顧新佳

【摘 要】新課程改革背景下，數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)不斷追求“深入淺出”，呼喚對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的關(guān)注，期待知識(shí)結(jié)構(gòu)體系的建構(gòu)，重視數(shù)學(xué)思維能力的提升。本文結(jié)合特級(jí)教師周衛(wèi)東“平行四邊形的面積”一課，分析如何站在一個(gè)較高的視角統(tǒng)領(lǐng)學(xué)習(xí)任務(wù)，在教學(xué)中力求順應(yīng)學(xué)情、深究本質(zhì)、建立體系、發(fā)散思維，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)。

【關(guān)鍵詞】高觀點(diǎn) 數(shù)學(xué)知識(shí) 主動(dòng)建構(gòu)

近日，筆者觀摩周衛(wèi)東老師執(zhí)教的“平行四邊形的面積”一課，對(duì)周衛(wèi)東老師一貫堅(jiān)守的“高觀點(diǎn)”教學(xué)主張有了更深的認(rèn)識(shí)。本節(jié)課順應(yīng)學(xué)情、深究本質(zhì)、站位高遠(yuǎn)，幫助學(xué)生突破知識(shí)本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)。

一、大問(wèn)題統(tǒng)整，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)

“德國(guó)著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家克萊因倡導(dǎo)‘高觀點(diǎn)’，即從高等數(shù)學(xué)的角度來(lái)審視初等數(shù)學(xué)?！案哂^點(diǎn)”給初等數(shù)學(xué)的教學(xué)帶來(lái)了生機(jī)與活力?！笔苌鲜鲇^點(diǎn)的啟發(fā)，周衛(wèi)東老師積極倡導(dǎo)基于“高觀點(diǎn)”視角的數(shù)學(xué)教學(xué)。他認(rèn)為：“所謂‘高’者，即不一般、優(yōu)于常態(tài)也，‘高觀點(diǎn)’視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)，可以從內(nèi)容的縱深維度遷移到內(nèi)容的寬窄維度，推及思想的高低維度等?！薄案哂^點(diǎn)”視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)，立于教學(xué)的高位，回應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)。

教學(xué)中，通過(guò)大問(wèn)題統(tǒng)整，可以幫助學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)。所謂大問(wèn)題，就是一種開(kāi)放性問(wèn)題或具有多元思考方式的問(wèn)題，來(lái)鼓勵(lì)學(xué)習(xí)者積極參與問(wèn)題解決中，使學(xué)生嘗試尋找有用的知識(shí)、思考合適的方案來(lái)解決主要問(wèn)題。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的大問(wèn)題觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)，是課堂教學(xué)中的問(wèn)題之“眼”。

（一）大問(wèn)題引領(lǐng)，促數(shù)學(xué)思維萌芽

周衛(wèi)東老師在執(zhí)教“平行四邊形的面積”一課時(shí)，緊緊扣住“平行四邊形的面積到底該怎么計(jì)算”這個(gè)大問(wèn)題統(tǒng)領(lǐng)教學(xué)。

上課伊始，周衛(wèi)東老師出示學(xué)生課前小研究的三種典型算法：

課堂上，當(dāng)三種算法呈現(xiàn)出來(lái)時(shí)，學(xué)生紛紛舉手，準(zhǔn)備表達(dá)觀點(diǎn)。這時(shí)，周衛(wèi)東老師提醒學(xué)生說(shuō)：“如果你想要證明哪一種結(jié)果是對(duì)的，就要說(shuō)出你的方法。”看似平常的提醒，卻為學(xué)生后面沿著大問(wèn)題的脈絡(luò)一步一步接近數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)奠定了基礎(chǔ)。

