【摘 要】本文從一道與三角形內(nèi)心有關(guān)的課本習(xí)題出發(fā)，充分利用課本素材進(jìn)行深入研究，挖掘問(wèn)題本質(zhì)，強(qiáng)化知識(shí)理解與應(yīng)用，發(fā)揮習(xí)題最大功效，同一問(wèn)題變換條件結(jié)論，得出新的有價(jià)值的問(wèn)題，幫助學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，拓展思維，促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)在學(xué)習(xí)中養(yǎng)成.

【關(guān)鍵詞】習(xí)題拓展;探究;逆命題;內(nèi)心

布魯諾指出：“思維永遠(yuǎn)從問(wèn)題開(kāi)始.”學(xué)習(xí)的意義是不僅掌握教材中的知識(shí)，更要幫助學(xué)生能用所學(xué)的內(nèi)容去解決問(wèn)題，去創(chuàng)新實(shí)踐.教材習(xí)題是十分有價(jià)值的教學(xué)資源，通過(guò)典型問(wèn)題的拓展與變式、方法的遷移應(yīng)用促使學(xué)生貫通知識(shí)間的聯(lián)系，進(jìn)而找到解決問(wèn)題的策略、掌握分析問(wèn)題的方法，這些品質(zhì)和素養(yǎng)需要在日常教學(xué)中加以實(shí)踐和鍛煉.作為一線教師深入挖掘教材中習(xí)題的教育價(jià)值是必備素養(yǎng)之一，也是促進(jìn)專業(yè)成長(zhǎng)重要途徑.

1 原題呈現(xiàn) 已知，如圖1，在△ABC中，點(diǎn)E是內(nèi)心，延長(zhǎng)AE交三角形外接圓于點(diǎn)D，連接BD，DC.

求證：DB=DC=DE[1].

本題是滬科版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第24章圓第45頁(yè)習(xí)題第5題.在教材中的目的是為鞏固學(xué)生對(duì)內(nèi)心性質(zhì)的理解與運(yùn)用.通過(guò)內(nèi)心的性質(zhì)得到角相等以及圓中同弧所對(duì)圓周角相等進(jìn)而證明.作為教師在教學(xué)中要依托課本習(xí)題，從不同的角度、不同的層面、不同的條件進(jìn)行拓展研究，挖掘問(wèn)題本質(zhì)，強(qiáng)化知識(shí)理解與應(yīng)用，發(fā)揮習(xí)題最大功效，從而幫助學(xué)生跳出“題海”.2 解法及研究

證明 由點(diǎn)E是內(nèi)心，可知∠BAD=∠CAD，從而B(niǎo)D=CD.

如圖1，連接BE，則∠DBC=∠DAC=∠BAD，∠EBC=∠EBA，由∠EBD=∠EBC+∠DBC，∠DEB=∠EBA+∠BAD，所以∠EBD=∠DEB，即DB=DE，從而DB=DC=DE.

分析 若只是解答后就結(jié)束了，則失去了這道經(jīng)典習(xí)題應(yīng)有的價(jià)值.注意到題目中條件與結(jié)論存在互逆現(xiàn)象，能否變換條件結(jié)論，猜想是否正確，引發(fā)深層次思考.還有題目中隱藏的∠BEC與∠BAC之間的特殊關(guān)系，通過(guò)有意識(shí)設(shè)問(wèn)，留給學(xué)生充分思考，再師生共同探討解決.通過(guò)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生探究逆命題的真假，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維、全局性思維大有裨益，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題.

研究1 若將條件“點(diǎn)E是內(nèi)心”和結(jié)論“DB=DC=DE”互換，所得命題還能成立嗎？

即：已知，如圖1，點(diǎn)E為△ABC外接圓內(nèi)一點(diǎn)，延長(zhǎng)AE交三角形外接圓于點(diǎn)D，連接BD，DC，若DB=DC=DE.

求證：點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心.

證明 由DB=DC，可知∠BAD=∠DAC，即點(diǎn)E在∠BAC的角平分線上.

如圖1，連接BE，則∠DBC=∠DAC=∠BAD，

而∠EBD=∠EBC+∠DBC，∠DEB=∠EBA+∠BAD，由DB=DE，所以∠EBD=∠DEB，可得∠EBC=∠EBA，即點(diǎn)E在∠ABC的角平分線上.

同理點(diǎn)E在∠ACB的角平分線上.

即點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心.

研究2 設(shè)∠BAC=θ，由點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，則可得∠BEC=90°+θ2.則有以下命題：

若如圖2，在△ABC中，AD平分∠BAC，點(diǎn)E在線段AD上，連接BE，CE.設(shè)∠BAC=θ，若∠BEC=90°+θ2，求證：點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心.

分析 點(diǎn)E在AD上從點(diǎn)A到點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，可知θ≤∠BEC≤180°，存在某一時(shí)刻，使得∠BEC=90°+θ2，而當(dāng)點(diǎn)E為內(nèi)心時(shí)∠BEC=90°+θ2，由同一法可知點(diǎn)E為△ABC的內(nèi)心.

證法1 （中點(diǎn)型一線三等角相似）

如圖3，過(guò)點(diǎn)E作AD的垂線分別交AB，AC于點(diǎn)M，N.

