǐn)?shù)是q與p之比。公理化定義：有序的整數(shù)對：（p，q），其中，p≠0。

認(rèn)識分?jǐn)?shù)是小學(xué)生對數(shù)概念的一次重要擴(kuò)展。因分?jǐn)?shù)本身比較抽象，又兼具“量綱性”和“無量綱性”的特征，因此分?jǐn)?shù)意義歷來是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個重難點(diǎn)。分析現(xiàn)行使用的六套新課標(biāo)教材發(fā)現(xiàn)：基本按兩段式編排分?jǐn)?shù)，都以“份數(shù)”定義形式來揭示意義;通過“分?jǐn)?shù)與除法”來進(jìn)一步認(rèn)識分?jǐn)?shù)的“商”定義，但沒有出現(xiàn)“商”定義這樣的名稱;在六年級時都安排“比的意義”，溝通分?jǐn)?shù)、除法和比三者間的關(guān)系。

縱觀我國各個時期的教學(xué)綱要，都明確提出要重視對分?jǐn)?shù)意義的理解，但缺少具體、深入的解釋說明。為準(zhǔn)確了解學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)意義不同的理解水平層次，促進(jìn)學(xué)生對分?jǐn)?shù)意義的有效建構(gòu)，我們選擇了寧波和杭州兩所學(xué)校五、六年級的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查研究。

一、開展實(shí)證研究，分層解剖學(xué)生的理解水平

（一）研究的過程

參與研究的五年級學(xué)生剛學(xué)習(xí)了“分?jǐn)?shù)的意義”，六年級學(xué)生學(xué)習(xí)了“比的意義”。通過問卷的形式測查五、六年級學(xué)生對分?jǐn)?shù)意義的理解具體情況，并將此作為劃分分?jǐn)?shù)意義理解水平層次的事實(shí)依據(jù)。

遵循盡可能體現(xiàn)教材中呈現(xiàn)的不同水平層次的習(xí)題的原則，選取了14組有代表性的測試題，并按照學(xué)生解決問題的難易程度和題目本身結(jié)構(gòu)的復(fù)雜程度進(jìn)行分層排序，編擬成測試卷。測試時間為40分鐘。在測試過程中不作任何解釋和說明，學(xué)生獨(dú)立完成。對閱卷過程中發(fā)現(xiàn)的一些問題，進(jìn)行了跟蹤訪談。

測試后共收到有效測試卷184份（五年級91份、六年級93份）。之后對這184份測試卷進(jìn)行了定性分析和定量統(tǒng)計(jì)，依據(jù)答題正確的百分率和分?jǐn)?shù)不同定義的難易程度，得出小學(xué)生理解“分?jǐn)?shù)意義”的十個能力水平層次。

第一水平：“份數(shù)”定義的形式化理解水平1（分?jǐn)?shù)單位對應(yīng)的具體量是單個物體的）

這一水平是理解單位“1”是連續(xù)量的份總關(guān)系。達(dá)成標(biāo)志是能借助實(shí)物或直觀圖形理解分?jǐn)?shù)的“份數(shù)”定義。即能根據(jù)直觀圖示用分?jǐn)?shù)表示部分和整體的關(guān)系;在給定單位“1”的情況下，能根據(jù)分?jǐn)?shù)用涂色等方法表示部分和整體的關(guān)系。

第一水平層次的題：

題1.1—1.3：用分?jǐn)?shù)表示下面各圖的陰影部分或打“？”的部分。

題2.1—2.3：把每幅圖看作單位“1”，用涂陰影的方法表示出對應(yīng)的分?jǐn)?shù)。

從測試結(jié)果來看，除題1.2外其余各題的正確率都是100%。題1.2的錯誤原因主要是：（1）受非智力因素影響造成審題、數(shù)小立方體個數(shù)不夠仔細(xì)而出錯。（2）認(rèn)為是長方體中涂色的“面”和總數(shù)間的關(guān)系，而對長方體的面的總數(shù)又不清楚而導(dǎo)致錯誤。總體來說，五、六年級學(xué)生在形式化角度理解分?jǐn)?shù)的“份數(shù)”定義水平層次上達(dá)到了較高的水準(zhǔn)。

