淺談反證法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

余彩蝶 趙武超

摘要：數(shù)學(xué)中有很多證明方法，高中學(xué)習(xí)中常用有分析法、綜合法，反證法等.而反證法就是其中的一種.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，反證法的應(yīng)用可以利用邏輯思維規(guī)律準確性和思辨性培養(yǎng)學(xué)生邏輯嚴謹性，可以培養(yǎng)學(xué)生窮則思變的創(chuàng)新意識.本文主要通過反證法的概念和邏輯思維方面闡述，論證了反證法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用和特點.

關(guān)鍵詞：反證法;數(shù)學(xué)教學(xué);證明方法

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，有許多推理模式與證明方法，如合情推理、演繹推理，證明按照論證的格式可化分為間接證明法和直接證明法，間接證明可分為反證法和同一法，反證法又可化分為歸謬法和窮舉法。在數(shù)學(xué)的間接證明方法中，反證法是經(jīng)常應(yīng)用的一種方法，在證明中常常給人一種意想不到的結(jié)果，簡明扼要，柳暗花明.當對于一個數(shù)學(xué)題時，按照正常思路解決時，具體的步驟比較麻煩，這個時候往往就可以通過反面進行論證.

一、反證法的概念：

反證法作為一種論證方式，是數(shù)學(xué)上的一種常用方法。反證法是先對命題進行假設(shè)，在原來的命題題目的條件下，根據(jù)題目的要求，假設(shè)命題結(jié)論不成立。然后對于推理出的結(jié)果，進行分析是否存在矛盾。存在矛盾則能得出結(jié)論的假設(shè)不成立，最終可以證明原命題.

二、反證法的思維過程：

“否定→推理→否定”，是對反證法的簡單概括。對于結(jié)論先開始否定，接著經(jīng)過精確的推理得出邏輯矛盾，最終形成一個新的否定。像法國數(shù)學(xué)家阿達瑪（Hadamard）對反證法的實質(zhì)做過概括那樣：“若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會導(dǎo)致矛盾”.

否定結(jié)論→推導(dǎo)出矛盾→結(jié)論成立，是其中的三個主要步驟.

在審視好條件與結(jié)論后實施的三步走的策略：

第一步，反設(shè)：做出與求證結(jié)論相反的假設(shè);

第二步，歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾;

第三步，結(jié)論：說明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立.

只有用“反設(shè)”進行推理，從而證明問題時，才能稱為反證法。在反證法的證題過程中。只要駁倒一種情況就能證明命題的方法，屬于反證法的一種，叫作“歸謬法”.如果存在多種情況，需要一一駁倒，最終才能證明結(jié)論的方法，屬于反證法的另一種，稱為“窮舉法”.

反證法是一種常用的證明方法.在證明解決中很多數(shù)學(xué)題問題的過程中，它給我們的解題指明了一個方向，讓一些解題思路遇阻或遇到比較麻煩的問題時，另辟蹊徑，尋求一個簡單的解決方法.排中律和矛盾律屬于反證法的邏輯依據(jù).在數(shù)學(xué)教學(xué)中，反證法的使用，有助于培養(yǎng)學(xué)生思維嚴密性。并且能夠培養(yǎng)學(xué)生的反向思維，發(fā)散思維.

三、反證法的邏輯原理證明用符號如下

五、反證法在教學(xué)中的作用

（一）培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維的嚴密性

在學(xué)生平時解題過程中，往往對于題目的信息了解得不夠全面。經(jīng)常有以偏概全，顧此失彼，解題思路不清晰的問題時常出現(xiàn)?？赡芮懊鎰傆涀〉臄?shù)據(jù)下一秒就記錯了，就像做證明題，對于題目的條件關(guān)系弄不清楚，不能將條件有條理的記錄出來。對于題中的知識點不清楚，記得錯亂。這主要表現(xiàn)出學(xué)生思維不縝密，老師可以用反證法來培養(yǎng)提高學(xué)生思維縝密性。從反證中體會反證法的意義，從反證法中體會反證的作用，因此，教師在講解反證法時，全面地把問題解釋透徹完整，加深學(xué)生的對問題的理解，從而達到培養(yǎng)學(xué)生思維縝密性的作用。

