角平分線教學中滲透深度學習

郭海燕

摘要：深度學習指導，互動白板技術(shù)的支持融合下《線段垂直平分線》教學實踐的應用.

關(guān)鍵詞：理解遷移新知識生成;類比構(gòu)建知識體系

一、理解遷移新知識生成

人教版教材中 “線段垂直平分線”內(nèi)容安排在“角的平分線”之后，兩者的教學內(nèi)容與順序均以概念認識、性質(zhì)探究、判定探究、應用實踐為主線。

若把“角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等”這個定理中的“到角的兩邊的距離”衍化為“角的平分線上的點到角的兩邊與頂點等距離的點的距離相等”;再把角度大小一般化，展成平角，結(jié)論依然成立（如圖1-1）。

此時，角的平分線所在直線就是平角兩邊所在直線的垂線，也是與頂點等距離的點所構(gòu)成線段的垂直平分線，原有的結(jié)論依然成立，實質(zhì)上就是線段的垂直平分線的性質(zhì)。再結(jié)合八年級學段學情與教學目標，從數(shù)學的眼光看在對待問題上，學生已經(jīng)具備抽象意識了，數(shù)學思維已經(jīng)從小學學段的推理意識形成逐步轉(zhuǎn)向推理能力的形成過程當中，漸漸向發(fā)展邏輯思維能力邁進的時候。因此，筆者認為“線段的垂直平分線”的學習，完全可以從“角的平分線”切入，借助信息技術(shù)支持的幾何直觀，實現(xiàn)研究方法的有效遷移，依合理、邏輯條理的，從當前內(nèi)容向縱深、一般化推廣，然后再聯(lián)想所學的內(nèi)容跟后續(xù)學習的什么內(nèi)容相關(guān)，進而完成新知識生成，豐富認知策略，學會“類比遷移”。設(shè)計成下列問題驅(qū)動完成操作：

案例：

角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等

問題1：已知：如圖1-2，∠MOC=∠NOC，點P在射線OC上，PA⊥OM于A，PB⊥OM于B. 求證：PA=PB

問題2：已知：如圖1-3，∠MOC=∠NOC，點P在射線OC上，AO=BO. 求證：PA=PB

問題3：已知：如圖1-4，∠MON=180o，∠MOC=∠NOC，點P在射線OC上，AO=BO. 求證：PA=PB

問題4：已知：如圖1-5，∠MON=180o，∠MOC=∠NOC，點P在直線OC上，AO=BO. 求證：PA=PB

問題5：已知：如圖1-6，直線OC⊥線段AB于O，AO=BO，點P在直線OC上. 求證：PA=PB

歸納：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等---線段垂直平分線的性質(zhì)

這個設(shè)計的意圖在于：“線段垂直平分線的性質(zhì)”定理由“角的平分線的性質(zhì)”定理縱深推廣遷移而得，不是按照老師要求被動操作的，而是需要學生跳一跳才能摘到的果實，思維量大，探究味濃，故而，參與性強，特別是這種縱深推廣、特殊化類比比較的思維方式，是一種深層次的遷移，貼切的體現(xiàn)了深度學習要求學生“積極投入，處于較高認知水平層次、基于理解”的學習過程，已有的背景下生成新知識，逐漸完善知識結(jié)構(gòu)，“構(gòu)建自己的知識體系”，同時“解決情境下問題”。完成這個學習過程是在互動白板技術(shù)支持下，“角的平分線”從一般化的角，展成平角，再特殊化成“線段的垂直平分線”，把設(shè)計的情景圖以及操作在互動白板的技術(shù)支持下一一動態(tài)呈現(xiàn)，其直觀性對完善學生的認知方式和提高數(shù)學學科核心素養(yǎng)能力均有深遠的影響。

二、類比構(gòu)建知識體系

學習角平分線的判定時，我們是這樣進行：我們知道，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。問題：交換角的平分線性質(zhì)中的條件和結(jié)論，你能得到什么命題，這個新命題正確嗎？

去探究，證明得到的結(jié)論是肯定的：到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上類似的，學習線段的垂直平分線的判定時，同樣類比的問題：交換線段的垂直平分線的性質(zhì)中的條件和結(jié)論，你能得到什么命題，這個新命題正確嗎？

在得出“線段的垂直平分線性質(zhì)”后，教材便指出，性質(zhì)定理條件與結(jié)論互換也成立，但沒有直接證明，以小貼士的形式問“自己證明嗎”？配套的教師用書中要求學生自己給出證明，經(jīng)歷完整過程，感受證明的必要性。這與學習“角的平分線的性質(zhì)”時要求相同，所以類比“角的平分線的性質(zhì)定理的逆定理”，筆者設(shè)計如下問題串：

問題1：在性質(zhì)定理探究結(jié)束后，下一步同學們想研究什么？

問題2：性質(zhì)定理的逆命題是什么？

問題3：這個逆命題是真命題嗎？如何證明？

這個設(shè)計的意圖在于，引導學生類比角的平分線的學習，聯(lián)想到研究性質(zhì)定理是否也有逆定理？同時，教學中引導學生逐步完善命題的規(guī)范表述，實際包含一個條件“與線段兩個端點距離相等”，兩個結(jié)論“點在這條線段的垂直平分線上----該點既在此線段的垂線上又在此線段的平分線上”，如何實現(xiàn)“點既在垂線上又在平分線上”？通過白板實驗反例驅(qū)動學生思考，得出：過這點垂直線段的垂足會是線段中點，線段中點與這點連線會垂直此線段。理解后歸納這類問題處理通法：通過作輔助線實現(xiàn)一個結(jié)論，證明剩下一個結(jié)論。

正如數(shù)學家德海納特說，所有有活力的思想都有一個緩慢的發(fā)展過程，應留足夠的探索時間，引導學生深度學習，領(lǐng)悟定理發(fā)現(xiàn)或發(fā)展、問題解決過程有著不可忽視的教育價值.

參考文獻：

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[2]劉華為，沈旭東.基于操作感悟突出生成過程---“三角形有關(guān)概念的幾點思考”[J].中學數(shù)學教學參考（中旬），2020（1-2）.

基金項目：福州市教育科學研究“十三五”規(guī)劃2020年度課題《基于深度學習的數(shù)學教學案例探究----以互動白板在數(shù)學教學中的實踐為例》 編號：（FZ2020GH020）ED38FE8A-F21C-44D5-AB38-7734EE5A08DF