學(xué)生經(jīng)過(guò)交流，很快得出了結(jié)論。方法①是算周長(zhǎng)的，不符合條件。而方法②，是課前預(yù)習(xí)中學(xué)生常出現(xiàn)的錯(cuò)誤之一，為什么這種方法不對(duì)呢？學(xué)生從長(zhǎng)方形的面積計(jì)算中得到啟發(fā)，認(rèn)為平行四邊形不是長(zhǎng)方形，所以不能用鄰邊相乘來(lái)計(jì)算。對(duì)于方法③，絕大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為是對(duì)的，這多源于課前預(yù)習(xí)?；谶@樣的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，周衛(wèi)東老師在“平行四邊形的面積到底該怎么算”這個(gè)大問(wèn)題的統(tǒng)領(lǐng)下，拋出了“怎么說(shuō)明這個(gè)平行四邊形的面積是24平方厘米呢”這個(gè)問(wèn)題。此問(wèn)題一出，學(xué)生的研究視角聚焦到平行四邊形面積計(jì)算的細(xì)節(jié)中。而后，學(xué)生通過(guò)割補(bǔ)、數(shù)格子等方法，不但證明了這個(gè)平行四邊形的面積是24平方厘米，也印證了方法②的錯(cuò)誤，并得到初步猜想“平行四邊形的面積可以用底×高來(lái)算”。

數(shù)學(xué)教學(xué)中，立于高位去設(shè)計(jì)教學(xué)路徑，用大問(wèn)題統(tǒng)領(lǐng)教學(xué)，是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維萌芽、主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)的關(guān)鍵步驟。

（二）大問(wèn)題推進(jìn)，促數(shù)學(xué)思維生長(zhǎng)

教學(xué)時(shí)，引領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)平行四邊形面積計(jì)算問(wèn)題本質(zhì)后，學(xué)生的思路瞬間被打開(kāi)，觀點(diǎn)呼之欲出。學(xué)生得到初步猜想“平行四邊形的面積可以用底×高來(lái)算”后，周衛(wèi)東老師適時(shí)拋出問(wèn)題“所有平行四邊形的面積都可以用底×高來(lái)計(jì)算嗎”。這個(gè)問(wèn)題是引導(dǎo)學(xué)生由個(gè)體向類(lèi)別推理的核心問(wèn)題，課堂上，周衛(wèi)東老師給學(xué)生提供了三個(gè)大小、形狀各不同的平行四邊形，讓學(xué)生通過(guò)割補(bǔ)等方法去印證自己的猜想。

在上述三個(gè)平行四邊形面積推導(dǎo)的過(guò)程中，學(xué)生進(jìn)一步明確了之前的猜想，并且形成了基本的結(jié)論。一個(gè)又一個(gè)大問(wèn)題推進(jìn)的過(guò)程，就是學(xué)生數(shù)學(xué)思維不斷調(diào)整、整合、進(jìn)階的過(guò)程。

（三）大問(wèn)題歸納，促數(shù)學(xué)思維扎根

大問(wèn)題屬于上位問(wèn)題，是統(tǒng)整整個(gè)知識(shí)點(diǎn)乃至知識(shí)體系的問(wèn)題，基于高觀點(diǎn)下的數(shù)學(xué)課堂，在大問(wèn)題引領(lǐng)、推進(jìn)之后，要有大問(wèn)題歸納總結(jié)。在本節(jié)課中，雖然學(xué)生通過(guò)不完全歸納，經(jīng)歷了“一個(gè)”到“一類(lèi)”的認(rèn)知過(guò)程，但是，周衛(wèi)東老師并未就此引出平行四邊形面積計(jì)算公式，而是給學(xué)生布置了關(guān)鍵性任務(wù)——（1）觀察：轉(zhuǎn)化前后，兩個(gè)圖形有什么聯(lián)系？（2）推理：平行四邊形的面積為什么可以用底×高來(lái)計(jì)算？

教師在引領(lǐng)學(xué)生完成這個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù)的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)推理歸納，進(jìn)一步厘清平行四邊形面積計(jì)算的本質(zhì)問(wèn)題，即沿著平行四邊形的任意一條高剪開(kāi)，拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，發(fā)現(xiàn)拼成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于平行四邊形的底、長(zhǎng)方形的寬等于平行四邊形的高，且面積不變。所以，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，推導(dǎo)出平行四邊形的面積=底×高。