第二水平：分?jǐn)?shù)的“數(shù)概念”認(rèn)識水平

這一水平的達(dá)成標(biāo)志是知道分?jǐn)?shù)和整數(shù)、小數(shù)一樣能表示數(shù)量的多少，認(rèn)識到分?jǐn)?shù)也是一種數(shù)，知道分?jǐn)?shù)的各部分名稱，能結(jié)合具體情境感知分?jǐn)?shù)有大有小。

第二水平層次的題：

題13.1：

在下面的選項(xiàng)中，你認(rèn)為哪些是數(shù)，把序號填在括號里。（? ）

在上面這些分?jǐn)?shù)中最大的是（? ），最小的是（? ）。

題13.1是一道多項(xiàng)選擇題，正確的答案是A、C、E、F。根據(jù)第二水平的達(dá)成標(biāo)志，我們將選擇了E、F或EF的都算正確，然而正確率低得讓人吃驚，五年級僅為62.6%，六年級也只有81.7%。題3從正確率看六年級反而要低于五年級，錯誤主要集中在分?jǐn)?shù)線的名稱，如寫成分號、分線等。題5要求填寫最大的和最小的分?jǐn)?shù)。此兩題五年級的正確率分別是86.8%和 92.3%，六年級分別是98.9%和90.3%。因本水平層次僅要求學(xué)生能感知分?jǐn)?shù)有大小，故測試后對錯誤的學(xué)生進(jìn)行了訪談。訪談問題是：你認(rèn)為這些分?jǐn)?shù)有大小嗎？所有學(xué)生的回答都是有大小。因此，僅從能感知分?jǐn)?shù)有大小這個角度來講，此題的正確率均為100%。

第三水平：分?jǐn)?shù)單位的理解水平

這一水平的達(dá)成標(biāo)志是：認(rèn)識分?jǐn)?shù)單位，知道一個分?jǐn)?shù)是由若干個分?jǐn)?shù)單位累加而成的。

第三水平層次的題：

分?jǐn)?shù)單位就是分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位，但它和整數(shù)、小數(shù)的計(jì)數(shù)單位有很大的不同。學(xué)生在理解分?jǐn)?shù)單位時相對要難一些。從測查結(jié)果來看，六年級比五年級正確率稍高，學(xué)生中存在的錯誤情況基本相似?？赡苁苷麛?shù)計(jì)數(shù)單位負(fù)遷移的影響，部分學(xué)生認(rèn)為分母就是分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位。對一個分?jǐn)?shù)包含幾個分?jǐn)?shù)單位的理解都達(dá)到100%。在回答“你還知道的分?jǐn)?shù)單位有哪些”，多數(shù)學(xué)生能寫出三個及更多，98%的學(xué)生用上了“……”表示寫不完，說明對分?jǐn)?shù)計(jì)數(shù)單位的個數(shù)是無限多的理解都比較到位。13.4是一道選擇題，正確答案是ACD。五、六年級的正確率分別為69.2%和81.7%，但從本水平層次的達(dá)成標(biāo)志來看，選擇了C的都可算作正確，據(jù)此統(tǒng)計(jì)兩個年級的正確率分別為90.1%和95.5%。

第四水平：“份數(shù)”定義的形式化理解水平2（分?jǐn)?shù)單位對應(yīng)的具體量是多個物體的）

這一水平是理解單位“1”為離散量的份總關(guān)系。達(dá)成標(biāo)志是能借助實(shí)物或直觀圖形理解分?jǐn)?shù)的“份數(shù)”定義。和第一水平一樣包括兩個層面，不同的是這里的分?jǐn)?shù)單位對應(yīng)的具體量是多個物體。

