孫友剛 ，徐俊起 ，賀禎宇 ，李豐滎 ，陳 琛 ，林國斌

（1.同濟大學鐵道與城市軌道交通研究院，上海 201804；2.同濟大學國家磁浮交通工程技術研究中心，上海201804；3.同濟大學磁浮技術鐵路行業(yè)重點實驗室，上海 201804）

磁浮列車具有低噪音、優(yōu)異爬坡能力、高轉(zhuǎn)彎性能、無污染和高安全性等優(yōu)點，正快速成為國內(nèi)外的一種新型軌道交通方式[1-4].電磁懸?。╡lectro magnetic suspension, EMS）型磁浮列車依靠懸浮電磁鐵與軌道之間的吸引力使列車與軌道保持大約8～10 mm的間隙，從而實現(xiàn)無接觸運行.磁浮列車懸浮是通過懸浮架固接的多個懸浮電磁鐵共同支撐完成.通過懸浮架的機械結(jié)構(gòu)可以實現(xiàn)左右兩側(cè)解耦，但同一側(cè)的電磁鐵因為剛性連接，存在較強的機械耦合關系.當一個電磁鐵動態(tài)發(fā)生變化會引起相鄰的電磁鐵動態(tài)也發(fā)生變化，即耦合擾動效應.目前，磁浮列車的各個電磁鐵控制模塊單獨設計，互相之間沒有通訊和協(xié)調(diào)，無法主動處理耦合擾動效應.而懸浮過程中不可避免的擾動會導致各懸浮間隙動態(tài)不同步，容易降低懸浮性能甚至引起懸浮失效.

因為系統(tǒng)的開環(huán)不穩(wěn)定、強非線性和參數(shù)不確定等特征，磁浮列車的懸浮控制算法一直是研究熱點和挑戰(zhàn).早期的研究為了方便控制器的設計，忽略多個電磁鐵線圈懸浮時相互之間的耦合作用，可將懸浮控制對象簡化為單點懸浮系統(tǒng)：蔣啟龍等[5]早在20世紀90年代就利用80C196單片機實現(xiàn)了懸浮系統(tǒng)PID數(shù)字控制；龍志強等[6]利用反饋線性化技術將系統(tǒng)的輸入狀態(tài)線性化，設計出PI控制器和對應的非線性補償器；汪科任等[7]基于全狀態(tài)反饋增益矩陣設計了線性控制器來解決低軌道梁剛度下穩(wěn)定懸浮，但多個懸浮電磁鐵之間并沒有考慮誤差補償和協(xié)同.近年來，人們開始對多點懸浮控制進行深入研究；王亮等[8]在建立了多點懸浮模型的基礎上，通過矩陣變換將系統(tǒng)的電磁力和運動狀態(tài)進行空間解耦，并根據(jù)穩(wěn)定性能要求和極點配置理論設計了一個閉環(huán)控制系統(tǒng)，但仍采用經(jīng)典控制理論；李奇南等[9]以鋼板動力學模型為基礎，通過引入氣隙交叉耦合控制來改善動態(tài)氣隙同步性能；徐俊起等[10]基于多點懸浮模型提出基于交叉耦合控制算法，對系統(tǒng)的輸出誤差進行補償，但穩(wěn)定性分析時對系統(tǒng)進行了線性化處理；趙偉等[11]針對磁浮列車多點懸浮系統(tǒng)設計了無模型自適應模塊化控制方法.雖然協(xié)同控制在磁浮列車領域研究較少，但已經(jīng)在機器人[12]、風電機組[13]和分布式電動汽車[14-15]等領域取得成功應用.

本文針對多電磁鐵懸浮系統(tǒng)展開誤差交叉耦合的滑模協(xié)同控制方法研究.首先建立了多電磁鐵懸浮系統(tǒng)動力學模型，并分析其耦合特性.然后設計未知動態(tài)和干擾的狀態(tài)觀測器；接著根據(jù)跟蹤誤差和同步誤差提出交叉耦合的滑模面，并設計包含耦合協(xié)同補償項的滑模協(xié)同控制律；在不做任何線性化的前提下，通過Lyapunov方法分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性；最后通過實驗驗證所提方法的有效性.

1 多電磁鐵懸浮系統(tǒng)特性分析

1.1 系統(tǒng)描述

磁浮列車的每節(jié)車廂由5個懸浮架組成，懸浮架左右解耦.通常懸浮架由電磁鐵懸浮模塊、極板、防滾梁、防滾吊桿、托臂等組成，當電磁鐵通電后，利用電磁吸引力無接觸地懸浮在軌道上，便實現(xiàn)了懸浮運行.懸浮架的同一側(cè)由4個電磁鐵線圈（2個電磁鐵懸浮模塊）構(gòu)成，如圖1所示.