通過(guò)大問(wèn)題的歸納總結(jié)，可以幫助學(xué)生厘清知識(shí)本質(zhì)，養(yǎng)成從高位視角看待所學(xué)知識(shí)的素養(yǎng)，從而將學(xué)生的思維引向深入。

二、結(jié)構(gòu)化關(guān)聯(lián)，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)

周衛(wèi)東老師認(rèn)為：“高觀點(diǎn)視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)還應(yīng)該能看到知識(shí)內(nèi)在的結(jié)構(gòu)。學(xué)科之所以為學(xué)科，不是簡(jiǎn)單概念與知識(shí)要點(diǎn)的堆砌，其中非常重要的原因就在于學(xué)科知識(shí)之間存在著不可割裂的內(nèi)在聯(lián)系。”數(shù)學(xué)常常被稱(chēng)為“結(jié)構(gòu)的科學(xué)”，是一種整體的、系統(tǒng)與意義的結(jié)構(gòu)。知識(shí)學(xué)習(xí)走向結(jié)構(gòu)化，才能更深刻地促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)知與理解。關(guān)聯(lián)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是對(duì)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中某種關(guān)系和節(jié)點(diǎn)的重新建構(gòu)，是一個(gè)知識(shí)的連接過(guò)程。基于高觀點(diǎn)視角的數(shù)學(xué)教學(xué)，更應(yīng)注重知識(shí)間的關(guān)聯(lián)，將學(xué)生的思維引向整體化、結(jié)構(gòu)化的高度，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)。

（一）關(guān)聯(lián)在思維行進(jìn)中

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生的思維行進(jìn)呈現(xiàn)一個(gè)螺旋上升、逐步遞進(jìn)的過(guò)程。因此，在教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)在學(xué)生的思維行進(jìn)過(guò)程中，做好生生互動(dòng)的關(guān)聯(lián)、師生互動(dòng)的關(guān)聯(lián)、學(xué)生與學(xué)材互動(dòng)的關(guān)聯(lián)、學(xué)生與空間環(huán)境等互動(dòng)的關(guān)聯(lián)。教師適時(shí)地引領(lǐng)和點(diǎn)撥，可以幫助學(xué)生掃清思維行進(jìn)中的障礙，逐步建構(gòu)知識(shí)。周衛(wèi)東老師在執(zhí)教“平行四邊形的面積”一課時(shí)，注重在學(xué)生思維行進(jìn)中做好結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)。

從圖2中可以看出，周衛(wèi)東老師順應(yīng)了學(xué)生思維發(fā)展的脈絡(luò)，遵循了學(xué)生“學(xué)”的邏輯，使各個(gè)學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)環(huán)環(huán)相扣、相互關(guān)聯(lián)，串起了整個(gè)知識(shí)學(xué)習(xí)的體系，使之結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化。

（二）關(guān)聯(lián)在思維困頓處

學(xué)生在思維進(jìn)階的節(jié)點(diǎn)上可能會(huì)出現(xiàn)困頓。教師在教學(xué)中，設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)任務(wù)時(shí)要預(yù)設(shè)到學(xué)生思維可能出現(xiàn)的困頓之處，通過(guò)引導(dǎo)，幫助學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的理解，主動(dòng)建構(gòu)完整的知識(shí)體系。

周衛(wèi)東老師在執(zhí)教“平行四邊形的面積”一課時(shí)，出示了這樣一道題：

師：如圖3，這個(gè)平行四邊形的面積怎么算？

生：用4×6來(lái)計(jì)算，答案是24平方厘米。

師：想一想為什么用“4×6”，而不用“8×6”呢？

生：因?yàn)槠叫兴倪呅蔚拿娣e公式是底×高，所以要用“4×6”。

師：8厘米也是底啊，為什么不能用“8×6”來(lái)計(jì)算呢？

生：因?yàn)?厘米不是8厘米上的高，計(jì)算時(shí)要找到對(duì)應(yīng)的高。

師：原來(lái)，計(jì)算平行四邊形面積時(shí)，要找到對(duì)應(yīng)的底和高來(lái)計(jì)算。

計(jì)算平行四邊形面積時(shí)，學(xué)生往往只記住“底×高”，而忽視了“對(duì)應(yīng)”這個(gè)關(guān)鍵要素，導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤，形成認(rèn)知錯(cuò)位。周衛(wèi)東老師在學(xué)生學(xué)習(xí)的困頓之處，通過(guò)實(shí)際問(wèn)題，巧妙地將“對(duì)應(yīng)”的底和高相乘的核心知識(shí)傳遞給學(xué)生，通過(guò)這樣的學(xué)習(xí)，真正將知識(shí)關(guān)聯(lián)互通，形成正確的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