第四水平層次的題：

題1.4 — 1.5：用分?jǐn)?shù)表示下面各圖的陰影部分或打“？”的部分。

題2.4—2.6：? 把每幅圖看作單位“1”，用涂陰影的方法表示出對應(yīng)的分?jǐn)?shù)。

第四水平層次題各年級正確率（%）

第五水平：單位“1” 深層次理解水平

這一水平達(dá)成標(biāo)志：知道一個物體或一個整體都能表示單位“1”;能結(jié)合直觀圖示或在具體情境中理解分?jǐn)?shù)對應(yīng)的單位“1”。

從測查結(jié)果來看，學(xué)生對份總關(guān)系中的單位“1”認(rèn)識較準(zhǔn)確。兩個年級學(xué)生回答題8.1.1、8.1.2的準(zhǔn)確率都是100%，而題8.1.3正確率分別是：83.5%和92.5%，可見學(xué)生對份總關(guān)系的理解比部分和部分關(guān)系的理解更為深刻。從題8.2—8.5的測查結(jié)果，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在具體情境中理解單位“1”的準(zhǔn)確性受語句表述方式的影響。在用間接及倒敘方式表述分?jǐn)?shù)的情境中，學(xué)生理解單位“1”的準(zhǔn)確率較低，在理解具體量中的單位“1”時準(zhǔn)確率最低。另外，在表述單位“1”時還存在語言不完整、不規(guī)范的現(xiàn)象。

第六水平：“份數(shù)”定義抽象化理解水平

這一水平的達(dá)成標(biāo)志是：能用語言表述分?jǐn)?shù)的“份數(shù)”定義;理解分?jǐn)?shù)的分子、分母表示的含義。

第六水平層次的題：

根據(jù)測查結(jié)果，發(fā)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)語言表述能力普遍較弱。存在的主要問題有：（1）表述不完整。如分母表示總份數(shù)或分成幾份、分子表示有幾份等。（2）用詞不規(guī)范。如把“平均分”說成“分成”;“表示這樣的幾份”說成“取其中的幾份”。（3）對分母表示的含義存在片面性或錯誤性理解。如認(rèn)為分母就是分?jǐn)?shù)單位、單位“1”或總數(shù)。忽略以上存在的“表述不完整”和“用詞不夠規(guī)范”的因素，看題14的答題情況，發(fā)現(xiàn)兩個年段學(xué)生在該水平層次還是達(dá)到了較好的情況。由此得到的啟示：用抽象的語言概括分?jǐn)?shù)中的各部分含義對學(xué)生來說有一定的難度，在建立正確的概念后，教師要重視學(xué)生語言表述的完整性、規(guī)范性的訓(xùn)練。

第七水平：假分?jǐn)?shù)意義理解水平

這一水平的達(dá)成標(biāo)志是：能根據(jù)直觀圖示寫出假分?jǐn)?shù);能在數(shù)軸上表示出假分?jǐn)?shù);能用圖示或語言表述指定的假分?jǐn)?shù)的含義。

第七水平層次的題：

題1.6：用分?jǐn)?shù)表示下圖的陰影部分。

以一個圓為單位“1”

第八水平：分?jǐn)?shù)的無量綱性和量綱性理解水平

這一水平達(dá)成標(biāo)志：知道分?jǐn)?shù)能表示具體量和分率;能根據(jù)具體情境區(qū)分一個分?jǐn)?shù)表示的是量還是率。

第八水平層次的題：

題13.5選一選

⑤學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)，發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)有多種含義，你認(rèn)為下面哪些說法是對的（? ）