由AD平分∠BAC，可得△AME≌△ANE（ASA），從而EM=EN，利用三角形外角可知∠CNE=90°+θ2，∠EMB=90°+θ2，即∠CNE=∠CEB=∠EMB，根據(jù)一線三等角相似可得△CNE∽△EMB，所以ENBM=CEBE，即EMBM=CEBE，又因∠EMB=∠CEB，所以△CEB∽△EMB，即△CNE∽△EMB∽△CEB.

可得∠EBM=∠EBC，∠ECN=∠ECB，即點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心.

證法2 （角平分線的全等結(jié)構(gòu)）

如圖4，以BE為邊點(diǎn)，E為頂點(diǎn)作∠BEF=90°+θ2交邊BA（或BA的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)F，延長(zhǎng)EF交CA（或CA的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)G.

可知∠GEC=360°-∠BEF-∠BEC=180°-θ，所以∠GAF=∠GEC，從而可得△GAF∽△GEC，則∠GFA=∠GCE，即∠PFE=∠QCE，過(guò)點(diǎn)E分別向邊AB，AC作垂線交于點(diǎn)P，Q，從而由AD平分∠BAC，得出EP=EQ，所以△EPF≌△EQC（AAS）.

可得EF=EC，于是△BEF≌△BEC（SAS），則∠FBE=∠CBE，所以BE平分∠ABC，即點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心.

證法3 （外接圓）

如圖5，作△ABC的外接圓，延長(zhǎng)AD交外接圓于點(diǎn)F，延長(zhǎng)BF至點(diǎn)G，使得FG=BF，連接CG.

由∠BAC=θ，可知∠BFC=180°-θ，因?yàn)锳D平分∠BAC，從而∠BAF=∠CAF，由圓周角定理知FB=FC，從而∠FGC=12∠BFC=90°-θ2，根據(jù)∠BEC+∠FGC=180°可知E，B，G，C在以BG為直徑的圓周上，于是FB=FE=FC，由研究1知：點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心.3 考題應(yīng)用

如圖6，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)O為AD上一點(diǎn)，若∠BOC=2∠BAC=120°，OB=2OC，AO=23，求線段BC的長(zhǎng).

審題 根據(jù)題目信息可知∠BAC=60°，由∠BOC=120°，BO=2OC，聯(lián)想到解三角形，作∠BOC的外角構(gòu)造直角三角形.再由AD平分∠BAC，AO=23可得出點(diǎn)O到兩邊距離為2.又∠BOC=120°=90°+12∠BAC，由研究2可知點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心.

解法1 如圖7，過(guò)點(diǎn)O作AD垂線交AB，AC于點(diǎn)M，N，可知OM=ON=2，AM=AN=4，由∠CNO=∠COB=∠OMB=120°，可得△CNO∽△OMB，所以CNOM=ONBM=COOB=12，于是CN=1，BM=4，從而在△ABC中，AB=AM+BM=8，AC=AN+CN=5，∠BAC=60°，如圖8，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB，解三角形得BC=7.

解法2 如圖9，過(guò)點(diǎn)B作CO的垂線，交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，由∠BOC=120°，BO=2OC，不妨設(shè)OC=m，則BO=2m，EO=m，BE=3m.

在Rt△BCE中，勾股定理可得BC=EC2+BE2=7m，過(guò)點(diǎn)O分別作邊BC，AC的垂線交于點(diǎn)F，G，由點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心可得OF=OG=3，由△OCF∽△BCE，可得OFBE=OCBC，即33m=m7m，解得m=7，即BC=7m=7.4 思考

雙減背景下，切實(shí)減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)要從教師“增壓”開(kāi)始，教材是教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的“根”，教材中的習(xí)題是編寫(xiě)者精心設(shè)計(jì)的，值得教師深入研讀、研究.我們注意到，很多中考命題都是課本經(jīng)典習(xí)題的改編和重組，也就是從課本的“根”生長(zhǎng)出來(lái)的.用好教材、挖掘教材是教師專業(yè)基本功的重要體現(xiàn)，依托課本素材進(jìn)行深入研究、變化，通過(guò)問(wèn)題不同角度思考及變式訓(xùn)練培育學(xué)生核心素養(yǎng).因此，要注重典型例題和習(xí)題延拓與發(fā)散，發(fā)展學(xué)生的思維，落實(shí)核心素養(yǎng)，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而提高教學(xué)效率！

參考文獻(xiàn)

[1]新時(shí)代數(shù)學(xué)編寫(xiě)組.數(shù)學(xué)（九年級(jí)下冊(cè)）[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2021.

作者簡(jiǎn)介 武前煒（1984—），男，中學(xué)高級(jí)教師;主持合肥市教育規(guī)劃課題并結(jié)題，獲2012年、2020年合肥市中學(xué)數(shù)學(xué)教師綜合素質(zhì)大賽一等獎(jiǎng);主要從事初等數(shù)學(xué)教育、中考考題研究.

基金項(xiàng)目 2020合肥市教育規(guī)劃課題“基于核心素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)的實(shí)踐研究”（課題編號(hào)HJG20128）.