水下錨索動力響應(yīng)分析及索力識別方法研究1)

韓飛 段尊義

(西北工業(yè)大學(xué)力學(xué)與土木建筑學(xué)院,西安 710129)

引言

水下錨索作為浮式平臺、風(fēng)機、以及懸浮隧道[1]等海洋建筑結(jié)構(gòu)的重要支撐和錨固構(gòu)件,對于實現(xiàn)整個體系的穩(wěn)定起著重要作用[2-3].由于錨索阻尼、質(zhì)量和剛度較小,且長期面臨著波、浪、流等海洋環(huán)境荷載的作用,因此極易在環(huán)境荷載作用下發(fā)生振動.可見,明晰其動力學(xué)行為是保證結(jié)構(gòu)乃至整個體系安全性和適用性的關(guān)鍵.

不同于空氣中的拉索,錨索在水體中的振動具有典型非線性特征,容易產(chǎn)生渦激振動[4]、參數(shù)振動[5]等非線性振動現(xiàn)象[6],因此有必要準(zhǔn)確掌握其非線性動力特性.在對錨索展開動力分析時,首先需要確定其動力學(xué)模型.現(xiàn)有研究工作通常采用彈簧模型[7-9]、張緊弦模型[10-11]以及三維有限元[12-15]3 種模型來對錨索進(jìn)行動力學(xué)建模.這些模型在對懸浮隧道系統(tǒng)進(jìn)行整體分析時具有一定可行性.然而在研究錨索的局部振動問題時,彈簧和張緊弦模型過于簡單,難以準(zhǔn)確描述錨索的動力學(xué)行為;整體有限元模型雖然能夠得到可靠的計算結(jié)果,但分析效率低、不便于批量化計算.由于錨索本身具有一定的彎曲剛度,尤其當(dāng)錨索長度較短時,彎曲剛度對結(jié)構(gòu)動力特性的影響將不能忽略.為了充分考慮錨索彎曲剛度、垂度、以及邊界約束條件的影響,一個可行的方案是采用軸向受拉的歐拉梁模型進(jìn)行建模.鑒于此,本文將采用歐拉梁模型對錨索進(jìn)行建模,建立考慮錨索彎曲剛度、垂度、請教以及內(nèi)阻尼等多因素影響的運動微分方程,為實現(xiàn)錨索的精細(xì)化動力學(xué)分析奠定基礎(chǔ).

在求解錨索運動微分方程時,主要解法可分為時域法和頻域法兩種.時域法主要有集中質(zhì)量法[16-17]、有限差分法[18]、有限元法[19]以及間斷伽遼金法等[20-21];而頻域法通常將錨索視作一分布參數(shù)系統(tǒng),通過攝動法得到響應(yīng)的攝動解.概括而言,時域分析方法放松了對初始解的要求,其本質(zhì)是通過犧牲計算效率來降低方程求解的難度;頻域法則在派生解的基礎(chǔ)上進(jìn)行攝動,通常只需展開少數(shù)項即可獲得令人滿意的精度.綜上可見,相比于時域法,頻域解法的穩(wěn)定性更好、計算效率更高,因此本文將繼續(xù)采用頻域方法來研究錨索的非線性動力響應(yīng),推導(dǎo)錨索自由振動的攝動解.

在海洋工程結(jié)構(gòu)的服役期間,由于環(huán)境荷載多變、復(fù)雜,設(shè)計和研究人員難以關(guān)注結(jié)構(gòu)在每一時刻下的力學(xué)行為,因此需要針對那些能夠直接或間接反映整個結(jié)構(gòu)安全性和適用性的參數(shù)或指標(biāo)進(jìn)行重點監(jiān)測評估.索力是索纜承重結(jié)構(gòu)的一個重要設(shè)計參數(shù)和監(jiān)測指標(biāo),它能夠為錨索提供顯著的結(jié)構(gòu)剛度,是保證整個系統(tǒng)安全運營的關(guān)鍵.索力的損失會導(dǎo)致錨索錨固或承重能力的下降甚至失效,從而影響整個系統(tǒng)的安全性,因此有必要對錨索索力進(jìn)行實時監(jiān)測.在海洋環(huán)境中想要直接測量索力是困難的,和土木工程結(jié)構(gòu)類似,一個通用且可靠的方法是振動法.該方法依據(jù)索頻和索力之間的函數(shù)關(guān)系,通過結(jié)構(gòu)的實測加速度響應(yīng)求得系統(tǒng)自振頻率,最后根據(jù)索力識別公式反算索力.該方法物理意義明確,應(yīng)用起來方便可靠,但當(dāng)索長較大、垂度效應(yīng)明顯時,傳統(tǒng)索力識別公式將會帶來顯著的誤差,這一點在下文數(shù)值案例分析中也得到了印證,因此需要研究和提出更加準(zhǔn)確、可靠的索力識別公式.