圖1 懸浮架同側(cè)多電磁鐵懸浮系統(tǒng)Fig.1 Multi-electromagnet suspension system on the same side of suspension frame

1.2 多電磁鐵懸浮系統(tǒng)動力學建模及分析

為分析多電磁鐵的協(xié)調(diào)作用，將懸浮架同側(cè)的兩個電磁鐵懸浮模塊（4個電磁鐵線圈）進行建模并分別協(xié)同，如圖2所示.圖中：Fm1和Fm2為兩個電磁鐵懸浮模塊的電磁力； δm1和 δm2為兩個電磁鐵懸浮模塊的懸浮間隙；a和 β 分別為質(zhì)心O點到模塊中點距離和極板旋轉(zhuǎn)的角度.4個電磁鐵之間采用剛性極板連接[16]，因此懸浮架同一側(cè)的多電磁鐵懸浮系統(tǒng)可視為桿結(jié)構(gòu)，并在兩端固定兩個電磁鐵懸浮模塊，需要對2個控制回路的懸浮間隙進行協(xié)同.

圖2 多電磁鐵懸浮系統(tǒng)動力學模型Fig.2 Dynamic model of multi-electromagnet suspension system

根據(jù)電磁學理論，系統(tǒng)的電磁力[17]可表示為

式中： μ0、A分別為空氣磁導率和磁極面積；im1和im2為兩個電磁鐵懸浮模塊需要協(xié)同的控制電流；t為時間；

假設電磁鐵線圈匝數(shù)Nm1、Nm2、Nm3和Nm4相同，線圈匝數(shù)都為 0.5Nm即Nm1=Nm2=Nm3=Nm4=0.5Nm，因此電磁力改寫為

如圖2所示，因為懸浮間隙空間很小，轉(zhuǎn)角也很小，轉(zhuǎn)角可近似為

中心豎直方向上的位移為

旋轉(zhuǎn)引起的位移大小為

由式（3）～（5）得

忽略極板質(zhì)量，系統(tǒng)豎直方向上的合力大小為

式中：ms為一個電磁鐵懸浮模塊的質(zhì)量；g為重力加速度.

繞質(zhì)心O點的轉(zhuǎn)矩大小為

得到質(zhì)心的動力學方程為

定義等效轉(zhuǎn)動質(zhì)量mβ=I/a2，式（10）可轉(zhuǎn)化為

由式（9）和式（11）可得

由式（7）和（11）可得

代入式（12）得到

再代入式（6）可得到

于是

代入Q，并合并同類項可得

通過以上分析可知，懸浮架同一側(cè)多電磁鐵懸浮系統(tǒng)的耦合關系可由不同電磁鐵懸浮模塊的懸浮間隙和電磁力表征.從動力學模型式（18）的電磁鐵和加速度變換矩陣可以看出，變換矩陣為非對角陣，因此可以判斷多電磁鐵懸浮系統(tǒng)中不同懸浮間隙和系統(tǒng)輸出之間存在耦合.

1.3 控制目標

因為斬波器的應用，可以設計電流為控制量的反饋控制器，通過控制兩個電磁鐵模塊中的電流實現(xiàn) 多電磁鐵線圈的同步協(xié)調(diào)懸浮.當4個電磁鐵線圈（兩個電磁鐵控制模塊）的懸浮間隙和速度相同時，多電磁鐵懸浮系統(tǒng)z方向上的垂向平移運動是最主要運動.因此，這里做適當簡化，將考慮未知干擾的多電磁鐵懸浮系統(tǒng)的同步協(xié)調(diào)控制問題轉(zhuǎn)化為由具有非線性電磁力的兩個電磁鐵模塊的懸浮間隙和速度同步控制問題.考慮未建模動態(tài)和未知擾動，狀態(tài)方程可以簡化為

式中：xi1=δmi，xi2=，其中i=1,2 ；和為控制器設計時磁懸浮系統(tǒng)參數(shù)的名義值，=g，為虛擬控制量，真實控制量di(t)/ms， ΔDmi和 ΔBmi為未建模動態(tài)，di(t) 為未知干擾力.

設目標懸浮間隙為xd=δd，定義兩個電磁鐵模塊的跟蹤誤差和間隙同步誤差分別為

式中：e1(t) 為電磁鐵模塊1的懸浮氣隙跟蹤誤差；e2(t)為電磁鐵模塊2的懸浮氣隙跟蹤誤差；x11為電磁鐵模塊1的懸浮氣隙；x21為電磁鐵模塊2的懸浮氣隙； εs為誤差交叉耦合下的間隙同步誤差.

