基于非線性規(guī)劃法瀝青混合料配合比設(shè)計(jì)方法研究

李威

（ 江蘇高速公路工程養(yǎng)護(hù)有限公司，江蘇 淮安 223001）

0 引言

國內(nèi)常用的礦料級(jí)配設(shè)計(jì)理論有： 最大密度曲線理論，該理論下瀝青混合料中粗顆粒少，細(xì)顆粒多，導(dǎo)致路面構(gòu)造深度小，抗滑性差，瀝青品質(zhì)和含量變化對(duì)路面質(zhì)量影響較大［1］，基于此理論衍生的級(jí)配設(shè)計(jì)方法有：泰波改進(jìn)的n 法、林繡賢的I 法等。 Weymouth 的粒子干涉理論是一種研究如何利用細(xì)顆粒填充粗顆粒之間間隙的理論， 如果粗細(xì)搭配比例不當(dāng)， 則細(xì)顆粒材料將會(huì)影響粗顆粒材料之間的力的傳遞， 基于此理論衍生的級(jí)配設(shè)計(jì)方法有：CAVF 法［2-3］、貝雷法等。

文章將礦料組成設(shè)計(jì)進(jìn)行數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化，再用最小二乘法的思想數(shù)學(xué)模型進(jìn)行化簡(jiǎn)， 轉(zhuǎn)化為可以用非線性規(guī)劃進(jìn)行求解的形式， 其中結(jié)合CAVF 礦料組成設(shè)計(jì)方法，將CAVF 的結(jié)果轉(zhuǎn)化為帶有約束的非線性規(guī)劃邊界條件， 然后用非線性規(guī)劃內(nèi)部罰函數(shù)法將問題轉(zhuǎn)化為可以進(jìn)行迭代的形式，最后用最速下降法進(jìn)行迭代運(yùn)算。 根據(jù)計(jì)算結(jié)果來拌制瀝青混合料性， 檢驗(yàn)瀝青混合料的性能，以檢驗(yàn)方法的可行性。

1 礦料組成設(shè)計(jì)的計(jì)算方法推導(dǎo)

1.1 礦料組成設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化

礦料分檔數(shù)量為n，各礦料的篩分結(jié)果以矩陣表示見式（1）：

其中aij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）是篩分結(jié)果中的第j 種礦料對(duì)應(yīng)第i 種篩孔的質(zhì)量通過百分率。

n 種礦料在瀝青混合料中的質(zhì)量比例組成系數(shù)，用列向量表示為：X=（x1x2… xn）T，其中Xj=（j=1，2，…，n），為第j 種礦料在混合料中所占的比例系數(shù)，滿足如下條件，見式（2）~（5）：

其中式（2）、（3）是瀝青混合料級(jí)配上下邊界，式（5）保證計(jì)算值為正，式（4）保證瀝青混合料中的質(zhì)量比例之和為1，當(dāng)Xj=0 表示該種級(jí)料摻配比例為0，不參與混合料的組成設(shè)計(jì)。

1.2 最小二乘法和非線性規(guī)劃應(yīng)用

一般要求級(jí)配曲線盡量接近設(shè)計(jì)級(jí)配曲線中值，計(jì)算見式（6）。

聯(lián)立式（4）、（6）求解線性方程組。 篩孔孔徑的個(gè)數(shù)一般大于礦料分檔的個(gè)數(shù)，即m≥n，若R（A）≠R（B），其中R（A）是矩陣A 的秩，其中R（AB）是增廣矩陣AB 的秩，則該方程組無解。 在這種無解的情況下，可以利用最小二乘法的思想，雖然不能完全滿足條件，但可以使混合料各孔通過率與規(guī)范要求的級(jí)配曲線中值的平方和達(dá)到最小，結(jié)果見式（7）。

以式（2）、（3）、（4）、（5）為邊界條件，以式（7）為目標(biāo)，轉(zhuǎn)化為帶有約束非線性規(guī)劃的問題。 帶有約束非線性規(guī)劃的問題可以用內(nèi)部罰函數(shù)法，將通過增廣目標(biāo)函數(shù)而化成無約束極小化問題。