A.分?jǐn)?shù)能表示“部分”和“整體”間的關(guān)系

B.分?jǐn)?shù)能表示兩個量相加

C.分?jǐn)?shù)能表示“部分”和“部分”間的關(guān)系

D.分?jǐn)?shù)能表示兩個量相減

E.分?jǐn)?shù)能表示兩個量相乘

F.分?jǐn)?shù)能表示兩個量相除

G.分?jǐn)?shù)能表示兩個量的比

H.分?jǐn)?shù)可以表示一個具體量

題13.3.1的正確答案是C。從測查結(jié)果看，兩個年級的正確率都略高于50%。錯誤的答案集中在“B”，兩個年級選B的百分比分別是：32.3%和33.6%。正確率都比較低。五年級中12%的學(xué)生此題未答。錯誤主要有以下幾種：認(rèn)為是有、無單位名稱的區(qū)別;認(rèn)為是放在句末和句中的區(qū)別;認(rèn)為單位“1”不同的區(qū)別：前者的單位“1”是“一盒月餅”，后者的一個單位“1”是未知的，可以是很多東西。題13.3.3用指定的分?jǐn)?shù)從具體量和分率角度分別說一句話。題13.5是多項(xiàng)選擇，根據(jù)本水平層次標(biāo)準(zhǔn)，以選擇了H和A＼C為正確標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)的。從這幾題發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對分?jǐn)?shù)表示具體量的理解不如對分率的理解來得深刻。

第九水平：自主建構(gòu)單位“1”水平

這一水平的達(dá)成標(biāo)志是：能根據(jù)需要自主確定單位“1”的量。

第九水平層次的題：

題9：

根據(jù)下面的圖形，你能找到哪些分?jǐn)?shù)，寫一寫你找到的分?jǐn)?shù)。（用舉例的格式寫）

本水平層次的正確率，我們以選擇了3種不同的量為單位“1”的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。五、六年級的正確率分別是31.9%和46.2%。

第十水平：“份數(shù)”定義、“商”定義、“比”定義綜合理解水平

這一水平達(dá)成標(biāo)志：能從“份數(shù)”定義、“商”定義、“比”定義多維度表述同一分?jǐn)?shù)的不同含義。

第十水平層次的題：

題13.5

⑤學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)，發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)有多種含義，你認(rèn)為下面哪些說法是對的（? ）

A.分?jǐn)?shù)能表示“部分”和“整體”間的關(guān)系

B.分?jǐn)?shù)能表示兩個量相加

C.分?jǐn)?shù)能表示“部分”和“部分”間的關(guān)系

D.分?jǐn)?shù)能表示兩個量相減

E.分?jǐn)?shù)能表示兩個量相乘

F.分?jǐn)?shù)能表示兩個量相除

G.分?jǐn)?shù)能表示兩個量的比

H.分?jǐn)?shù)可以表示一個具體量

題14：根據(jù)你對分?jǐn)?shù)含義的理解，請你用不同的方法解釋下面兩個分?jǐn)?shù)的含義。（指向從“份數(shù)”定義、“商”定義、“比”定義三個維度描述分?jǐn)?shù)的含義）

題13.5是一道多項(xiàng)選擇題，以選擇了A、C、F、G為正確答案進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。題14是以“能根據(jù)指定的分?jǐn)?shù)從‘份數(shù)定義、‘商定義、‘比定義三個維度表述同一分?jǐn)?shù)的不同含義”為正確標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)的。五年級的學(xué)生因還未學(xué)習(xí)“比”，所以涉及“分?jǐn)?shù)與比”內(nèi)容的正確率為0。而六年級學(xué)生在題14的正確率僅為26.9%，讓人感到很意外。

（二）得到的結(jié)論

1.分?jǐn)?shù)意義理解的深刻性與年級發(fā)展方向是一致的

對比五、六年級各水平層次的達(dá)成率（見下表），橫向觀察發(fā)現(xiàn)，各年級的達(dá)成率由低水平層次向高水平層次逐步遞減，前5個水平層次的達(dá)成率相對較好，水平八起達(dá)成率在60%以下，說明學(xué)生對理解分?jǐn)?shù)的無量綱性和量綱性、自主建構(gòu)單位“1”、綜合理解分?jǐn)?shù)含義的能力普遍較弱?？v向觀察，各水平層次的達(dá)成率六年級的均高于五年級。說明學(xué)生對分?jǐn)?shù)意義理解的深刻性與年級發(fā)展方向一致。