（三）關(guān)聯(lián)在思維進(jìn)階時(shí)

“高觀點(diǎn)”視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅是引導(dǎo)學(xué)生將知識(shí)羅列堆砌，而且要將學(xué)生的思維引向更高的層次，建構(gòu)新的知識(shí)體系。因此，學(xué)習(xí)任務(wù)的編排設(shè)計(jì)需要關(guān)聯(lián)學(xué)生思維進(jìn)階的節(jié)點(diǎn)，為學(xué)生思維的順利進(jìn)階提供必要的支持與幫助。周衛(wèi)東老師在執(zhí)教“平行四邊形的面積”一課時(shí)，立于“高觀點(diǎn)”之下，不僅關(guān)注學(xué)生當(dāng)下知識(shí)的學(xué)習(xí)，還關(guān)注現(xiàn)在與未來(lái)知識(shí)之間的聯(lián)系。

在回溯課前出示的方法②時(shí)，周衛(wèi)東老師通過(guò)動(dòng)畫(huà)演示的方法（如圖4），讓學(xué)生明白為什么不能用鄰邊相乘的方法來(lái)計(jì)算平行四邊形的面積。

從動(dòng)態(tài)演示的過(guò)程可以看出，把平行四邊形拉直后，形成的長(zhǎng)方形的面積比原來(lái)的圖形面積多了一塊。學(xué)生在動(dòng)畫(huà)演示的過(guò)程中，進(jìn)一步明確了，當(dāng)平行四邊形的底和周長(zhǎng)不變時(shí)，隨著高的增大，面積越來(lái)越大，一直到轉(zhuǎn)化為一個(gè)長(zhǎng)方形時(shí)，面積最大。這樣的思維進(jìn)階過(guò)程，通過(guò)動(dòng)態(tài)演示，自然而然地印刻在學(xué)生的腦海中，學(xué)生形成了對(duì)平行四邊形面積計(jì)算的完整清晰的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

課行至此，思維進(jìn)階并未停止，在高觀點(diǎn)視角下，周衛(wèi)東老師進(jìn)一步引領(lǐng)學(xué)生思考，如果將平行四邊形的鄰邊的角度標(biāo)出，隨著角的傾斜變化，高也在不斷變化，從而將初中時(shí)將要學(xué)習(xí)的平行四邊形的計(jì)算公式向?qū)W生滲透，即平行四邊形的面積等于兩組鄰邊的積乘以?shī)A角的正弦值。

學(xué)習(xí)至此，用周衛(wèi)東老師的話來(lái)說(shuō)：“此時(shí)，在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，若隱若現(xiàn)留下的，是知識(shí)的全貌，是結(jié)構(gòu)的雛形，更是朝向未來(lái)知識(shí)世界的美好?！笔裁词呛玫臄?shù)學(xué)課堂？好的數(shù)學(xué)課堂就是將學(xué)生的思維引向深遠(yuǎn)，讓學(xué)生帶著疑問(wèn)走進(jìn)課堂、帶著收獲和新的疑問(wèn)走出課堂，形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)螺旋上升的學(xué)習(xí)場(chǎng)。高觀點(diǎn)視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)，通過(guò)關(guān)聯(lián)性的學(xué)習(xí)任務(wù)，將學(xué)生的思維引向更扎實(shí)、更高階的境界，從而讓學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)體系、完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力。

三、思想性包攝，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)

周衛(wèi)東老師在《試談高觀點(diǎn)視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》一文中指出：“高觀點(diǎn)視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該能看到知識(shí)深層的思想方法。學(xué)科思想是學(xué)科知識(shí)中的‘隱性內(nèi)容’，是學(xué)科專(zhuān)家提出的對(duì)學(xué)科發(fā)展和學(xué)科學(xué)習(xí)最具影響力的那些觀念和見(jiàn)解，是知識(shí)‘背后’的知識(shí)，是學(xué)科的精髓與靈魂?！敝苄l(wèi)東老師在執(zhí)教“平行四邊形的面積”一課時(shí)，將數(shù)學(xué)思想的滲透學(xué)習(xí)貫穿全課。

（一）由“個(gè)”到“類(lèi)”，滲透歸納思想

上課伊始，周衛(wèi)東老師說(shuō)過(guò)這樣一句話：“周老師更加關(guān)注你們說(shuō)明時(shí)使用的數(shù)學(xué)方法?！痹谝龑?dǎo)學(xué)生探究平行四邊形的面積公式時(shí)，他先引導(dǎo)學(xué)生用“割補(bǔ)法”“數(shù)格子法”等方法去印證“一個(gè)”平行四邊形的面積可以用“底×高”來(lái)計(jì)算，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步印證“任意”平行四邊形的面積都可以用“底×高”來(lái)計(jì)算。在由“個(gè)”到“類(lèi)”的印證過(guò)程中，向?qū)W生滲透了不完全歸納的思想。

（二）由“新”到“舊”，滲透轉(zhuǎn)化思想

周衛(wèi)東老師在帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)了之前學(xué)習(xí)過(guò)的平面圖形的面積計(jì)算方法，尤其是長(zhǎng)方形的面積計(jì)算方法后，展示學(xué)生課前小研究中呈現(xiàn)的三種典型算法。學(xué)生在討論為什么方法③是對(duì)的時(shí)，想到了通過(guò)割補(bǔ)法，將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形。將“新知”轉(zhuǎn)化為“舊知”，從而順利推導(dǎo)出平行四邊形面積的計(jì)算公式。且在轉(zhuǎn)化過(guò)程中，立意于高觀點(diǎn)，周衛(wèi)東老師并未將學(xué)生的起點(diǎn)定位于實(shí)際操作，而是引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)用“手”比畫(huà)、用“腦”想象，既滲透了轉(zhuǎn)化的思想，又提升了學(xué)生的空間想象能力。

（三）由“同”到“異”，滲透對(duì)應(yīng)思想

在學(xué)生探索出平行四邊形的面積可以用“底×高”來(lái)計(jì)算后，周衛(wèi)東老師通過(guò)一道題，引發(fā)學(xué)生思考：為什么都是平行四邊形的底？為什么不能和給定的高相乘？從而引導(dǎo)學(xué)生思考“同”是底，卻“異”在高的不同上，因此，得出結(jié)論：計(jì)算平行四邊形面積時(shí)，必須用對(duì)應(yīng)的底乘對(duì)應(yīng)的高。在這樣辨析的過(guò)程中，滲透了對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思想。周衛(wèi)東老師在《高觀點(diǎn)、低結(jié)構(gòu)、中溫度——一種新的教學(xué)視角》一文中指出：“從數(shù)學(xué)教學(xué)角度看，一堂課新往往就新在思維過(guò)程上，高往往就高在思想性上，好往往就好在學(xué)生參與活動(dòng)的深度和廣度上。有思想深度的課，給學(xué)生留下長(zhǎng)久的心靈激蕩和對(duì)知識(shí)的深度理解，以后即使具體的知識(shí)忘了，但數(shù)學(xué)地思考問(wèn)題的思想方法卻將長(zhǎng)久存在?！?/p>

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，基于高觀點(diǎn)的視角，可以將學(xué)生的思維引向更扎實(shí)、更高階的境界，從而讓學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)體系、完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力。

注：本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃青年專(zhuān)項(xiàng)課題“指向主動(dòng)建構(gòu)的小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷程案開(kāi)發(fā)的研究”（課題批準(zhǔn)號(hào)：C-c/2020/02/31）研究成果。