綜上,雖然研究者們已經(jīng)對水下錨索展開了不少研究,也取得了一定成果,但動力學(xué)建模和求解方法的精度或效率有限,難以滿足海洋工程結(jié)構(gòu)的快速、精細(xì)化分析需求,亦無法準(zhǔn)確揭示此類結(jié)構(gòu)在復(fù)雜荷載作用下的非線性動力學(xué)特性.鑒于此,本文旨在形成一種錨索非線性動力特性的快速分析方法;推導(dǎo)錨索自由振動響應(yīng)的攝動解;給出考慮垂度影響后錨索索頻的解析表達(dá)式;依此對傳統(tǒng)索力識別公式進(jìn)行修正,提出考慮錨索彎曲剛度和垂度影響的索力識別公式.

1 力學(xué)模型

如圖1 所示,在對一長為l的錨索進(jìn)行動力分析時,通常將其視為兩端鉸接的小垂度歐拉梁.EI,m?,A,H,θ 分別為錨索的截面慣性矩、單位長度線質(zhì)量、以及有效截面積,索力以及傾角.y(x) 和u(x) 分別為錨索的初始構(gòu)型和振動位移.一般地,傾角為θ的錨索在速度為v的常流作用受到的拖拽力,錨索在次作用下會產(chǎn)生新的變形(垂度),此時錨索由于彈性伸長將產(chǎn)生附加索力H*.由于這部分附加索力是靜力,因此這一部分效應(yīng)可以一并考慮到初始索力H中去.

圖1 小垂度錨索力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of shallow sagged anchor cables

由于強大的軸向拉力的存在,錨索的初始垂度通常較小,因此初始構(gòu)型通常采用二次拋物線y(x)=4ex/[l(l-x)] 來模擬[22],其中垂跨比e=m?glcosθ/(8H),g為重力加速度.則在水流作用下,錨索發(fā)生自由振動運動微分方程為[23-24]

其中c為錨索的黏滯阻尼系數(shù),h(x,t) 表示錨索在運動過程中由于彈性伸長引起的附加索力,其表達(dá)式為[25]

其中CD,ρw,和Dt分別為拖拽力系數(shù),水體密度,以及錨索直徑,Cm為水體附加質(zhì)量系數(shù).

2 理論方法

2.1 自由振動響應(yīng)求解

式(1)為一具有平方非線性項和積分項的4 階非線性偏微分方程,其直接求解將十分困難,因此通常的處理辦法是用伽遼金離散法[28]將其轉(zhuǎn)化為單自由度的常微分方程,即假設(shè)解有如下形式

其中qn(t) 為正則坐標(biāo),?n(x) 為試函數(shù),取結(jié)構(gòu)正則化后第n階模態(tài)振型.

對應(yīng)于圖1 的振型函數(shù) ?n(x) 可采用標(biāo)準(zhǔn)正弦函數(shù)來模擬,即

事實上 ?n(x) 的選擇應(yīng)盡量選用力學(xué)模型的精確振型函數(shù).例如,若錨索上端連接的浮體無法視作剛體時,譬如懸浮隧道的管體,采用滑動-彈性支持則能更好的詮釋錨索的實際約束條件.那么對于上端彈性支承的錨索,其振型函數(shù) ?n(x) 應(yīng)采用下式[29]

若要獲得錨索的自振頻率和響應(yīng),首先需要式(1)分離變量,將式(4)代入式(1)可得

可見,由于式(7)中積分項(附加索力)和平方項(水體阻力)的存在,式(7)為一耦合方程.為了進(jìn)一步將其化為單自由度系統(tǒng),需要對方程中的非線性項進(jìn)行線性化處理.為此,本文采用能量守恒原理,即利用非線性力在一個周期內(nèi)做的功與線性化后的力做功相等的原理,可將第n階線性化后的水體阻尼力和附加索力分別寫為

根據(jù)二者在一個周期內(nèi)與其非線性力做的功相等的原理,有

對于式(7)描述的非線性系統(tǒng),令c==h=0,可得對應(yīng)派生系統(tǒng)的運動方程為

將上式代入式(7)并利用式(11)～ 式(14)有

利用振型的正交性,式(16) 兩端同時乘以第m階模態(tài)振型 ?m(x) 并在 (0,l) 范圍內(nèi)積分得

當(dāng)小參數(shù) ε=0 時,式(18)的解為

根據(jù)平均化方法,幅值 α 和相位 β 應(yīng)滿足

進(jìn)而可得

其中,α0和 β0為初始幅值和相位,二者由初始位移v0和速度確定.