2.“份數(shù)”定義理解的深刻性要高于“商”定義和“比”定義的理解

從形式化角度看，學(xué)生單項(xiàng)理解 “份數(shù)”定義、“商”定義、“比”定義的能力差不多。但從抽象化角度比較，“份數(shù)”定義理解的深刻性要明顯高于其他兩種。根據(jù)題14的測查結(jié)果，在解釋一個分?jǐn)?shù)的含義時，95%的學(xué)生能用“份數(shù)”定義表述分?jǐn)?shù)的含義，30%的學(xué)生能用“商” 定義或“比”定義表述分?jǐn)?shù)含義，能從三種定義的角度全面解釋分?jǐn)?shù)含義的就僅有26.9%的學(xué)生了。在理解分?jǐn)?shù)的無量綱性時，學(xué)生對分?jǐn)?shù)表示部分和整體關(guān)系理解的深刻性要高于對分?jǐn)?shù)表示部分和部分關(guān)系的理解。這在題5.2、題8.1、題13.5、題9的測查結(jié)果中都有體現(xiàn)。

二、研究啟示教學(xué)，促進(jìn)意義深度建構(gòu)

啟示一：重視“商”定義的教學(xué)

“份數(shù)”定義是從表示兩個量之間關(guān)系的層面揭示分?jǐn)?shù)的含義，而分?jǐn)?shù)還表示兩個整數(shù)相除（除數(shù)不為0）的商，“商”定義可以說是更深刻、更概括地揭示了分?jǐn)?shù)的一般含義。可測查結(jié)果顯示學(xué)生對“份數(shù)”定義理解的深刻性要高于對“商”定義的理解;分?jǐn)?shù)的數(shù)概念認(rèn)識不足;分?jǐn)?shù)無量綱性理解的深刻性要高于量綱性的理解。這些結(jié)果都說明學(xué)生對“商”定義的理解非常不足。為什么會這樣？原因之一：教材編排的影響。現(xiàn)行六套新課標(biāo)教材都是從“份數(shù)”定義引入分?jǐn)?shù)，對于“份數(shù)”定義有明確的表述。在“份數(shù)”定義之后，教材編排了“分?jǐn)?shù)與除法”的學(xué)習(xí)內(nèi)容，但沒有明確指出這是分?jǐn)?shù)另一層面的含義。教材中編排“份數(shù)”定義的習(xí)題數(shù)量也遠(yuǎn)超“商”定義的。原因之二：教師認(rèn)識的不足。教師似乎歷來重視對分?jǐn)?shù)的“份數(shù)”定義的教學(xué)，“分?jǐn)?shù)意義”是各級公開課中的熱門課例，而“商”定義的教學(xué)在公開課中鮮有身影。從非正式調(diào)查發(fā)現(xiàn)，部分教師尤其年輕教師對分?jǐn)?shù)意義的理解就不夠全面，簡單地認(rèn)為“份數(shù)”定義就是分?jǐn)?shù)意義的全部，有些雖知道不是全部但簡單地認(rèn)為“份數(shù)”定義比“商”定義更重要。重視“商”定義的教學(xué)是從計(jì)算需要的角度，從數(shù)學(xué)本質(zhì)內(nèi)部理解分?jǐn)?shù)的起源;要讓學(xué)生理解分?jǐn)?shù)和整數(shù)、小數(shù)一樣也是一種數(shù)，每個分?jǐn)?shù)都能在數(shù)軸上找到一個對應(yīng)的點(diǎn)，從而建構(gòu)完整的數(shù)概念;幫助學(xué)生明白分?jǐn)?shù)能表示事物的數(shù)量，因此在解決問題時先要區(qū)分所給的分?jǐn)?shù)信息是無量綱性還是量綱性的。重視“商”定義的教學(xué)，從兩數(shù)相除得到的商可以小于1、等于1及大于1，有助于學(xué)生自然地理解假分?jǐn)?shù)的意義。由“份數(shù)”定義到“商”定義，是數(shù)系的擴(kuò)充，對學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)來說這是一次跨越、一次升華。“商”定義的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生更本質(zhì)、更深刻、更全面地理解分?jǐn)?shù)的含義。

