駱天溯, 趙靈峰, 馮蘊雯,*, 薛小鋒, 路 成

(1. 西北工業(yè)大學航空學院, 陜西 西安 710072; 2. 中國科學院微小衛(wèi)星創(chuàng)新研究院, 上海 201203;3. 復旦大學航空航天系, 上海 200433)

0 引 言

傳統(tǒng)的星座備份策略的應用對象為小型星座,衛(wèi)星數(shù)量少、單顆衛(wèi)星可靠度高、故障次數(shù)少,因此只需考慮使用少量備份衛(wèi)星,采用一級或兩級備份策略即可滿足星座性能要求。而在超大規(guī)模低軌星座普及的今天,星座中衛(wèi)星的數(shù)量是傳統(tǒng)星座中的幾十倍上百倍。同時,由于衛(wèi)星的小型化以及運載火箭運力的提升,在實際工程中往往采用一枚火箭將多顆衛(wèi)星送入軌道(一箭多星)的技術(shù)來降低發(fā)射成本。在星座的實際運行過程中,為了保證星座持續(xù)高性能運行,將衛(wèi)星進行備份是一種常見且有效的手段,特別是在建設(shè)超大規(guī)模衛(wèi)星星座中,設(shè)計者為了降低制造成本以及縮短制造時間通常會選擇可靠性較低的商業(yè)元器件而非宇航級元器件,這導致了相較于傳統(tǒng)小規(guī)模衛(wèi)星星座,超大規(guī)模星座中的衛(wèi)星在運行過程中更易出現(xiàn)失效,也凸顯出備份策略之于超大規(guī)模低軌衛(wèi)星星座的重要性。以銥星星座為例,在最初發(fā)射的一批衛(wèi)星中有20顆需要更換,備份衛(wèi)星數(shù)量占據(jù)了星座總衛(wèi)星數(shù)量的30%。隨著星座規(guī)模的不斷增大,衛(wèi)星失效次數(shù)也會逐漸增多,傳統(tǒng)衛(wèi)星星座備份策略對于這些龐大星座的求解效率以及適用度都很低,因此亟需提出一種新型備份策略來保證星座運行時的性能。

國內(nèi)外學者對星座備份策略和可維修備件多級保障庫存技術(shù)(multi-echelon technique for recoverble item control, METRIC)理論的研究十分廣泛并取得了一定的成果。在多級備件庫存優(yōu)化中一個非常重要的問題就是如何確定各級庫存點的備件數(shù)量。METRIC模型最早由Sherbrooke于1968年建立,該模型假設(shè)所有設(shè)施都有充足的修理能力,并服從庫存控制策略,模型目標是在庫存投資費用約束下,使預期延遲訂貨最小。Sherbrooke基于METRIC模型開發(fā)了一個能夠?qū)ふ以跈M向供應下預期延期訂貨的準確近似值的仿真程序。Rustenburg把備件的供應分為初始供應和再供應兩個過程,以費用為約束條件,用Petri網(wǎng)分別模擬了這兩個過程并建了相應的數(shù)學模型。Thonemann等建立了以單個及多個備件訂單的完成率為約束的庫存模型,且根據(jù)該模型設(shè)計了一種求解模型的啟發(fā)式算法。Willem等研究了以可靠性為中心的維修(reliability centered maintenance, RCM)過程,提出了以RCM過程中的費用數(shù)據(jù)來決定備件短缺費用的方法。上述文獻均為METRIC方法論奠定了理論上的基礎(chǔ),然而由于時間久遠且沒有實際應用,因此不能直接用于解決超大規(guī)模星座備份的問題。

METRIC模型被廣泛地應用在了各領(lǐng)域的復雜系統(tǒng)上。在航空領(lǐng)域,Muckstadt以民用飛機發(fā)動機為研究對象,考慮多訂單、多備件情況,建立了以最小化訂貨成本為優(yōu)化目標的METRIC模型。薛陶等以民用飛機為研究對象,建立了考慮資源共享以及備件報廢的飛機修理級別和備件聯(lián)合優(yōu)化模型。馮蘊雯等結(jié)合準更新理論、排隊論和VARI-METRIC模型提出了考慮維修比例的民機可修件多級庫存規(guī)劃方法。Wong等基于航空貨運公司的真實數(shù)據(jù)研究了基于橫向供應和等待時間約束的多級備件供應模型。在船舶領(lǐng)域,Sleptchenko和Rustenburg等將METRIC理論應用于海軍艦船裝備保障,建立了艦船備件的多級庫存分配模型。阮旻智等在METRIC理論的基礎(chǔ)上建立了備件的初始庫存優(yōu)化模型,并通過海軍裝備研究算例表明分層邊際優(yōu)化算法可大幅提高運算效率。在其他裝備領(lǐng)域,王乃超等研究了多約束條件下備件庫存優(yōu)化問題,建立了多約束條件下備件庫存優(yōu)化模型并給出了優(yōu)化算法。Bachman等針對美國航空航天局(National Aeronautics and Space Administration, NASA)未來太空探索需求研究備件保障問題,根據(jù)太空探索工具的特點將體積和質(zhì)量約束加入到優(yōu)化模型當中。由上述文獻可見,METRIC模型在各種大型系統(tǒng)中有著諸多成熟應用的先例,但鮮有學者將METRIC模型應用在超大規(guī)模星座這一大型系統(tǒng)上,這是因為超大規(guī)模星座的概念最近才被重視并實踐,因此METRIC模型在超大規(guī)模星座上的應用顯得尤為重要。