設(shè)有不等式約束問題

式中：si（）為各類邊界約束，為邊界約束范圍內(nèi)的點(diǎn)；可將式（7）轉(zhuǎn)化為無約束非線性規(guī)劃，結(jié)果見式（9）。

1.3 最速下降法應(yīng)用

式（9）的計(jì)算方法為迭代法中的最速下降法，其算法過程如下：①給定初始點(diǎn)X0，令K=0；②計(jì)算XK點(diǎn)的梯度，若梯度小于等于事先給定的非常小的正數(shù)ε 則終止， 否則， 下一步； ③令-Zk=-f′（xk）， f′為一階導(dǎo)數(shù)；④求使Zk=-f′（xk+λzk）最小的λ，記為λk，即最佳步長(zhǎng)，令xk+1=xk+λkzk，轉(zhuǎn)②。

1.4 CAVF 法轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃的邊界條件

CAVF 法計(jì)算公式如式（10）所示。

式中：qc、qf、qp、qd分別為粗集料重量%、 細(xì)集料重量%、礦粉重量%、瀝青用量%；γs、γf、γp分別是粗集料毛體積密度、細(xì)集料表觀密度、礦粉表觀密度；VVs、VCADRC、α、Vbe分別是主骨架礦料空隙率、混合料設(shè)計(jì)空隙率、干涉系數(shù)和有效瀝青體積，其中α 取0.9，Vbe取10 %。

因此只要按式（10）計(jì)算，就可以得出粗細(xì)集料的比例，并以此為邊界條件，控制瀝青混合料空隙率。

2 軟件實(shí)例應(yīng)用計(jì)算

手工迭代運(yùn)算工作量大，運(yùn)用軟件可使混合料配合比設(shè)計(jì)事半功倍。 目前WPS 軟件普及程度非常高，不僅可進(jìn)行線性規(guī)劃計(jì)算，還可進(jìn)行表格繪圖，實(shí)時(shí)將結(jié)果反映到圖上，非常適合礦料組成設(shè)計(jì)。

礦料采用4 種不同的粒徑， 經(jīng)MPS 軟件數(shù)據(jù)處理計(jì)算結(jié)果如圖1 所示。

由圖1 可知， 其合成級(jí)配曲線接近中值，但2.36 mm 和4.75 mm 的通過率在級(jí)配中值以下，其相關(guān)性能需進(jìn)一步檢測(cè)。

圖1 礦料組成設(shè)計(jì)結(jié)果

3 路用性能分析

按圖1 所示礦料組成比例拌制AC-13 瀝青混合料，最佳油石比為4.9 %，并檢測(cè)相關(guān)性能。

水穩(wěn)定性計(jì)算結(jié)果見表1 和2。

表1 瀝青混合料浸水馬歇爾試驗(yàn)結(jié)果

表2 瀝青混合料凍融劈裂試驗(yàn)結(jié)果

低溫彎曲試驗(yàn)結(jié)果如表3 所示。

表3 瀝青混合料彎曲試驗(yàn)結(jié)果

高溫穩(wěn)定性試驗(yàn)結(jié)果見表4 和5。

表4 瀝青混合料馬歇爾試驗(yàn)結(jié)果

表5 瀝青混合料車轍試驗(yàn)結(jié)果

從表1~5 可以看出，瀝青混合料高溫性能、低溫性能、水穩(wěn)定性，均滿足規(guī)范要求。

礦料主骨架間隙率VCADRC與混合料骨架間隙率VCAmix如表6 所示：

表6 VCADRC 與VCAmix 結(jié)果

由表6 可知，0.9 倍的VCADRC與VCAmix較為接近，但是干涉系數(shù)具體取值還需進(jìn)一步研究。

4 結(jié)論

（1）通過將礦料組成設(shè)計(jì)問題用最小二乘的思想轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃的問題，用迭代法中最速下降法來進(jìn)行求解，從而找到一種快速設(shè)計(jì)礦料組成設(shè)計(jì)的計(jì)算方法， 并且與CFVA 法進(jìn)行了結(jié)合，將CFVA法的計(jì)算結(jié)果轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃的邊界條件。

（2）對(duì)模擬計(jì)算出的礦料拌制混合料，檢驗(yàn)其性能均符合規(guī)范要求，驗(yàn)證了WPS 礦料組成設(shè)計(jì)的可行性， 但對(duì)于其他礦料組成理論如何將其計(jì)算結(jié)果轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃的邊界條件需要進(jìn)一步研究。