走進切線問題，典例探究思考

鄭秀麗

[摘? 要] 切線問題在高中數(shù)學(xué)中十分常見，切線的定義、求解方法、常見題型是探究的重點. 文章結(jié)合實例探究切線問題，開展策略總結(jié)，基于教學(xué)實踐，提出幾點建議.

[關(guān)鍵詞] 曲線;切線;定義;導(dǎo)數(shù);題型;數(shù)學(xué)思想

曲線的切線問題是近幾年高考的熱點問題，實際考查時常與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合，從直線與曲線的位置關(guān)系的視角來構(gòu)建. 問題涉及切線的斜率、傾斜角、切線方程等. 破題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義推導(dǎo)切線的方程，下面深入探究.

引例探究

問題：（2021年全國高考乙卷文數(shù)第21題）已知函數(shù)f（x）=x3-x2+ax+1.

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

（2）求曲線y=f（x）過坐標(biāo)原點的切線與曲線y=f（x）的公共點的坐標(biāo).

解析：（1）求f（x）的單調(diào)性，對應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=3x2-2x+a，導(dǎo)函數(shù)的判別式為Δ=4-12a.

（2）求曲線y=f（x）過坐標(biāo)原點的切線與其公共點的坐標(biāo)，顯然解決本問的關(guān)鍵就是求切線的方程. 需要關(guān)注題設(shè)中的兩個信息：①曲線y=f（x）的切線;②切線經(jīng)過原點. 分兩步進行：首先求切線的方程，然后與曲線的方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為解方程問題.

綜上可知，公共點的坐標(biāo)為（1，a+1）和（-1，-1-a）.

策略總結(jié)

求切線的方程，主要有兩大類題型：題型1，已知切點求切線的方程;題型2，求曲線過某點的切線的方程. 對于不同題型，可采用不同求解策略.

典例探究

曲線的切線題型比較多，題設(shè)變化多樣，但解析的核心均為求曲線的切線方程. 常見的題型有：設(shè)定切線求參數(shù)取值、求導(dǎo)與分析切線斜率、利用切線構(gòu)建幾何圖形等，下面結(jié)合實例具體探究，總結(jié)相應(yīng)的方法和技巧.

題型1：設(shè)定切線求參數(shù)取值

例1 已知函數(shù)f（x）=-x3+2x2-x，若過點P（1，t）可作曲線y=f（x）的三條切線，則t的取值范圍為________.

解析：由已知可得函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=-3x2+4x-1，過點P（1，t）作曲線y=f（x）的三條切線，分為兩種情況：

①點P在曲線y=f（x）上，則點P為切點，可得點P（1，0），切線方程為y=f′（1）·（x-1）=0，即切線為x軸，切線只有一條，不符合題意.

評析：上述探究曲線過點P時參數(shù)t的取值范圍，解析過程有兩大特點：一是深入討論點P為切點和不為切點兩種情形，思維嚴(yán)謹(jǐn);二是充分利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義，將切線個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為交點個數(shù)問題，把復(fù)雜問題簡單化.

題型2：求導(dǎo)與分析切線斜率

評析：上述證明圓錐曲線背景下切線與直線平行，整個過程分三步構(gòu)建：第一步，由已知確定直線的斜率，通過求導(dǎo)確定切線的斜率;第二步，聯(lián)立直線方程與曲線方程，提取其中的參數(shù)關(guān)系;第三步，結(jié)合參數(shù)關(guān)系變形轉(zhuǎn)化為斜率數(shù)式，證明斜率相等. 上述所形成的構(gòu)建策略，是解決圓錐曲線背景下切線問題的常用方法.

題型3：利用切線構(gòu)建幾何圖形

例3 （2020年北京高考卷第19題）已知函數(shù)f（x）=12-x2.

（1）求曲線y=f（x）的斜率等于-2的切線方程;

（2）設(shè)曲線y=f（x）在（t，f（t））處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為S（t），求S（t）的最小值.

解析：本題是典型的與切線相關(guān)的綜合題，兩問分別涉及“切線方程”和“與切線相關(guān)的幾何圖形”，突破問題要準(zhǔn)確利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義，確定切線方程，構(gòu)建面積模型，利用函數(shù)性質(zhì)求最值.

所以t=2時S（t）取得極小值，也是最小值. 又知S（t）為偶函數(shù)，所以當(dāng)t=±2時，S（t）有最小值32.

評析：上述分別探究切線方程以及依托切線求三角形的面積最值. 解析過程充分利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求切線方程;基于三角形的面積公式，充分利用導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性求解面積最值. 整個過程充分體現(xiàn)了導(dǎo)函數(shù)的兩大應(yīng)用點：一是求切線方程;二是研究函數(shù)的單調(diào)性.

解后反思

上述深入探究了切線的求解方法以及常見的問題類型，下面基于教學(xué)實踐進行反思，提出幾點建議.

1. 理解切線定義，開展知識總結(jié)

切線是一種特殊的直線，實則是曲線上某點處的方向線，這是切線的幾何意義，而代數(shù)意義則是函數(shù)在該點處的導(dǎo)數(shù). 切線的雙重定義是教學(xué)重點，教學(xué)中要指導(dǎo)學(xué)生從幾何、代數(shù)兩大視角探究切線的定義，采用數(shù)形結(jié)合的方式引導(dǎo)學(xué)生思考，深刻理解切線的意義. 在此基礎(chǔ)上總結(jié)求切線方程的方法和技巧，形成相應(yīng)的求解策略.

2. 關(guān)注切線問題，促進知識融合

切線問題是高中數(shù)學(xué)探究的重點，問題類型多樣，教學(xué)中要采取歸納整理、融合探究的方式，引導(dǎo)學(xué)生分兩步強化提升解題能力：第一步，總結(jié)切線的求解方法，掌握一般切線問題的求解策略，如求曲線的切線方程、分析切線的斜率取值、求參數(shù)范圍等;第二步，關(guān)注圓錐曲線背景下的切線問題，從知識綜合、位置關(guān)系兩大視角開展知識探究，總結(jié)破題思路.

3. 開展實踐探究，提高思維能力

教學(xué)探究中要注重提升學(xué)生的實踐能力，即結(jié)合實際問題引導(dǎo)學(xué)生思考，總結(jié)方法和技巧，幫助學(xué)生積累解題經(jīng)驗. 尤其是綜合性極強的切線問題，讓學(xué)生體驗探究過程，合理設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生思考確定切線的方法以及切線問題的轉(zhuǎn)化技巧. 如引導(dǎo)學(xué)生將切線的條數(shù)問題轉(zhuǎn)化為交點的個數(shù)問題，將切線平行問題轉(zhuǎn)化為直線斜率問題，等等. 教學(xué)中要合理滲透數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程等思想方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.