初中數(shù)學(xué)中的最短路徑問題研究

劉靜

摘要：初中數(shù)學(xué)是學(xué)生抽象性思維、發(fā)散性思維和邏輯性的重要培養(yǎng)階段，而在初中數(shù)學(xué)知識(shí)中，“最短路徑問題”就是一個(gè)既能鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維，又能在現(xiàn)實(shí)中實(shí)踐的數(shù)學(xué)問題。初中數(shù)學(xué)中的最短路徑問題可分為兩點(diǎn)之間最短路徑問題、點(diǎn)與線之間最短路徑問題以及立體幾何圖形上兩點(diǎn)之間最短路徑問題。本文就以上初中數(shù)學(xué)中的最短路徑問題展開研究。

1回顧舊識(shí)，引入新知

回顧已經(jīng)學(xué)過的理論知識(shí)，“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂直線段最短”等理論知識(shí)。引入最短路徑問題，結(jié)合現(xiàn)實(shí)例子對(duì)兩點(diǎn)之間最短路徑、點(diǎn)線之間最短路徑、立體幾何中兩點(diǎn)之間最短路徑進(jìn)行詳細(xì)講解。

2最短路徑問題實(shí)例

2.1兩點(diǎn)之間最短路徑

例：如圖，已知有AB兩點(diǎn)，兩點(diǎn)間有三條線連接，求兩點(diǎn)間的最短距離。

分析：顯而易見，通過所學(xué)的知識(shí)“兩點(diǎn)之間，線段最短”的知識(shí)便能很快知曉兩點(diǎn)間的最短路徑。同時(shí)也可引出三角形的三邊關(guān)系“三角形的兩邊之和大于第三邊”。這種問題在現(xiàn)實(shí)生活中最常見的應(yīng)用是：選取兩地之間的最短路線。

2.2點(diǎn)線之間最短路徑

點(diǎn)線之間的最短路徑問題中有一個(gè)點(diǎn)與一條線之間的最短路徑、兩點(diǎn)一線的最短路徑、兩點(diǎn)兩線最短路徑等問題。

（1）一個(gè)點(diǎn)與一條線之間最短路徑問題

例：如圖，小明開船想要從A點(diǎn)到河對(duì)面，問怎樣走，路程最短。

分析：如圖所示可知，小明想要從A點(diǎn)駕駛船只以最短距離到達(dá)對(duì)岸，只有按AB路線行駛，依據(jù)理論可知，點(diǎn)到直線上的所有線段中，垂直線段最短。

（2）兩點(diǎn)一線的最短路徑

這個(gè)問題便是最經(jīng)典的將軍飲馬問題，例：相傳有位將軍騎馬從A地出發(fā)，要到河邊去飲馬，再然后去B城視察，問將軍到河邊的什么地方飲馬可以使得其所走的全程路線最短。如圖：

這個(gè)問題就非常考察學(xué)生對(duì)知識(shí)運(yùn)用的靈活性，鍛煉孩子的發(fā)散性思維。分析：以河邊為對(duì)稱軸，做出B城的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B1，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可知對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)C到B點(diǎn)和B1點(diǎn)的距離相等，所以AC+BC最短距離=AC+B1C最短距離，已知兩點(diǎn)之間線段最短，連接AB1，相交于對(duì)稱軸，可得點(diǎn)C，由此可得當(dāng)C點(diǎn)為AB1與對(duì)稱軸的交點(diǎn)時(shí)，將軍所走全部路程路線最短[2]。如圖所示：

2.3立體幾何中兩點(diǎn)之間最短路徑

在立體幾何求圓柱體上兩點(diǎn)之間最短路徑比較常見，是重難點(diǎn)所在。例：圓柱體底部直徑為6cm，高為10cm，有只瓢蟲在圓柱體表面如下圖表示方法爬行，求其最短的爬行距離。

如圖：

分析：可知圓柱體表面展開是一個(gè)長方形，由此將AB所在截面分成兩個(gè)部分，那這條曲線就被分成首尾相連的四段，將曲線展開后將得到四個(gè)相等的長方形，于是將四段曲線變?yōu)榫€段，那由圖可知，當(dāng)所有線段為同一條線時(shí)，路徑最短，即AB1的長度[3]。如圖所示：

此題最為關(guān)鍵的地方在于，講立體幾何的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為平面幾何，將復(fù)雜問題簡單化;此外還囊括了勾股定理，化曲為直等思想方法，所以這就要求學(xué)生一是要有扎實(shí)的理論基礎(chǔ)，二是要將學(xué)習(xí)到的東西靈活運(yùn)用于題目中。

參考文獻(xiàn)：

[1]尹加根.解析數(shù)學(xué)教學(xué)中的最短路徑問題[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018，17（09）：139.

[2]徐根寶.淺析初中數(shù)學(xué)最短路徑問題[J]. 試題與研究：教學(xué)論壇， 2018（3）：50-50.

[3]吳高敏.柱體表面上的爬行（纏繞）最短路徑問題探究[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究：華南師范大學(xué)， 2017（18）：46-48.