在對每個電磁鐵模塊單獨進行控制時，控制目標是使得e1(t) 、e2(t) 、 εs(t) 收斂于 0，即

2 基于誤差交叉耦合的滑模控制器

2.1 干擾觀測器

電磁懸浮控制的一大挑戰(zhàn)為未建模動態(tài)和干擾Wi(t)難以實際測量.本節(jié)擬通過引入擾動觀測器，利用方便測量的系統(tǒng)變量對Wi(t) 進行預測，從而實現(xiàn)對簡化數(shù)學模型的補償，觀測值作為前饋項引入控制器中，降低未建模動態(tài)和干擾對懸浮穩(wěn)定性的影響.

以電磁鐵子模塊的狀態(tài)空間方程（19）為基礎，通過控制輸入ui(t) 和可測的懸浮間隙xi1對系統(tǒng)狀態(tài)變量進行狀態(tài)重構(gòu)，實現(xiàn)間隙變化速度和未知干擾力的觀測.

假設1假設未建模動態(tài)和干擾項的導數(shù)為有界函數(shù)即≤a.

設計干擾觀測器為

式中： θ1=r1/σ 、 θ2=r2/σ2、 θ3=r3/σ3， σ ＞0 ，r1、r2、r3均為大于 0 的實數(shù)， γ =[r1r2r3]T； σ 為決定著觀測誤差 γ 的收斂速度， σ 越小， γ 收斂速度越快，當 σ 減小至一定程度，觀測誤差趨近于0[15].

2.2 基于誤差交叉耦合的滑模協(xié)同控制律設計

跟蹤誤差為

等式兩邊關于時間求導可得

對于磁浮列車而言，懸浮目標間隙xd一般為固定值，即.

設計系統(tǒng)的滑模面為

式中：si為懸浮控制器i的誤差交叉耦合滑模面；c1和c2均為交叉耦合系數(shù)；k1和k2均為滑模系數(shù)，可以通過 Hurwitz 穩(wěn)定性確定c1、c2、k1、k2系數(shù)的值[17].

如圖3所示，設計滑模協(xié)同控制律為

圖3 帶觀測器的滑模協(xié)同控制系統(tǒng)框圖Fig.3 Block diagram of sliding mode cooperative control system with observer

式中：uieq(t) 和uisw(t) 分別為電磁鐵模塊i的等效控制律和切換控制律；uioh(t) 為耦合協(xié)同補償項.

引入干擾觀測器估計值，等效控制律可設計為

選取指數(shù)趨近律設計切換控制律如下：

式中： ξ1和 ξ2均為切換系數(shù).

設計耦合協(xié)同補償項為

等效控制律uieq(t) 為狀態(tài)控制項，與模型參數(shù)和觀測器估計值相關；耦合協(xié)同補償項uioh(t) 與雙電磁鐵模塊的間隙同步誤差相關.若將c1和c2同時設置為0，則協(xié)同控制器將退化為單電磁鐵控制器，將丟失間隙同步誤差補償?shù)哪芰?；切換控制律uisw(t) 作用是使得系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面，但是 s gn(·) 會引入不連續(xù)控制量，引起系統(tǒng)振顫現(xiàn)象.

為了避免振顫現(xiàn)象，利用飽和函數(shù)代替sgn(·)函數(shù)，即

式中： φ0為邊界層厚度，在邊界層以內(nèi)采用連續(xù)的狀態(tài)反饋控制，避免了不連續(xù)開關特性.

3 穩(wěn)定性分析

根據(jù)式（19）和（20）可得

對式（26）的兩邊關于時間求導可得

將飽和函數(shù)改進后的ui(t) 代入式（33）可得

定義Lyapunov候選函數(shù)為

顯然V(si)≥0 ，且當且僅當si=0 時函數(shù)等于0.對式（35）兩邊關于時間求導得

因為干擾觀測器的誤差趨近于0[15]，即可得

4 試驗結(jié)果

為驗證多電磁鐵懸浮系統(tǒng)協(xié)同控制方法的有效性，建立如圖4所示的單懸浮架試驗平臺.試驗平臺上由一個懸浮架、8個電磁鐵線圈、4個空氣彈簧、4個懸浮傳感器和4個懸浮控制器組成.因為懸浮架左右模塊結(jié)構(gòu)上解耦，本實驗僅利用左半側(cè)進行懸浮實驗.從圖4可以看到左側(cè)懸浮架的布置情況，由2個懸浮控制器、2個電磁鐵模塊（4個電磁鐵線圈）和2個懸浮傳感器組成.2個懸浮控制器之間采用CAN總線進行通信和誤差交叉耦合，不需要重新設計控制板卡.懸浮架的系統(tǒng)參數(shù)如表1.