傳統(tǒng)的由少數(shù)高可靠度衛(wèi)星組成的衛(wèi)星星座備份策略的研究十分廣泛,Thomas等通過研究Walker等多種星座構(gòu)型建立了考慮“一箭三星”發(fā)射的100顆衛(wèi)星規(guī)模的備份模型,并求解出最少備份衛(wèi)星的配置方式。Lansard等通過研究大型通信衛(wèi)星星座建立了以運行可用性為優(yōu)化約束,發(fā)射費用和制造費用為優(yōu)化目標的備份模型,從而獲得考慮多標準的星座配置方案。Cornara通過研究全球衛(wèi)星導航星座,建立了考慮星座發(fā)射策略、部署策略以及在軌重構(gòu)過程的分別使用地面?zhèn)浞?、停泊軌道備份和星座平面?zhèn)浞菽Ｊ降膫浞莶呗?得出了各種備份模式的優(yōu)缺點以及選擇原則。Ereau考慮了火箭發(fā)射成功率和備份衛(wèi)星失效率,建立了基于Petri網(wǎng)的星座模型,并求出最優(yōu)的星座部署及維護策略。Kelley使用Markov模型來評估衛(wèi)星系統(tǒng)的生命周期成本,提出了綜合考慮采購、補給和運營成本因素下的星座備份模型。胡敏等進行了基于Petri網(wǎng)的Walker導航星座備份策略研究,給出了在軌和地面同時備份情況下的星座可用度計算模型。王爾申等提出了基于Markov過程的全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)(global navigation satellite system, GNSS)星座備份策略,并評估了不同數(shù)量的備份衛(wèi)星對星座可用度的影響。侯洪濤對GNSS系統(tǒng)進行了多層可用性分析,并計算了考慮備份衛(wèi)星時的星座可用性。上述文獻中的研究對象均為不超過100顆衛(wèi)星的小型星座,上述文獻中的方法在應用于超大規(guī)模星座時存在著局限性,Markov模型和Petri網(wǎng)模型在對象超過1 000時會出現(xiàn)狀態(tài)爆炸的問題,傳統(tǒng)優(yōu)化算法在處理超大規(guī)模星座問題時的計算時間十分冗長。

METRIC模型在衛(wèi)星星座領(lǐng)域的應用尚不豐富。Menachem提出了基于(,)庫存控制模型的通信衛(wèi)星星座備份策略,然而該模型只考慮了星座平面的一級備份。Pauline提出了一種基于METRIC理論的同時考慮了3種備份模式的超大規(guī)模星座備份策略,使用(,)庫存控制模型求解得到滿足星座可用度指標且星座備份費用最低時的星座配置方案,然而模型中只考慮了星座平面和停泊軌道平面兩級可用度,且未對結(jié)果進行邊際效應分析,無法給星座決策者提供更全面的備份衛(wèi)星配置方案。

本文提出了一種適用于超大規(guī)模星座的多級備份策略,同時使用地面?zhèn)浞?、停泊軌道備份以及在軌備?種備份模式對星座進行備份,并建立起以備份費用為優(yōu)化目標,星座-停泊軌道-地面三級可用度為約束條件的星座備份模型,運用遺傳算法(genetic algorithm, GA)對模型進行求解并使用邊際分析法(marginal analysis, MA)分析了每個參數(shù)的邊際效應,完成衛(wèi)星在多級備份結(jié)構(gòu)下的優(yōu)化配置研究,最后運用某個超大規(guī)模低軌星座作為研究對象驗證了方法的可行性和有效性。

1 問題描述與假設(shè)