1.深刻理解數(shù)學(xué)中基本概念。培養(yǎng)學(xué)生思維縝密性或嚴密性先從概念入手，任何一個系統(tǒng)都有他自己的原始概念與基本概念，然后以其進行對事物概念的延伸與發(fā)展。同樣數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與教學(xué)系統(tǒng)中的各種概念也是從基本概念開始，用定義形式揭露本質(zhì)其特征。反證法的使用前提就是要對數(shù)學(xué)概念的深刻理解，在對概念深刻理解之后，才能在證明問題的過程用反證法來解決問題。下面通過一個實例來說明。

3.加強數(shù)學(xué)交流。老師可以在教學(xué)過程中，針對講的數(shù)學(xué)知識點，給出一些問題，啟迪學(xué)生思考，使師生在平等的基礎(chǔ)上交流數(shù)學(xué)思想，學(xué)生與學(xué)生之間也進行相應(yīng)的交流。找出問題的切入點，提高學(xué)生的理解力與對數(shù)學(xué)的悟性。

（二）培養(yǎng)學(xué)生反向思維

反向思維是一種創(chuàng)造的手段和創(chuàng)新的方式，主要是讓思維在相反的方向發(fā)散，從問題的反方向進行推理證明。而反證法也正是具有從反面證明問題的含義，反證法的使用恰恰能培養(yǎng)學(xué)生的反向思維能力。有很多發(fā)明都是人們提出問題后，從反方面進行推導(dǎo)創(chuàng)造出來的。例如從歐幾里得幾何第五公式的證明，而得出非歐幾何的誕生就是反向思維的很好案例。

（三）培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維

發(fā)散思維，也可以說是進行廣泛想象，通俗來說，對于一件事情從多個方面去思考。反證法的使用便是一個發(fā)散思維的過程。學(xué)生不通過發(fā)散思維，便不能抓住問題的要點，又如何解決問題。發(fā)散思維在創(chuàng)造性思維中占據(jù)了核心位置，是通過問題的不同方面去思考，把明確的信息和掌握的知識進行不同組合，產(chǎn)生新靈感的過程。為了能夠發(fā)散性地思考，需要脫離固化的思維模式，也就是可以多多嘗試變例，進行對問題新的角度實踐的過程.

1.多與人交流，啟迪思維?？创粋€問題，不同的人注意的點不同，那么他們思考的方式就會產(chǎn)生不相似的效果，就會有不同觀點和解決問題的方法.反證法就需要多與人交流，當交流的人增多時，對待問題的觀點的種類也會增多，可能不是所有觀點是正向的，但總會存在值得聽取的觀點.在大家的交流切磋當中，他人思路就會啟迪自己的想法，提升個人思維能力.

2.多多提問。在存在問題時就要經(jīng)常的提問，可以向老師們提問，向同學(xué)們提問，并且可以在任何有問題的時候都去提問.反證法的使用，就是提出問題并解決問題的一個過程。發(fā)散思維是在解決問題的過程中，不斷提出問題解決問題，對于繁雜的問題，可以對它進行分解，單一的問題就更容易被解決了.

（四）培養(yǎng)學(xué)生正難則反思維

從正面思考問題，有時思維會受到阻力或陷入死胡同，人們就想到反過來思考如何呢？簡稱：正難則反.正難則反是數(shù)學(xué)解題一種策略.與反證法有同樣的解題思路，反證法最開始的使用就是因為在問題的正面思考很難解決時，才會有從問題反方面思考的舉動.

有很多題目從正確常規(guī)的思路就能夠解決，但也有很多題，常規(guī)的思路不能夠解題，這個時候我們可以考慮從反面來思考，可能這個問題就會變得簡單，從而得到解決.

六、結(jié)語

綜上所述，反證法是一種重要證明方法. 在數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常使用反證法，牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當?shù)奈淦髦弧薄Ｒ话銇碇v，反證法常用來證明的題型有：命題的結(jié)論以“否定形式”“至少”或“至多”“唯一”“無限”形式出現(xiàn)的命題;或者否定結(jié)論更明顯.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，反證法可以培養(yǎng)學(xué)生逆向思維，正難則反打破常規(guī)思維，使學(xué)生在思考問題時，有置之絕地而后生，柳暗花明又一村之感，從而培養(yǎng)思維縝密性和學(xué)生思維的發(fā)散性，體會它的功能和特點，從中悟出數(shù)學(xué)證明的基本方法，感受邏輯證明在數(shù)學(xué)與日常中的作用，養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣.