任鴻昌，王東瑞，姜添惠，張闖，陳文輝

(沈陽工程學(xué)院 ，遼寧 沈陽 110136)

0 引言

在永磁同步電機(jī)(PMSM)轉(zhuǎn)動的過程中，由于電機(jī)齒槽與繞組分布不均勻，導(dǎo)致磁路不對稱，定子與轉(zhuǎn)子之間產(chǎn)生相對位移，使電樞齒槽與永磁體磁場間也產(chǎn)生相對位移，從而產(chǎn)生切向力，生成齒槽轉(zhuǎn)矩，使電機(jī)產(chǎn)生振動和噪聲，一定程度上降低其動態(tài)性能。目前國內(nèi)外關(guān)于優(yōu)化齒槽轉(zhuǎn)矩方面的研究主要以有限元法、解析法分析齒槽轉(zhuǎn)矩，對單一的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，在離散的數(shù)據(jù)點中，尋找符合設(shè)計要求的值。此外還有部分學(xué)者，通過結(jié)合智能算法，構(gòu)建多目標(biāo)優(yōu)化模型輔助電機(jī)設(shè)計，為多結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計提出解決方案[1]。但是由于有限元法的計算時間長，解析法模型建立繁瑣，程序?qū)崿F(xiàn)困難且不同結(jié)構(gòu)變量需要建立不同的解析模型。因此針對實際電機(jī)設(shè)計中要求的多目標(biāo)、多結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計，上述方法難以應(yīng)對這種復(fù)雜非線性問題，為設(shè)計者形成一種快速參考方案。

本文首先在Rmxprt中建立一款永磁同步電機(jī)模型，選擇3種結(jié)構(gòu)參數(shù)為特征變量，齒槽轉(zhuǎn)矩為輸出，利用Ansys maxwell平臺對 PMSM 進(jìn)行有限元仿真實驗，對選擇的3種特征變量進(jìn)行參數(shù)化計算，得到360組實驗數(shù)據(jù)；然后設(shè)計一種基于GASA-BRNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的齒槽轉(zhuǎn)矩分析模型，抽樣300組作為訓(xùn)練輸入，將剩余數(shù)據(jù)和利用Ansys Workbench中響應(yīng)面實驗(DOE)組件得到的13組數(shù)據(jù)混合作為測試數(shù)據(jù)，判斷模型的泛化能力。最后通過對GASA-BRNN模型的預(yù)測結(jié)果與有限元計算結(jié)果對比，并將其性能指標(biāo)與不同改進(jìn)策略的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行分析，驗證其預(yù)測精度與實際適用性。

1 永磁同步電機(jī)模型與齒槽轉(zhuǎn)矩原理解析

1.1 電機(jī)有限元模型

本文將基于Rmxprt設(shè)計的一款4極24槽永磁同步電機(jī)作為典型研究案例，模型參數(shù)如表1所示。

表1 樣機(jī)主要參數(shù)

通過在Ansys環(huán)境下Rmxprt與maxwell的快速對接，利用有限元仿真生成的PMSM二維模型如圖1所示。

圖1 PMSM仿真結(jié)構(gòu)

1.2 齒槽轉(zhuǎn)矩原理解析

空載運(yùn)行下，定子和轉(zhuǎn)子產(chǎn)生相對位移，導(dǎo)致其間隙發(fā)生變化，即氣隙存在周期性變化，從而產(chǎn)生磁阻轉(zhuǎn)矩紋波即齒槽轉(zhuǎn)矩[2]，其可表現(xiàn)為斷電情況下電機(jī)內(nèi)存儲的磁場能量對定子和轉(zhuǎn)子相對位置角的負(fù)導(dǎo)數(shù)。

(1)

式中α為定子齒與永磁體中心線的夾角。若不考慮磁場飽和,電機(jī)磁場儲存能量W可以近似看成電樞齒與永磁體之間氣隙g中的能量，W可近似表示為電樞齒與永磁體之間氣隙中的能量：

(2)

式中：μ0為空氣的磁導(dǎo)率；V為氣隙體積；B(θ,α)為磁感應(yīng)強(qiáng)度，可近似表示為

(3)