隨著星座系統(tǒng)的不斷應用與發(fā)展,目前大規(guī)模星座系統(tǒng)的備份策略優(yōu)化需求日益嚴峻。傳統(tǒng)的星座備份策略考慮的衛(wèi)星數(shù)量較少、故障次數(shù)較低且擴展性不足,除此之外還不能很好考慮一箭多星發(fā)射的情況,從而無法很好地適配如今的超大規(guī)模低軌星座。本文在這一工程背景下開展星座三級備份策略研究,其中三級是指備份模式為在軌備份、停泊軌道備份以及地面?zhèn)浞?。星座三級備份示意圖如圖1所示。第一級備份為在軌備份。當一個星座軌道上的衛(wèi)星發(fā)生故障時,使用可用的在軌備份衛(wèi)星替換故障衛(wèi)星,這個替換時間等于備份衛(wèi)星從待機狀態(tài)進入工作狀態(tài)的時間,通常為幾天。第二級備份是停泊軌道備份。備份衛(wèi)星在較低高度的軌道上低功率運行,并且與星座軌道的傾角相同,當星座軌道中的備份不夠充足時這些停泊軌道上的備份衛(wèi)星將利用軌道機動轉(zhuǎn)移到在軌備份中,替換時間為衛(wèi)星等待軌道漂移時間加上軌道轉(zhuǎn)移時間,這個時間一般會持續(xù)一到兩個月。第三級備份是地面?zhèn)浞?。該級備份由兩部分組成,分別為火箭發(fā)射基地備份以及衛(wèi)星制造廠備份。相同數(shù)量的備份衛(wèi)星分別貯存在這兩個備份地點。當星座平面衛(wèi)星發(fā)生故障時火箭發(fā)射基地將備份衛(wèi)星發(fā)射進入軌道,同時制造廠將備份衛(wèi)星運輸?shù)交鸺l(fā)射基地。備份衛(wèi)星替換故障衛(wèi)星的時間為發(fā)射場的發(fā)射訂單處理時間加上火箭發(fā)射時間,這個時間一般會持續(xù)幾個月到一年。

圖1 星座三級備份系統(tǒng)Fig.1 Constellation three-level backup system

備份衛(wèi)星在三級備份系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移流程如圖2所示,當星座平面有衛(wèi)星發(fā)生故障則會向第一級在軌備份發(fā)送訂單補充備份衛(wèi)星;當?shù)谝患壴谲墏浞莸男l(wèi)星數(shù)量低于一定值(該值稱為在軌備份訂購點)后會向第二級停泊軌道發(fā)送訂單補充備份衛(wèi)星;當停泊軌道備份衛(wèi)星數(shù)量低于一定值(該值稱為停泊軌道訂購點)后,會向地面?zhèn)浞莅l(fā)送訂單補充備份衛(wèi)星。

圖2 備份衛(wèi)星在各級備份之間的轉(zhuǎn)移過程Fig.2 Transfer process of backup satellites between different levels

庫存管理策略是星座備份策略的重要組成部分,超大規(guī)模低軌星座備份策略之所以采用(,)庫存管理策略是因為該策略可以通過優(yōu)化訂購點以及訂單數(shù)量以最大化“一箭多星”發(fā)射帶來的費用優(yōu)惠。(,)庫存管理策略的補貨周期如圖3所示,每一級備份均貯存一定數(shù)量的備份衛(wèi)星,當某一級備份衛(wèi)星數(shù)量低于時就會向下一級備份發(fā)送數(shù)量為的備份訂單,其中為訂購點,為訂單數(shù)量。

圖3 (s,Q)備份衛(wèi)星庫存管理策略補貨周期示意圖Fig.3 Representation of replenishment cycles of (s,Q) backup satellite inventory management policy

為了簡化建模過程及提高模型的工程適用性,對星座多級備份模型合理地做出以下假設(shè):

(1) 在軌備份衛(wèi)星替換故障衛(wèi)星的時間忽略不計;

(2) 當一個星座軌道的備份衛(wèi)星數(shù)量達到訂購點時,同時向所有停泊軌道下達訂單,由距離星座軌道最近的且有余量的停泊軌道供應該批備份衛(wèi)星;

(3) 只有當前備份衛(wèi)星訂單處理完畢后才會處理下一個備份衛(wèi)星訂單;

(4) 所有衛(wèi)星的變軌時間、變軌費用、發(fā)射時間、發(fā)射費用都相同;

(5) 在一段時間內(nèi)衛(wèi)星的失效數(shù)以及地面?zhèn)浞菪l(wèi)星缺貨數(shù)均服從泊松分布;

(6) 不考慮衛(wèi)星在運行期間以及備份期間發(fā)生共因失效的情況。

2 星座多級備份模型

2.1 備份費用模型

該模型是為了求解在滿足可用度約束條件下最小的備份費用,總共考慮兩種可能產(chǎn)生備份費用的方式:衛(wèi)星制造費用以及衛(wèi)星發(fā)射費用。這些費用的和稱為星座年備份費用總和:

=+

(1)

211 制造費用

制造費用包含3部分,分別為衛(wèi)星制造部分、衛(wèi)星貯存部分以及衛(wèi)星燃料部分:

=++

(2)

(1) 衛(wèi)星制造費用

星座每年需要制造的備份衛(wèi)星數(shù)量等于這一年內(nèi)失效的衛(wèi)星數(shù)量,由于衛(wèi)星失效服從參數(shù)為的泊松分布,因此對于共有個軌道平面,第個平面上有顆衛(wèi)星的星座,每年的制造費用計算如下：

(3)

式中:為每顆衛(wèi)星的制造費用；為衛(wèi)星失效率(次年);為星座軌道條數(shù);為第條軌道上的衛(wèi)星個數(shù)。

(2) 衛(wèi)星貯存費用

衛(wèi)星每年貯存費用主要指衛(wèi)星在貯存期間相關(guān)人員及設(shè)備產(chǎn)生的費用,可分為兩部分,一部分為地面貯存費用,一部分為空間貯存費用:

=+

(4)

① 假設(shè)制造工廠每年貯存一顆衛(wèi)星的費用為,發(fā)射基地每年貯存一顆衛(wèi)星的費用為,地面?zhèn)浞葜行l(wèi)星制造工廠以及發(fā)射基地的備份衛(wèi)星數(shù)量均為顆,則地面貯存費用計算如下:

=(+)

(5)

② 星座軌道和停泊軌道上衛(wèi)星每年的貯存費用主要與他們貯存的備份衛(wèi)星平均數(shù)量有關(guān):

(6)

(7)

(8)

式中:為星座軌道每組備份衛(wèi)星的個數(shù);為停泊軌道每組備份衛(wèi)星的個數(shù);為星座軌道的訂購點;為停泊軌道的訂購點;為星座軌道備份組的數(shù)量;為停泊軌道備份組的數(shù)量;()為在周轉(zhuǎn)時間內(nèi)星座失效的衛(wèi)星數(shù)量;()為在周轉(zhuǎn)時間內(nèi)星座失效的衛(wèi)星數(shù)量;()=,()=。

由于地球不是一個均勻的標準的球體,會對運行在地球軌道上的衛(wèi)星產(chǎn)生軌道攝動,使其軌道產(chǎn)生漂移現(xiàn)象,因此隨著時間的推移,停泊軌道能夠與任意的星座平面對齊,也就是說每條停泊軌道都能夠為星座所有平面的故障衛(wèi)星進行替換。替換時間計算如下:

(9)

其中,離待補給的星座軌道第近的停泊軌道到星座軌道的周轉(zhuǎn)時間服從均勻分布:

(10)

(11)

霍曼變軌時間與初始軌道和目標軌道的半長軸的平均值(+)2有關(guān),其中為初始軌道半徑,為目標軌道半徑。()為離待補給的星座軌道第近的停泊軌道有可用備份衛(wèi)星的概率;為每條停泊軌道有可用備份衛(wèi)星的概率;EBO()為在停泊軌道的備份衛(wèi)星數(shù)量為時的期望短缺數(shù)。

(12)

(13)

(3) 衛(wèi)星燃料費用

星座每年產(chǎn)生的燃料費用為每年所有衛(wèi)星變軌消耗的燃料產(chǎn)生的費用:

(14)

式中:為燃料質(zhì)量轉(zhuǎn)換系數(shù);為變軌所需的燃料質(zhì)量。為了節(jié)省變軌燃料,停泊軌道中的備份衛(wèi)星只考慮使用霍曼轉(zhuǎn)移方式進入星座軌道,計算公式如下:

(15)

(16)

式中:為衛(wèi)星干重;為衛(wèi)星推進裝置有效推進速度;Δ為變軌前后不同高度軌道的速度差。

212 發(fā)射費用

每年的發(fā)射費用與每年失效的衛(wèi)星數(shù)量有關(guān):

(17)

式中:為每顆衛(wèi)星的發(fā)射費用。

2.2 星座可用度模型

221 衛(wèi)星年平均需求量

年平均需求量是指星座在一年中需要替換的備份衛(wèi)星數(shù)量,也指一年中星座中失效的衛(wèi)星數(shù)量,計算公式如下:

(18)

式中:為第個星座平面中衛(wèi)星的數(shù)量;FH為衛(wèi)星每年運行時間;為星座軌道數(shù)量;MTBF為衛(wèi)星的平均無故障間隔。

假設(shè)各星座軌道年平均需求量相同,則各星座軌道衛(wèi)星年平均需求量為

(19)

式中:為衛(wèi)星在星座軌道的年平均需求量,=1,2,…,,為星座軌道數(shù)量。

各停泊軌道衛(wèi)星年平均需求量:

(20)

衛(wèi)星在停泊軌道的年平均需求量等于星座軌道申請的備份衛(wèi)星需求之和,=1,2,…,,為停泊軌道數(shù)量。

發(fā)射基地備份年平均需求量:

(21)

衛(wèi)星在地面?zhèn)浞莼氐哪昶骄枨罅?span id="j5i0abt0b" class="subscript">等于停泊軌道申請的備份衛(wèi)星需求之和,=1,2,…,,為地面?zhèn)浞莼財?shù)量。

222 期望需求量

期望需求量也稱為供應渠道件數(shù),指周轉(zhuǎn)時間內(nèi)發(fā)生的平均需求量。各地面?zhèn)浞莼匦l(wèi)星期望需求量:

=

(22)

式中:為從地面到停泊軌道的周轉(zhuǎn)時間,計算公式如下:

=+

(23)

式中:為衛(wèi)星從發(fā)射到停泊軌道的平均發(fā)射時間;為火箭發(fā)射基地平均訂單處理時間。

各停泊軌道衛(wèi)星期望需求量:

(24)

式中:EBO()為衛(wèi)星在地面?zhèn)浞莼氐膫浞菪l(wèi)星數(shù)量為時的期望短缺數(shù)。

各星座軌道衛(wèi)星期望需求量:

(25)

式中：為衛(wèi)星從停泊軌道到星座軌道的周轉(zhuǎn)時間。

223 期望短缺數(shù)與星座可用度

期望短缺數(shù)是指在某一時間內(nèi)未能滿足供應的衛(wèi)星需求數(shù)。根據(jù)METRIC理論,各地面?zhèn)浞莼匦l(wèi)星期望短缺數(shù)計算公式如下:

(26)

各停泊軌道衛(wèi)星期望短缺數(shù):

(27)

各星座軌道衛(wèi)星期望短缺數(shù):

(28)

星座可用度是指在某一時間星座中正常運行的衛(wèi)星所占的期望百分比,計算公式如下:

(29)

2.3 優(yōu)化模型

研究衛(wèi)星在軌備份策略的目的是在滿足星座可用性的前提下使星座運行支持成本最低,因此建立以備份費用為目標函數(shù),星座可用度不小于099且火箭一次發(fā)射搭載衛(wèi)星的數(shù)目小于等于火箭運載能力為約束的優(yōu)化模型:

(30)

式中:為每年的總備份費用,可由式(1)計算;為星座軌道衛(wèi)星可用度,可由式(29)計算;為保證星座正常工作的最低可用度要求;為一枚運載火箭可以搭載的衛(wèi)星數(shù)目上限。

3 多級備份策略優(yōu)化流程

超大規(guī)模衛(wèi)星星座多級備份策略優(yōu)化問題是一個復雜非線性混合整數(shù)優(yōu)化問題,目標函數(shù)由多個復雜非線性函數(shù)構(gòu)成且包含隨機分布,優(yōu)化參數(shù)同時包括整數(shù)及浮點數(shù)類型,優(yōu)化約束同時包含非線性約束及線性約束,使用傳統(tǒng)優(yōu)化求解方法計算時間長且對計算機性能要求高。GA是一種高度并行、隨機和自適應的智能優(yōu)化算法。使用GA進行星座備份策略求解問題的流程如圖4所示。

圖4 GA求解星座多級備份策略優(yōu)化流程圖Fig.4 Optimization flow chart of constellation multi-level backup strategy using GA

使用GA求解的星座多級混合備份模型的求解步驟可描述如下：

輸入星座固定參數(shù)及優(yōu)化參數(shù)。

這些輸入變量組成一個初始個體組,初始種群由一組初始個體構(gòu)成,對每一個個體的適配值進行評價。

判斷算法是否滿足模型全部約束條件。若滿足則將優(yōu)化結(jié)果進行輸出;否則執(zhí)行步驟4～步驟7。

根據(jù)適配值大小以一定方式進行復制操作。

設(shè)定交叉概率并進行交叉操作。

設(shè)定變異概率并進行變異操作。

返回步驟4。

4 案例分析

4.1 輸入?yún)?shù)

某星座由40條高度為1 200 km、傾角為50°的軌道組成,每條軌道上有40顆運行衛(wèi)星,衛(wèi)星的故障率為0.1(次/年),星座可用度指標為0.99,模型中的優(yōu)化參數(shù)以及星座固定參數(shù)如表1和表2所示。