啟示二：重視深層次理解單位“1”能力的培養(yǎng)

單位“1”是指均分的整體，可以是一個物體，也可以是一些物體。理解單位“1”對理解分?jǐn)?shù)含義有著直接影響。從測查結(jié)果發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對單位“1”的理解不夠深入。為促進(jìn)學(xué)生對單位“1”的深度理解，建議在教學(xué)中關(guān)注以下幾點(diǎn)。

1.開展找單位“1” 的針對性訓(xùn)練

根據(jù)測查卷題8.1—8.5，發(fā)現(xiàn)學(xué)生理解單位“1”的能力相對較弱。在具體情境中理解單位“1”的準(zhǔn)確性受語句表述方式的影響。在用間接及倒敘方式表述分?jǐn)?shù)的情境中，理解的準(zhǔn)確率較低;在理解具體量中的單位“1”時準(zhǔn)確率最低。究其原因，部分學(xué)生是用機(jī)械的辦法——根據(jù)“是”“比”字后面的量來確定單位“1”的量。當(dāng)表述方式發(fā)生變化時，就不能準(zhǔn)確地找到單位“1”了。尤其當(dāng)單位“1”的量是隱藏時就更找不到了。針對此病癥，開出的藥方是：找單位“1”專項(xiàng)訓(xùn)練。在教學(xué)中要重視引導(dǎo)學(xué)生正確理解情境中分?jǐn)?shù)的含義，正確理解均分的整體，開展有針對性的找單位“1”的訓(xùn)練。具體訓(xùn)練題型可以參考測查卷中的題8.1—8.5。

2.明確數(shù)軸和假分?jǐn)?shù)中單位“1”的量

根據(jù)測查卷題5，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在數(shù)軸上找分?jǐn)?shù)對應(yīng)點(diǎn)出錯率較高，分析后發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生是把數(shù)軸和線段混淆在一起，受線段的負(fù)遷移影響，把所給的數(shù)軸看作了整體，找錯了單位“1”。事后個別訪談了部分學(xué)生，當(dāng)告知單位“1”指的是0～1的這部分時，學(xué)生也能順利地找到對應(yīng)的分?jǐn)?shù)。因此，教學(xué)時要指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識數(shù)軸，明確數(shù)軸上的單位“1”。

3.加強(qiáng)培養(yǎng)自主建構(gòu)單位“1”的能力

根據(jù)測查卷題9，發(fā)現(xiàn)學(xué)生自主建構(gòu)單位“1”的能力很弱，五、六年級的正確率僅為31.9%和46.2%。培養(yǎng)自主建構(gòu)單位“1”的能力有助于促進(jìn)對分?jǐn)?shù)“比”定義的理解?！氨取倍x和“份數(shù)”定義是相通的，表示的都是兩個量之間的關(guān)系，但“比”定義是“份數(shù)”定義的拓展?！胺輸?shù)”定義指一個整體均分后，得到一個分?jǐn)?shù)單位，表示這樣幾個分?jǐn)?shù)單位的數(shù)。在“份數(shù)”定義學(xué)習(xí)時學(xué)生容易形成分?jǐn)?shù)僅表示份總關(guān)系的思維定式。“比”定義是將兩個量的關(guān)系從分總關(guān)系拓展到分總、部分與部分的關(guān)系，幫助學(xué)生建立更完整的分?jǐn)?shù)意義的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。建議在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生多角度靈活建構(gòu)單位“1”的能力，可以參考題9的模式。

綜上所述，分?jǐn)?shù)意義理解水平層次的劃分，為準(zhǔn)確了解學(xué)生在分?jǐn)?shù)意義學(xué)習(xí)時達(dá)到的理解水平，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在分?jǐn)?shù)意義學(xué)習(xí)上存在的不足提供了一個明確的依據(jù)。分?jǐn)?shù)意義的十個理解水平，將指引教師更全面、系統(tǒng)、有序地開展分?jǐn)?shù)意義的教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生對分?jǐn)?shù)意義的有效建構(gòu)。

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