關(guān)注幾何平移，實(shí)例解讀探究

王松濤

【摘要】平移問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)重點(diǎn)問(wèn)題，常見(jiàn)線段、圖形和曲線平移，前兩個(gè)主要為幾何特性分析，后者則注重?cái)?shù)形結(jié)合推導(dǎo).問(wèn)題解析時(shí)需從平移中提取幾何特性，結(jié)合平移規(guī)律建立模型、分析推導(dǎo).

【關(guān)鍵詞】幾何平移;拋物線;數(shù)形結(jié)合

1 三角形平移的特性分析

例1 如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12.在Rt△DEF中，∠F=90°，DF=3，EF=4.用一條始終繃直的彈性染色線連接CF，Rt△DEF從起始位置（點(diǎn)D與點(diǎn)B重合）平移至終止位置（點(diǎn)E與點(diǎn)A重合），且斜邊DE始終在線段AB上，則Rt△ABC的外部被染色的區(qū)域面積是?? .

分析 設(shè)點(diǎn)D和F平移到終點(diǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D′和F′，連接FF′，連接CF和CF′，以AB的交點(diǎn)分別設(shè)為M和N，再過(guò)點(diǎn)C作FF′的垂線，設(shè)垂足為I，與AB的交點(diǎn)設(shè)為H，如圖2，則梯形FMNF′的面積就為所求區(qū)域的面積.

解析 可知四邊形BFF′D′為平行四邊形，則FF′=BD′=AB-AD′=10.在△ABC中使用面積公式求CH的值，即12CH·AB=12AC·BC，可求得CH=365.FF′∥NM，在△AD′F′中使用面積公式求HI的值，即12HI·AD′=12DF′·AF′，可求得HI=125，則CI=CH+HI=485.由于FF′∥NM，則CHCI=MNFF′，可解得MN=152.

則梯形FMNF′的面積為S=12MN+FF′HI=12×152+10×125=21.

2 矩形平移的綜合探索

例2 如圖3①中矩形ABCD與以EF為直徑的半圓O在直線l的上方，線段AB與點(diǎn)E、F都在直線l上，且AB=7，EF=10，BC>5.點(diǎn)B以1個(gè)單位/秒的速度從點(diǎn)E處出發(fā)，沿射線EF方向運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD隨之運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

（1）如圖3②，當(dāng)t=2.5時(shí)，求半圓O在矩形ABCD內(nèi)的弧的長(zhǎng)度;

（2）在點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)AD、BC都與半圓O相交，設(shè)這兩個(gè)交點(diǎn)為G、H連接OG，OH.若∠GOH為直角，求此時(shí)t的值.

分析 （1）t=2.5時(shí)，BE=2.5，設(shè)BC與⊙O交于點(diǎn)M，如圖4所示，則半圓O在矩形ABCD內(nèi)的弧的長(zhǎng)度為ME.

解 可知OE=12EF=5，則OB=2.5，即BE=OB.分析可證△MBE≌△MBO（SAS），則ME=EO=MO，即△MOE是等邊三角形，∠EOM=60°，所以ME=60π×5180=5π3.

（2）求平移中∠GOH為直角時(shí)t的值，連接GO和HO，如圖5所示，此時(shí)∠GOH=90°.分析可推得∠AGO=∠BOH.

在△AGO和△OBH中，有∠AGO=∠BOH∠GAO=∠HBO=90°OG=OH，

則△AGO≌△BOH（AAS），所以AG=OB=BE-EO=t-5.

已知AB=7，AE=BE-AB=t-7，AO=EO-AE=5-（t-7）=12-t，在Rt△AGO中，AG2+AO2=OG2，則（t-5）2+（12-t）2=52，可解得t1=8，t2=9，即t的值為8或9秒.

3 拋物線平移的模型構(gòu)建

例3? 已知二次函數(shù)y=x2+（m-2）x+m-4，其中m>2.

（1）當(dāng)該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O（0，0），求此時(shí)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)A的坐標(biāo);

（2）求證：二次函數(shù)y=x2+（m-2）x+m-4的頂點(diǎn)在第三象限;

（3）如圖6，在（1）的條件下，若平移該二次函數(shù)的圖象，使其頂點(diǎn)在直線y=-x-2上運(yùn)動(dòng)，平移后所得函數(shù)的圖象與y軸的負(fù)半軸的交點(diǎn)為B，求△AOB面積的最大值.

分析 （1）簡(jiǎn)答，函數(shù)圖象頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，-1）.

（2）簡(jiǎn)答，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

2-m2，-m2+8m-204，

解 可知-m2+8m-204=-14（m-4）2-1≤-1<0，所以二次函數(shù)的頂點(diǎn)在第三象限.

（3）設(shè)平移后圖象對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式為y=x2+bx+c，則其頂點(diǎn)坐標(biāo)為-b2，4c-b24，可推得點(diǎn)B（0，c），其拋物線頂點(diǎn)在y=-x-2上運(yùn)動(dòng)，則滿足其方程，代入后可解得c=b2+2b-84.由于點(diǎn)B在y軸的負(fù)半軸上，則c<0，所以O(shè)B=-c=-b2+2b-84.

過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線，設(shè)垂足為H，如圖7所示，由點(diǎn)A（-1，-1）可推知AH=1.在△AOB中，可知S△AOB=12OB·AH=12×-b2+2b-84×1=-18（b+1）2+98，分析可知，當(dāng)b=-1時(shí)，此時(shí)c<0，△AOB的面積取得最大值，且最大值為98.

4 結(jié)語(yǔ)

總之，平移是幾何三大運(yùn)動(dòng)方式之一，我們要把握平移特性，總結(jié)平移規(guī)律，結(jié)合相關(guān)知識(shí)推導(dǎo)是平移問(wèn)題常見(jiàn)的破解策略.而與函數(shù)相關(guān)的曲線平移，要充分?jǐn)?shù)形結(jié)合，總結(jié)規(guī)律，幾何分析特性，代數(shù)精準(zhǔn)推導(dǎo).