式中：θ為永磁體沿圓周方向運(yùn)動時與轉(zhuǎn)子軸之間的夾角；hm(θ)為永磁體磁極厚度；Br(θ)為永磁體剩磁；δ(θ,α)為永磁體有效氣隙長度沿圓周方向的分布系數(shù)。將式(3)帶入式(2)，得到電機(jī)磁場儲存能量：

(4)

假設(shè)發(fā)電機(jī)的每級磁通不變，令

(5)

(6)

1.3 特征變量影響分析

在選擇特征變量的過程中，應(yīng)當(dāng)選擇對輸出目標(biāo)的影響具有明顯特征的參數(shù)。本文選取極弧系數(shù)、永磁體偏心距、定子槽口寬度3種因子作為輸入量，選取周期內(nèi)電機(jī)空載轉(zhuǎn)矩峰值為齒槽轉(zhuǎn)矩輸出量。通過有限元分析，分別計算在初始值條件下各變量與齒槽轉(zhuǎn)矩的單變量變化關(guān)系，如圖2-圖4所示。

圖2 極弧系數(shù)與齒槽轉(zhuǎn)矩關(guān)系

圖3 定子槽口寬度與齒槽轉(zhuǎn)矩關(guān)系

圖4 永磁體偏心距與齒槽轉(zhuǎn)矩關(guān)系

由有限元計算結(jié)果可知，在每種變量的變化范圍內(nèi)，均對齒槽轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生了明顯影響，且影響趨勢各不相同，變化曲線具有顯著的非線性關(guān)系。

2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及其改進(jìn)策略

2.1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)原理

BP網(wǎng)絡(luò)是一種典型的多層前饋型網(wǎng)絡(luò)，廣泛應(yīng)用于模式識別、故障診斷，該模型結(jié)構(gòu)如圖5所示。

圖5 三層BP網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

BP網(wǎng)絡(luò)一般由輸入層、隱藏層、輸出層組成。數(shù)據(jù)從輸入層依次傳播至隱藏層、輸出層，在輸出層將誤差反向傳播并調(diào)整網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值參數(shù)，之后不斷迭代上述步驟至誤差為0，完成網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過程。在誤差反向傳播過程中，令yk為第k個節(jié)點的實際輸出，tk為其期望輸出，誤差函數(shù)為

(7)

(8)

式中：i、j、k分別表示輸入層、隱藏層、輸出層的神經(jīng)元；p為輸出變量數(shù)量；g(x)為激活函數(shù)；xi為輸入量。

由式(8)可知，誤差大小ED是權(quán)值wji、wkj的函數(shù)F(w)。因此通過調(diào)整權(quán)值來改變誤差，使得三層及以上的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)能精準(zhǔn)地描述出任意非線性關(guān)系，符合齒槽轉(zhuǎn)矩分析模型要求。

2.2 貝葉斯正則化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

標(biāo)準(zhǔn)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在迭代中很容易陷入局部最小，而初始權(quán)值的隨機(jī)確定導(dǎo)致每次擬合模型的精度差距過大，在針對復(fù)雜問題時的收斂速度過慢。目前廣泛使用的Matlab神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱默認(rèn)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練函數(shù)為Levenberg-Marquardt(L-M)算法，該算法多用于曲線擬合，在中小型網(wǎng)絡(luò)中廣泛應(yīng)用，但是面對一個新輸入樣本具有很大依賴性。因此為提高齒槽轉(zhuǎn)矩預(yù)測精度，提高模型泛化性，本文使用貝葉斯正則化(bayesian regularization，BR)算法來對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行改進(jìn)。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的貝葉斯正則化算法是一個根據(jù)L-M優(yōu)化來更新權(quán)值和偏置值的網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練算法，通過貝葉斯定理將平方誤差和權(quán)重的組合最小化，確定正確的組合，從而產(chǎn)生一個泛化良好的網(wǎng)絡(luò)[3]。

在貝葉斯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，定義網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值為隨機(jī)變量，將網(wǎng)絡(luò)權(quán)值和訓(xùn)練集的分布視為高斯分布，性能指數(shù)由式(8)轉(zhuǎn)化為

F(w)=αEw+βED

(9)

式中：Ew是網(wǎng)絡(luò)權(quán)重的平方和；指數(shù)參數(shù)α、β為貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中的優(yōu)化參數(shù)。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中尋得最小權(quán)值參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)是求式(8)的最小化，在BR神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(BRNN)中，尋得最小權(quán)重空間則需要將式(9)最小化，相當(dāng)于求相對應(yīng)的后驗概率函數(shù)式(10)的最大化解集：

(10)

式中：w為權(quán)重分布；net為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。解得F(w)在最小點wmin時α、β結(jié)果如下：

(11)

式中：λ為有效參數(shù)，λ=p-2αtrace-1(H*)，反映了構(gòu)成模型的規(guī)模，其中H是F(w)在最佳擬合直線或平面上的投影矩陣(海森矩陣)。求解之后進(jìn)入L-M算法流程，在文獻(xiàn)[4]中有詳細(xì)推導(dǎo)，本文不再贅述。BRNN將不必要的權(quán)重趨近0，有效地消除了網(wǎng)絡(luò)的過擬合缺陷，同時使網(wǎng)絡(luò)具有快速收斂的特性。

2.3 遺傳算法

遺傳算法GA是一種全局優(yōu)化算法，利用遺傳算法搜索BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)重可以保證獲得較高全局最優(yōu)性的機(jī)會，因此，利用遺傳算法可以有效抑制神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)初始權(quán)值隨機(jī)化的缺陷。為強(qiáng)化遺傳算法的全局搜索能力，進(jìn)一步降低算法陷入局部最優(yōu)的可能性，本文將遺傳算法與模擬退火算法SA相結(jié)合，提出了GASA-BRNN算法，設(shè)計流程如下所述。

1)將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值和閾值編譯成實數(shù)組作為遺傳算法的染色體。初始化群體大小 30，交叉概率 0.3，變異概率 0.03，迭代次數(shù)50，退火溫度1 000。

2)計算種群中個體的適應(yīng)度，加入退火因子拉伸標(biāo)準(zhǔn)適應(yīng)度

(12)

式中：Fn為第n個個體適應(yīng)度；k為當(dāng)前個體迭代數(shù)；t為溫度。

3)按照遺傳策略，對代種群進(jìn)行選擇操作、交叉操作和變異操作，形成下一代種群。結(jié)合 SA算法對產(chǎn)生的新種群采用Metropolis接受準(zhǔn)則來確定，利用γn→m抽樣其中的新個體m。

Metropolis準(zhǔn)則公式如下：

(13)

式中：Δ為新舊染色體的適應(yīng)度之差；tk為控制參數(shù)。

4)設(shè)置接受概率，采用輪盤賭方法，N為染色體數(shù)量，接受概率公式如下：

(14)

5)判斷算法是否滿足停止準(zhǔn)則，如果不滿足，則返回到2)；如果滿足，則輸出種群中最大適應(yīng)度值的個體作為最優(yōu)解，終止計算。

綜上所述，運(yùn)用GASA改進(jìn)BRNN算法可以有效避免由于初始權(quán)重的隨機(jī)確定而導(dǎo)致每次實驗得到的模型精度存在較大偏差，并進(jìn)一步縮小了算法陷入局部最優(yōu)的可能性，流程如圖6所示。

圖6 GASA-BRNN流程結(jié)構(gòu)

3 性能計算與對比驗證

本文取極弧系數(shù)、定子槽寬度、永磁體偏心距作為特征變量，齒槽轉(zhuǎn)矩作為輸出，經(jīng)全局計算得到輸入、輸出數(shù)據(jù)360組。為提高數(shù)據(jù)泛化能力通過中心化實驗得到13組數(shù)據(jù)特征與全局計算不同的數(shù)據(jù)，將其與全局計算中的60組數(shù)據(jù)合并作為訓(xùn)練輸入，用以評估建立的GASA-BRNN模型的準(zhǔn)確性與對新數(shù)據(jù)的擬合能力。特征變量選取范圍如表2所示。

表2 特征變量選取范圍

3.1 初始化參數(shù)與算法實現(xiàn)

本文采用Matlab2019實現(xiàn)算法，通過確定神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)層數(shù)與隱藏層節(jié)點數(shù)，選擇激活函數(shù)與訓(xùn)練函數(shù)，添加學(xué)習(xí)率并給定網(wǎng)絡(luò)的目標(biāo)誤差值，進(jìn)行參數(shù)初始化調(diào)整，從而得到性能良好的網(wǎng)絡(luò)模型。

