高三復(fù)習(xí)課中的模型再認(rèn)識(shí)
——以圓錐擺模型為例

曹鑫輝

(浙江省湖州長興中學(xué) 313100)

1 問題來源

例題撥浪鼓最早出現(xiàn)在戰(zhàn)國時(shí)期，宋代時(shí)小型撥浪鼓已成為兒童玩具.四個(gè)撥浪鼓上分別系有長度不等的兩根細(xì)繩，繩一端系著小球，另一端固定在關(guān)于手柄對稱的鼓沿上.現(xiàn)使鼓繞豎直放置的手柄勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，兩小球在水平面內(nèi)做周期相同的圓周運(yùn)動(dòng).圖1中兩球的位置關(guān)系可能正確的是(圖1中細(xì)繩與豎直方向的夾角α<θ<β)( ).

圖1

本題是《2020年6月江蘇省七市高三第三次調(diào)研考試物理試卷》第5題，在一輪復(fù)習(xí)后的一次綜合測試中將該題作為測試題之一，目的是測試圓錐擺模型掌握情況.測試的結(jié)果發(fā)現(xiàn)：35%的學(xué)生不知道如何從實(shí)際問題中提取構(gòu)建模型，所以沒有從圓錐擺模型方向去思考；40%的學(xué)生能夠考慮到圓錐擺模型，但是不知道如何建構(gòu)模型；20%的學(xué)生構(gòu)建好模型之后由于題目涉及的物理量太多，短時(shí)間內(nèi)找不到處理問題的辦法.分析原因：由于對圓錐擺模型結(jié)構(gòu)特點(diǎn)不熟悉，無法迅速判斷模型來源和建構(gòu)基礎(chǔ)模型；由于沒有掌握圓錐擺動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)而無法明確分析方向；沒有深入分析過圓錐擺模型的變化特點(diǎn)，無法找到最后解題的突破口.這也是學(xué)生普遍存在的各類模型問題.鑒于以上分析，高三一輪復(fù)習(xí)后開展了物理模型微專題復(fù)習(xí)，從模型提煉(模型特點(diǎn)分析)，模型過渡(模型遷移)，實(shí)際生活中復(fù)雜背景下的模型建構(gòu)三方面來強(qiáng)化學(xué)生的模型構(gòu)建能力.本文以圓錐擺為例.

2 圓錐擺模型特點(diǎn)提煉

圓錐擺是一種理想模型，理想研究對象，理想條件，理想過程，是運(yùn)用比較理想且純粹的方式所創(chuàng)造的、能再現(xiàn)原型的本質(zhì)聯(lián)系與內(nèi)在特征的一類簡化模型.現(xiàn)將圓錐擺的特點(diǎn)分為三步：

2.1 可視性結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

典型的圓錐擺如圖2具有以下幾個(gè)可視性的結(jié)構(gòu)要素：懸點(diǎn)O、擺長l、擺角θ、圓周運(yùn)動(dòng)軌道平面及軌跡圓心.

圖2 圖3 圖4

可視性結(jié)果有時(shí)也會(huì)約束學(xué)生的模型建構(gòu)，這時(shí)需要進(jìn)行簡單的模型遷移，如圖3、4，經(jīng)過受力分析不難發(fā)現(xiàn)小球的運(yùn)動(dòng)也是屬于圓錐擺模型，彈力方向與軸線的交點(diǎn)即為懸點(diǎn)，懸點(diǎn)與小球間的距離即為擺長，彈力方向與軸線的夾角即為擺角.經(jīng)過模型遷移，將經(jīng)典的圓錐擺模型遷移到“無繩”圓錐擺，并將圓錐擺的可視性結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行進(jìn)一步總結(jié).當(dāng)物體做圓周運(yùn)動(dòng)一周，有一個(gè)力始終指向非軌道平面內(nèi)的一點(diǎn)，即可將該物體的運(yùn)動(dòng)模型構(gòu)建為圓錐擺模型.該模型特點(diǎn)掌握之后便于學(xué)生迅速判斷出是否是圓錐擺模型.

2.2 動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)

如圖5.假設(shè)繩長為l，小球質(zhì)量為m，則小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r=lsinθ,根據(jù)牛頓第二定律和勻速圓周運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)，可以得到豎直和水平方向的方程：FTcosθ=mg

圖5 圖6

①

②

根據(jù)①、②可以解得繩的拉力、向心加速度、線速度、角速度以及周期等物理量.

2.3 變化性特點(diǎn)

(1)擺角θ不變，擺長l與高度差h變化

如圖6根據(jù)受力分析可得繩子的拉力不變，所以小球做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力也不變，根據(jù)②式可得擺長越長，所以vAωB

(2)擺長l不變，擺角θ與高度差h變化

如圖7根據(jù)受力分析可得，繩子對A球的拉力大于對B球的拉力，小球做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力FnA>FnB,

圖7 圖8

所以ωA>ωB

(3)高度差h不變，擺角θ與擺長l變化

如圖8，如圖根據(jù)受力分析可得，繩子對A球的拉力大于對B球的拉力，小球做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力FnA>FnB，

所以ωA=ωB.

由v=ωr可得vA>vB

3 過渡模型的模型建構(gòu)

(1)如圖9所示，一個(gè)內(nèi)壁光滑的圓錐筒的軸線垂直于水平面，圓錐筒固定不動(dòng)，有兩個(gè)質(zhì)量相同的小球A和B緊貼著內(nèi)壁分別在圖中所示的水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng).則下列說法正確的是( ).

圖9 圖10

A.球A的線速度必定大于球B的線速度

B.球A的角速度必定小于球B的角速度

C.球A的運(yùn)動(dòng)周期必定小于球B的運(yùn)動(dòng)周期

D.球A對筒壁的壓力必定大于球B對筒壁的壓力

經(jīng)過受力分析，發(fā)現(xiàn)屬于變化類型的第一種.所以本題選AB.

(2)如圖10所示,內(nèi)壁光滑的半球形碗固定不動(dòng),其軸線垂直于水平面,兩個(gè)質(zhì)量相同的小球A和B緊貼著內(nèi)壁分別在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),則( ).

A.球A的角速度大于球B的角速度

B.球A的線速度大于球B的線速度

C.球A的向心加速度大于球B的向心加速度

D.球A對碗壁的壓力與球B對碗壁的壓力大小相等

經(jīng)過受力分析，屬于變化類型的第二種.所以本題選ABC.

(3)如圖11所示，兩根質(zhì)量不計(jì)的輕質(zhì)彈性桿插在轉(zhuǎn)盤中心，桿上端套有兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球，現(xiàn)使兩小球沿同一水平面做角速度為ω的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)重力加速度為g.求：兩桿對小球的力的方向與轉(zhuǎn)軸交點(diǎn)之間的距離.

圖11 圖12

如圖12受力分析，屬于第三種模型，所以兩桿對小球的力的方向與轉(zhuǎn)軸交點(diǎn)之間的距離為零.

以上三個(gè)銜接練習(xí)均為圓錐擺模型，且為無繩圓錐擺模型，綜合以上分析，若一物體所勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且物體所受力的方向不在圓周運(yùn)動(dòng)所在平面內(nèi)，則可以考慮圓錐擺模型方向. 按照圓錐擺模型找到擺角θ、擺長l與懸點(diǎn)與軌跡圓心高度差h，并進(jìn)行相關(guān)分析.

4 實(shí)際情境中模型構(gòu)建

圖13