2.2 錨索索力精細(xì)化識別方法

傳統(tǒng)索力識別公式未能考慮索的垂度對頻率的影響,得到的索力是不準(zhǔn)確的,下文的案例分析也表明了采用傳統(tǒng)索力識別公式會導(dǎo)致上百千牛的誤差.鑒于此,本節(jié)將給出考慮垂度影響后的修正索力識別公式,為此類結(jié)構(gòu)的索力精確識別提供理論依據(jù).

式(19)定量描述了由于垂度引起的幾何非線性對系統(tǒng)頻率的影響,再次將其寫出

式中,η γn為幾何非線性對系統(tǒng)自振頻率的影響,其中 η 與結(jié)構(gòu)的垂度有關(guān),γn與派生系統(tǒng)的第n階振型 ?n有關(guān).需要注意的是,在應(yīng)用式(25)中的頻率單位為rad/s.

實際工程中廣泛采用的索力測試方法為振動法,該方法依據(jù)索頻和索力的一一對應(yīng)關(guān)系,通過加速度傳感器或機器視覺手段得到拉索的自振頻率,進(jìn)而由自振頻率反解出索力[30].當(dāng)慮拉索彎曲剛度時,由式(15)表征的兩端鉸支彈性索的索力可表示為

其中 ωn為系統(tǒng)第n階無阻尼自振頻率.

式(26)即為實際工程中通常采用的索力識別公式,事實上它是基于簡支梁模型給出的,未考慮垂度效應(yīng)對頻率的影響.換言之,錨索的實測頻率由于包含了垂度的影響,并不能直接滿足式(26),由此得出的索力H是不準(zhǔn)確的.

上式即為本文建議的錨索索力精細(xì)化識別公式,其中 γn可由式(14)求得.特別地,對于兩端鉸支邊界有

其他邊界條件也可依據(jù)式(14)預(yù)先求出.而參數(shù) η 由于和索力H相關(guān),因此嚴(yán)格意義上式(27)需要進(jìn)行迭代運算方可解得準(zhǔn)確的H,經(jīng)試驗,通常僅需迭代兩步即可求得準(zhǔn)確結(jié)果.考慮到實際情況中遠(yuǎn)小于H,H微小的變化對 η 之值的影響很小,因此在實際應(yīng)用時,方便起見可采用設(shè)計索力H0,或?qū)?ω0n代入式(26)獲得一個估計的索力值,進(jìn)而求得 η .

綜上,錨索的索力識別步驟可歸納為:

(1) 對錨索響應(yīng)時程做傅里葉變換求得系統(tǒng)模態(tài)頻率 ω0n;

(2) 將 ω0n代入式(26)估計一個 η? 值,并利用式(14)求得 γn;

(3) 將 ω0n,以及 γn代入式(27)計算錨索索力H.

3 準(zhǔn)確性驗證

本節(jié)將針對上文給出的錨索自由振動響應(yīng)解及索力識別公式進(jìn)行驗證,說明其準(zhǔn)確性.取錨索的相關(guān)設(shè)計參數(shù)如下:l=161.11 m,Dt=0.424 m,θ=60°,CD=0.7,E=2 .1×1011Pa,I=0.001 6,mˉ=1301.5 kg/m,H=4.04×107N .

3.1 動力響應(yīng)結(jié)果驗證

在計算時,無阻尼模態(tài)頻率 ωn可由直接由式(26) 求得,取一階模態(tài)頻率 ω1=0.548 Hz,阻尼比ξ1=0.001 8.將式(5)直接代入式(7)并分離變量可得

式(29) 通?？山柚? 階龍格-庫塔法直接求解,本文則采用Ode45 求解器直接求解.取錨索跨中位置初位移和初速度分別為和,兩種方法得到的位移和速度響應(yīng)時程結(jié)果對比見圖2 和圖3.

圖2 兩種方法位移響應(yīng)時程對比Fig.2 Comparison of displacement response calculated by the two methods

圖3 兩種方法速度響應(yīng)時程對比Fig.3 Comparison of velocity response calculated by the two methods

對比可知,本文給出錨索非線性動力響應(yīng)的解析解與數(shù)值解吻合得很好,進(jìn)而說明了本文方法的準(zhǔn)確性.

3.2 考慮垂度影響的頻率計算式驗證

為了進(jìn)一步驗證本文給出的考慮垂度影響的頻率計算式(25)的準(zhǔn)確性,對上節(jié)求得的響應(yīng)時程做快速傅里葉變換得到其頻譜如下.

由圖4 可知考慮錨索垂度效應(yīng)的一階模態(tài)頻率ω01=0.559 9 Hz,明顯大于其線性系統(tǒng)的頻率ω1=0.548 Hz .可以預(yù)見,隨著垂度的進(jìn)一步增大,其對系統(tǒng)頻率的影響將進(jìn)一步增大.