在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中輸入層神經(jīng)元數(shù)目h由輸入數(shù)據(jù)的特征變量決定，輸出層神經(jīng)元數(shù)目l由輸出變量決定，隱藏層神經(jīng)元數(shù)目σ，一般選取經(jīng)驗公式如下：

(15)

式中：ξ為[0,10]之間的常數(shù)；本文樣本空間中σ的取值范圍在[2,12]之間。但是σ與其余參數(shù)的確定一般具有很強(qiáng)的經(jīng)驗規(guī)律，根據(jù)具體問題的表現(xiàn)也各不相同。因此通過選用均方誤差MSE與絕對值誤差MAE作為性能指標(biāo)，對每次修改參數(shù)后的實驗?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行精度評估。MSE計算公式與式(7)相同，MAE公式如下：

(16)

式中：p為輸出變量數(shù)，得到的值越小模型精度越高。多次實驗后得到相對合理的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)配置如表3所示。

表3 網(wǎng)絡(luò)參數(shù)配置

3.2 性能計算

由于激活函數(shù)特性，網(wǎng)絡(luò)輸出值均在[0,1]之間，同時由于有限元直接得到的數(shù)據(jù)具有一定序列特征，因此將數(shù)據(jù)導(dǎo)入模型前，需要對劃分后的數(shù)據(jù)集進(jìn)行歸一化處理并進(jìn)行隨機(jī)排序再進(jìn)行導(dǎo)入。在訓(xùn)練過程中，GASA算法調(diào)節(jié)適應(yīng)度過程如圖7所示。

圖7 適應(yīng)度調(diào)節(jié)過程

為直觀顯示GASA-BRNN模型在齒槽轉(zhuǎn)矩預(yù)測方面的優(yōu)越性，同時驗證其在分析齒槽轉(zhuǎn)矩中的可靠性，將模型得到的測試集數(shù)據(jù)與傳統(tǒng)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)得到的測試集數(shù)據(jù)對有限元輸出的實際值進(jìn)行比較，可視化結(jié)果如圖8-圖9所示。

圖8 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測結(jié)果

由圖8-圖9可以看出，本文提出的GASA-BRNN模型相比于標(biāo)準(zhǔn)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有更好的預(yù)測性能，對比有

圖9 GASA-BRNN預(yù)測結(jié)果

限元方法得到的實際輸出齒槽轉(zhuǎn)矩曲線，GASA-BRNN模型具有令人滿意的擬合程度。為進(jìn)一步證明本文提出的模型在分析齒槽轉(zhuǎn)矩方面的優(yōu)秀性能，額外選取GA-BP、PSO-BP、RBF 3種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，在訓(xùn)練調(diào)整各自最優(yōu)初始值后，對測試數(shù)據(jù)的性能表現(xiàn)如表4所示。

表4 性能表現(xiàn)

表4中R2為數(shù)據(jù)擬合的關(guān)聯(lián)度，由性能參數(shù)可知，雖然各改進(jìn)算法相對于標(biāo)準(zhǔn)BP各有提升，但是本文提出的以極弧系數(shù)、永磁體偏心距、定子槽口寬度為輸入，齒槽轉(zhuǎn)矩為輸出的GASA-BRNN算法模型具有更加優(yōu)秀的性能。

4 結(jié)語

本文將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法應(yīng)用于永磁同步電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的預(yù)測中，并根據(jù)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的缺陷結(jié)合遺傳算法與模擬退火算法進(jìn)行改進(jìn)，利用貝葉斯正則化訓(xùn)練算法提高了模型的泛化能力。在樣本上則選擇了三輸入、單輸出的PMSM小樣本有限元仿真案例，通過數(shù)據(jù)處理反復(fù)進(jìn)行性能分析實驗，設(shè)計出良好的建模策略，完成了GASA-BRNN模型建立和對比分析，相對于文獻(xiàn)[5]提出的深度學(xué)習(xí)模型， GASA-BRNN模型簡化了實現(xiàn)過程，且根據(jù)各類性能指標(biāo)以及與有限元計算結(jié)果的對比，顯示其具有很高的預(yù)測精度，為電機(jī)結(jié)構(gòu)實現(xiàn)快速設(shè)計奠定基礎(chǔ)。