圖4 帶多電磁鐵模塊的懸浮架試驗平臺Fig.4 Suspension frame test platform with multi-electromagnet modules

表1 磁懸浮系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 Magnetic levitation system parameters

為了方便對比驗證，分別采用本文提出的基于誤差交叉耦合滑模的多點懸浮系統(tǒng)協(xié)同控制算法和未加協(xié)同控制的傳統(tǒng)PID 控制算法進行綜合抗干擾能力對比試驗.傳統(tǒng)PID控制器的控制參數(shù)分別選

取為kp=9500 ，ki=100 ，kd=370.而本文所提的協(xié)同控制器的參數(shù)如下：

為了對比協(xié)同控制的優(yōu)越性，試驗分兩組進行：

第一組，懸浮架的4個空氣彈簧保持未充氣狀態(tài)，采用獨立的PID控制算法，數(shù)據(jù)采樣頻率為512 Hz.在懸浮點1對應的平臺上方約1 m高的位置采用吊車吊起2個100 kg的載荷，在懸浮架實現(xiàn)靜態(tài)穩(wěn)定懸浮后，先放下第1個載荷，約7 s后再放下第2個載荷，從而進行力沖擊試驗.2個電磁鐵懸浮模塊的間隙波形和懸浮電流波形如圖5、6所示.由圖5可知：電磁鐵懸浮模塊1的間隙相對目標間隙的最大波動約為0.43 mm，電磁鐵懸浮模塊2的間隙最大波動約為0.03 mm.由圖6可知：在沖擊時懸浮電流波動最大的為電磁鐵模塊1，而模塊2的電流波動不明顯.

圖5 懸浮間隙波動實驗結(jié)果（PID控制器）Fig.5 Experimental results of suspension airgap fluctuation（PID controller）

圖6 懸浮電流波動實驗結(jié)果（PID控制器）Fig.6 Experimental results of suspension current fluctuation （PID controller）

第二組，懸浮架的4個空氣彈簧保持未充氣狀態(tài)，采用加入誤差交叉耦合的協(xié)同滑?？刂坡?，工況和第一組完全相同來進行力沖擊試驗.2個電磁鐵懸浮模塊的間隙波形和懸浮電流如圖7、8所示.電磁鐵懸浮模塊1的間隙相對目標間隙的最大波動約為0.262 mm，而電磁鐵懸浮模塊2的間隙波動最大約為0.238 mm.由圖8可知，受到?jīng)_擊時電磁鐵懸浮模塊1和模塊2的懸浮電流最大波動幾乎都是2 A左右.

圖7 懸浮間隙波動實驗結(jié)果（滑模協(xié)同控制）Fig.7 Experimental results of suspension airgap fluctuation（sliding mode cooperative control）

圖8 懸浮電流波動實驗結(jié)果（滑模協(xié)同控制）Fig.8 Experimental results of suspension current fluctuation （sliding mode cooperative control）

由實驗結(jié)果可以看出：在沒有施加協(xié)同控制時，在電磁鐵模塊1上方施加沖擊力時，由于兩個電磁鐵模塊之間沒有協(xié)調(diào)補償，兩個懸浮間隙的差值較大（輪廓誤差），最大的輪廓誤差達到0.400 mm；而在協(xié)同控制下，電磁鐵模塊2對模塊1的沖擊干擾起到了補償作用，可以看出電磁鐵模塊2的氣隙誤差較傳統(tǒng)PID有所上升，而電磁鐵模塊1的氣隙誤差較傳統(tǒng)PID時有所下降，峰值的輪廓誤差為0.024 mm.可以看出，本文所提的協(xié)同控制方法利用氣隙誤差的交叉耦合使得電磁鐵模塊2有效補償了模塊1的氣隙變化值，大大降低了輪廓誤差.

加入本文所提出的滑模協(xié)同控制策略時，電磁鐵模塊1的間隙跟蹤誤差比未加協(xié)同控制策略時降低了約40%，大大降低了電磁鐵模塊1因發(fā)生較大波動而使該懸浮點滑撬觸軌的可能.

5 結(jié) 論

本文針對中低速磁浮列車多電磁鐵懸浮系統(tǒng)，提出了一種基于誤差交叉耦合的滑模協(xié)同控制方法.分析了動力學模型并引入干擾觀測器，通過設計協(xié)同控制器提高多電磁鐵懸浮系統(tǒng)魯棒性.

1） 通過動力學模型分析可知，電磁鐵模塊間的耦合效應是由變換矩陣為非對角陣引起；

2） 所設計的狀態(tài)觀測器不但能在線估計干擾力的大小還能估計間隙變化速度；

3） 所提出的滑模協(xié)同控制器能在理論上實現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定；

4） 通過實驗結(jié)果可知，所提方法相比不施加協(xié)同的方法能降低模塊1的跟蹤誤差達40%.顯著減少了電磁鐵之間的耦合擾動作用，增強綜合抗干擾能力.