圖4 錨索響應(yīng)頻譜Fig.4 Frequency spectrum of the anchor cable

依據(jù)式(8)和式(28)式可得到 γ1=0.100 6,將η=4.585 3,將二者代入式(25) 可求得系統(tǒng)頻率為0.558 2 Hz,與頻譜分析結(jié)果0.559 9 Hz 十分接近.由此可見,本文給出的錨索頻率估算公式是足夠精確的.

3.3 索力識別公式驗證

在利用實測頻率進(jìn)行索力識別時,由于參數(shù) η 與索力H相關(guān),因此嚴(yán)格意義上需要進(jìn)行迭代求解.在確定 η 的迭代初始值時,需要預(yù)估一個索力值H0,該值可通過將識別頻率 ω01代入傳統(tǒng)索力識別式(26)予以確定.收斂準(zhǔn)則為,相鄰兩次迭代結(jié)果之差不超過允許誤差限,迭代步驟如下.

由表1 可看出,依據(jù)本文建議的索力識別式(27),只需兩步就能準(zhǔn)確的識別出索力值.而第一步迭代結(jié)果=4.051×107N與H=4.04×107N 相差僅0.25%,從而驗證了本文方法的準(zhǔn)確性.需要說明的是,當(dāng)錨索的其他物理參數(shù)隨時間變化時,依然可以在其基礎(chǔ)上借助優(yōu)化算法來進(jìn)行參數(shù)識別.例如,基于振動法的索力和直徑Dt等參數(shù)的同時識別問題,可提成一個單目標(biāo)最優(yōu)化問題

表1 索力識別迭代過程Table 1 Iteration of cable force identification

s.t.ωj≥ωi＞0,j＞i,i=1,2,3,···

其中,f為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù).上式本質(zhì)上是將拉索的索力和Dt識別問題轉(zhuǎn)化為尋找一組H和Dt,使由此計算出的第i和j階頻率與實測頻率 ωi和 ωj的離差最小,i和j通?？扇? 和2.若能測到更多階頻率信息,則式(30)表征的優(yōu)化問題可得到更加準(zhǔn)確的識別結(jié)果.由于頻率和結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系已經(jīng)由式(27)解析給出,因此采用常規(guī)的梯度類優(yōu)化算法即可實現(xiàn)多個時變參數(shù)的動態(tài)識別.

值得注意的是,第一步索力迭代的初始值H0=4.197×107N 即為傳統(tǒng)公式(26)的識別結(jié)果,其與真實值相差高達(dá)1579 kN,難以用于結(jié)構(gòu)的精細(xì)化分析和監(jiān)測.為了進(jìn)一步說明垂度對索力識別誤差的影響情況,圖5 給出了垂跨比e(通過改變索力H)的變化對錨索索力識別誤差 δ 的影響曲線.可以看出,隨著拉索垂跨比增大,采用傳統(tǒng)索力識別方法的誤差線性增大.特別地,當(dāng)垂度為0.004 時,索力識別結(jié)果的絕對誤差將達(dá)到2409 kN,而相對誤差為7%.可以預(yù)見,識別誤差還會隨著垂度的增大進(jìn)一步增加.因此,在實際應(yīng)用中必須計入垂度對頻率進(jìn)而對索力的影響.

圖5 拉索垂度對索力識別誤差的影響曲線Fig.5 Effect of sag on cable force identification error

4 結(jié)論

本文針對一類水下柔性張拉錨索結(jié)構(gòu),采用等效線性化方法和攝動方法推導(dǎo)了錨索的非線性動力響應(yīng)的攝動解;給出了考慮垂度影響的錨索頻率計算式,從而定量描述了非線性因素對頻率的影響;通過與數(shù)值解對比驗證了結(jié)果的準(zhǔn)確性.依據(jù)索頻計算式對傳統(tǒng)索力識別公式進(jìn)行了修正,數(shù)值案例研究證明了該修正公式能準(zhǔn)確求得錨索索力.相反,采用傳統(tǒng)公式識別出的索力與真實值相差1579 kN.可見,本文建議公式能夠?qū)崿F(xiàn)錨索索力的精確識別和實時監(jiān)測,進(jìn)而為水下錨索的運營期健康監(jiān)測和狀態(tài)評奠定了理論基礎(chǔ).

事實上,海洋錨索是一類特殊的小垂度索結(jié)構(gòu),它與陸路中的小垂度索,本質(zhì)差別在于所處的力學(xué)環(huán)境不同,及在研究其自由振動問題時需要考慮水體阻力及附加質(zhì)量的影響.若將這兩部分影響忽略,則退化為更一般的小垂度索的場景.因此,本文給出的索力識別公式考慮因素更為全面,完全可以推廣到更加一般的小垂度索結(jié)構(gòu).