表1 模型優(yōu)化參數(shù)

表2 星座固定參數(shù)

4.2 輸出結(jié)果與分析

基于上述信息,依據(jù)式(1)可以得到星座每年的備份費用,根據(jù)式(29)可以得到星座可用度,在此基礎(chǔ)上建立以備份費用為優(yōu)化目標、星座可用度和火箭運載能力為約束的星座三級備份模型,利用GA對該模型進行求解,得出各級備份衛(wèi)星的配置數(shù)量,其優(yōu)化結(jié)果如表3所示。

表3 星座三級備份策略優(yōu)化結(jié)果

根據(jù)以上結(jié)果可以得出,當前星座最優(yōu)備份策略為:將3條停泊軌道部署在831.74 km高度處,星座軌道備份衛(wèi)星低于1顆時從停泊軌道補充4顆衛(wèi)星;當停泊軌道備份衛(wèi)星少于40顆時從地面發(fā)射32顆備份衛(wèi)星;發(fā)射基地以及衛(wèi)星制造工廠各備份32顆衛(wèi)星。此時,星座每年的總備份費用為464.32百萬美元;星座可用度為0.995 0。

為了研究不同星座配置方式對星座可用度及備份費用的影響,使用MA法對不同輸入?yún)?shù)帶來的邊際效應進行分析。根據(jù)第4.1節(jié)的計算結(jié)果,最優(yōu)的備份策略為星座平面的備份衛(wèi)星庫存管理策略(,)=(1,4),停泊軌道平面的備份衛(wèi)星庫存管理策略(,)=(40,32)。

在,,與4個變量中,保持某3個變量不變的情況下,改變另一個變量以研究該變量下星座可用度與備份費用的邊際效益。不同和值下的星座可用度隨備份費用的變化關(guān)系如圖5所示,不同和值下的星座可用度隨備份費用的變化關(guān)系如圖6所示。

圖5 sxz與stb的邊際效應Fig.5 Marginal effects of sxz and stb

圖6 Qxz與Qtb的邊際效應Fig.6 Marginal effects of Qxz and Qtb

的定義域為1到20之間的所有整數(shù),但是當>5時>34,即一次發(fā)射的火箭數(shù)量超過了運載火箭運力的限制,因此在圖5與圖6中沒有相應計算結(jié)果。

從圖5兩組數(shù)據(jù)對比來看,對于星座可用度的影響十分明顯,而對總備份費用的影響并不顯著,平均增加一組會增加003左右的星座可用度,而只增加6百萬的備份費用。對備份費用的影響更為顯著,而對星座可用度的影響并不明顯,每增加一個會增加20百萬的備份費用,而基本不增加星座可用度。因此,調(diào)整比調(diào)整可以為星座配置帶來更好的邊際效應。

從圖6中可以看出,隨著的增加,星座總備份費用在上升的同時星座可用度也隨之上升,這是因為運載火箭一次發(fā)射的衛(wèi)星數(shù)量越多,平均每顆衛(wèi)星的發(fā)射費用會大幅降低,因此帶來總備份費用的降低。而的增加同樣會導致星座平面?zhèn)浞菪l(wèi)星數(shù)量的增加,因此星座可用度也會上升。然而,不能無限增加,因為當>5時>34,一次發(fā)射的火箭數(shù)量超過了運載火箭運力的限制。當從3增長至4時帶來的邊際效應最為明顯,即減小單位備份費用可以增加最多的星座可用度。同樣,隨著的增加星座總備份費用在上升的同時星座可用度也隨之上升,這是因為運載火箭一次發(fā)射的衛(wèi)星數(shù)量越多,平均每顆衛(wèi)星的發(fā)射費用會大幅降低,因此帶來總備份費用的降低。而的增加同樣會導致星座停泊軌道備份衛(wèi)星數(shù)量的增加,因此星座可用度也會上升。然而,不能無限增加因為運載火箭運力的限制≤34。當從24增長至28時帶來的邊際效應最為明顯,即減小單位備份費用可以增加最多的星座可用度。

從圖6兩組數(shù)據(jù)對比來看,對于星座可用度的影響十分明顯,平均增加1個會增加013的星座可用度且減少210百萬的備份費用。對于星座備份費用的影響更為顯著,平均增加一組可以降低2354百萬的備份費用。因此,調(diào)整比調(diào)整可以為星座配置帶來更好的邊際效應。

4.3 方法有效性論證

431 三級備份策略與兩級備份策略的比較

為了驗證星座多級備份策略的可行性和有效性,基于表2的星座參數(shù),只對星座進行傳統(tǒng)的在軌備份和地面?zhèn)浞輧杉墏浞?在星座可用度指標同樣為099下,星座每年的備份費用為67243百萬美元。相比之下,引入了停泊軌道的三級備份策略費用為45469百萬美元,同比節(jié)省3238%。星座兩級備份策略的輸出結(jié)果如表4所示。使用兩級備份模式時,最優(yōu)的備份策略為:每條軌道備份衛(wèi)星低于2顆衛(wèi)星時一次性從地面發(fā)射28顆衛(wèi)星進行補充,同時地面貯存85顆備份衛(wèi)星。

表4 星座兩級備份策略優(yōu)化結(jié)果

不同星座規(guī)模下三級備份策略相對兩級備份策略帶來的備份費用的降低情況不同。圖7(a)展示了在星座平面數(shù)量為40個時,三級備份策略比兩級備份策略節(jié)省的備份費用比例隨每個平面上衛(wèi)星顆數(shù)的變化。隨著每個平面上衛(wèi)星數(shù)量的增加,三級備份策略比兩級備份策略節(jié)省的備份費用的比例越來越少,當每個平面上有100顆衛(wèi)星時,三級備份策略能節(jié)省12.01%的備份費用,而當每個平面上只有10顆衛(wèi)星時可以節(jié)省51.70%的備份費用,這是因為每個平面上衛(wèi)星數(shù)量越少,三級備份策略“一箭多星”帶來的發(fā)射費用的降低越明顯;當每個平面上衛(wèi)星數(shù)量增加時,每個平面上的失效衛(wèi)星數(shù)也在增加,此時兩級備份策略會選擇一次性發(fā)射更多衛(wèi)星來維持星座可用性,從而降低了發(fā)射費用,也因此縮小了與三級備份策略的備份費用差距。圖7(b)展示了在星座平面數(shù)量為5個時,三級備份策略比兩級備份策略節(jié)省的備份費用比例隨每個平面上衛(wèi)星顆數(shù)的變化。可以看出,當每個星座平面衛(wèi)星數(shù)減小到3顆以下時,兩級備份費用比三級備份費用低,這是因為當星座規(guī)模減小時,“一箭多星”帶來的發(fā)射費用降低效果會顯著下降,且增加的停泊軌道備份會引入更多數(shù)量的備份衛(wèi)星,從而增加在軌貯存費用,導致兩級備份費用反而比三級備份費用低。

圖7 不同星座備份策略在每條軌道上衛(wèi)星數(shù)目不同的 情況下的備份費用Fig.7 Backup cost of different constellation backup strategies under the condition of different numbers of satellites in each orbit

圖8(a)展示了每個星座平面上有40顆衛(wèi)星時,三級備份策略比兩級備份策略節(jié)省的備份費用比例隨星座平面數(shù)的變化。可以看出,三級備份費用比兩級備份費用節(jié)省的比例隨星座平面數(shù)的變化沒有明顯規(guī)律,星座平面數(shù)量并沒有明顯影響到三級備份策略對比傳統(tǒng)兩級備份策略的費用節(jié)省比例。對于給定的星座規(guī)模,三級備份費用平均比兩級備份費用節(jié)省32%。圖8(b)展示了每個星座平面上有5顆衛(wèi)星時,三級備份策略比兩級備份策略節(jié)省的備份費用比例隨星座平面數(shù)的變化。可以看出,星座平面數(shù)減少到5個以下時,兩級備份費用比三級備份費用低,這是因為與圖7(b)類似,當星座規(guī)模減小時,“一箭多星”帶來的發(fā)射費用降低效果會顯著下降,且增加的停泊軌道備份會引入更多數(shù)量的備份衛(wèi)星,從而增加在軌貯存費用,導致兩級備份費用反而比三級備份費用低。

圖8 不同星座備份策略在星座平面數(shù)不同情況下的 備份費用Fig.8 Backup cost of different constellation backup strategies under the condition of different numbers of constellation plane

可用度指標是星座運營商衡量服務(wù)質(zhì)量的重要方式,也對備份費用起著決定性作用,為了保證更高的性能要求,必將增加備份衛(wèi)星數(shù)目,從而增加備份費用。為了體現(xiàn)三級備份策略比兩級備份策略的優(yōu)越性,對比了不同可用度指標下不同備份策略下星座備份的成本,三級備份策略對比兩級備份策略備份費用節(jié)省的比例隨星座可用度指標的關(guān)系如圖9所示。無論在何種星座可用度指標下,三級備份策略都比兩級備份策略節(jié)省大量備份費用,其中在星座可用度指標為0.99時,三級備份策略比兩級備份策略節(jié)省43%的備份費用;在星座可用度指標為0.8時,三級備份策略比兩級備份策略節(jié)省73%的備份費用。星座可用度指標越低,三級備份策略會比兩級節(jié)省的費用越多,這是因為在可用度指標越低時三級備份策略更能利用“一箭多星”發(fā)射帶來的發(fā)射成本的優(yōu)勢,最大化利用火箭運力一次性發(fā)射多顆衛(wèi)星從而降低發(fā)射成本。除了使用GA對該優(yōu)化問題進行求解以外，本文還通過MA法進行求解并對比兩種方法在求解此類問題時各自的優(yōu)缺點。

圖9 不同星座可用度指標下三級備份策略對比兩級備份策略 備份費用節(jié)省的比例Fig.9 Percentage of backup cost savings of three-level backup strategy and two-level backup strategy under different constellation availability indicators

4.3.2 GA與MA的比較

MA主要研究一種因素的變化所帶來的另一種因素的變化程度,作用在于能夠在星座備份成本性態(tài)分析的基礎(chǔ)上,界定變動成本和固定成本后,明確星座備份策略決策的方向,使得星座運行管理決策有“法”可依,科學有效。而且由于MA屬于相關(guān)性分析,有助于理清各個相關(guān)變量之間變化的規(guī)律,使復雜問題簡單化,助力目標最優(yōu)化的決策。使用MA對GA的計算結(jié)果進行分析,是因為GA輸出的結(jié)果并不能得到星座備份策略的邊際效應,也就無法研究各個變量對星座可用度及備份費用的影響程度,這對于星座管理者的決策過程十分重要。GA與MA的計算時間如圖10所示。

圖10 GA與MA的計算時間對比Fig.10 Computation time comparison of GA and MA

顯然,在各種星座規(guī)模下GA的計算時間比MA都有更大優(yōu)勢,這是因為GA沒有計算所有情況下的結(jié)果,而是使用特定的搜索方式來尋找最優(yōu)解。在各種星座規(guī)模下,GA的迭代次數(shù)最多為148次,計算時間僅3.6 s;而對于相同的優(yōu)化問題,MA需要計算1.6×10次(具體計算次數(shù)與變量的優(yōu)化范圍有關(guān)),即使采用八核心處理器并行計算時間最短也需363.2 s,可見采用GA對于計算速度的提升極為明顯。

5 結(jié) 論

本文研究了一種基于METRIC理論的超大規(guī)模衛(wèi)星星座備份策略模型,同時考慮地面、停泊軌道以及星座平面3種備份模式對衛(wèi)星星座進行備份,并考慮在軌衛(wèi)星隨機失效的情況下使用(,)庫存管理策略對備份衛(wèi)星進行管理。以星座三級備份可用度為優(yōu)化約束,以星座備份費用為目標函數(shù),建立起備份策略數(shù)學優(yōu)化模型。模型充分考慮小型衛(wèi)星批量化生產(chǎn)以及運載火箭“一箭多星”發(fā)射,相比傳統(tǒng)備份策略大量節(jié)省備份費用;模型采用GA進行求解,相比傳統(tǒng)優(yōu)化算法節(jié)省大量計算時間。

(1) 本文將METRIC模型應用在超大規(guī)模低軌衛(wèi)星星座中,構(gòu)建了包含地面?zhèn)浞?、停泊軌道備份和星座平面?zhèn)浞莸亩嗉墏浞莶呗阅Ｐ?建立了以制造費用和發(fā)射費用組成的星座備份費用為優(yōu)化目標,以地面可用度、停泊軌道可用度和星座平面可用度組成的星座可用度為約束條件的星座三級備份數(shù)學優(yōu)化模型。

(2) 將某超大規(guī)模低軌衛(wèi)星星座作為研究對象,通過GA對所構(gòu)建的模型進行求解,得到最優(yōu)的星座備份策略。在星座最優(yōu)備份配置下,,,與4個變量中改變的值會使可用度隨備份費用的變化最明顯,即改變的值對于提高星座可用度的效果更好。

(3) 計算表明三級備份策略比傳統(tǒng)兩級備份策略可以節(jié)省32%的備份費用,證明了星座多級備份策略的可行性和有效性。

(4) 與MA相比,GA對于本文復雜非線性混合整數(shù)優(yōu)化問題的求解速度優(yōu)勢十分明顯,然而不能分析每個變量的邊際效應;MA計算速度遠不及智能優(yōu)化算法,但可以研究每個變量對計算結(jié)果的影響程度,這對于決策者十分重要。