巧構(gòu)中位線解題

趙軍 鄭麗娜

【摘要】三角形是平面幾何的基本圖形，也是日常生活中的常見(jiàn)圖形，三角形中位線定理在平面幾何中有著舉足輕重的地位，是中考試題的“嘉賓”，中位線定理及其應(yīng)用值得同學(xué)們學(xué)習(xí)和研究.

【關(guān)鍵詞】平面幾何;三角形中位線;構(gòu)造中位線

三角形中位線定理是平面幾何的一個(gè)重要結(jié)論，它在解題中應(yīng)用廣泛，當(dāng)題目的條件中有中點(diǎn)或能產(chǎn)生中點(diǎn)時(shí)，可考慮構(gòu)造三角形的中位線，進(jìn)而運(yùn)用三角形的中位線定理解題，下面介紹五種常見(jiàn)的構(gòu)造中位線的方法，供大家參考.

1直接連兩邊中點(diǎn)

例1如圖1所示，△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC的中點(diǎn)，求證：AF與DE互相平分.

分析圖中共有三個(gè)中點(diǎn)，因此可連接DF，EF，則DF，EF都是△ABC的中位線.

證明連接DF，EF，則DF∥AC，EF∥AB，所以四邊形ADEF是平行四邊形，所以AF與DE互相平分.

2構(gòu)造三角形中線

分析條件中雖然給出了兩個(gè)中點(diǎn)E、B，但它們不在同一個(gè)三角形中，因而不能發(fā)揮中位線的作用，故可取AC的中點(diǎn)F，連接BF，則BF是△ADC的中位線.

由題意可知AF=AE，∠A=∠A，AB=AC，

所以△AFB≌△AEC，

所以BF=CE，

所以CE=CD.

3利用中位線作底邊

例3如圖3是蹺蹺板示意圖，橫板AB繞中點(diǎn)O上下轉(zhuǎn)動(dòng)，立柱OC與地面垂直，設(shè)B點(diǎn)的最大高度為h₁.若將橫板AB換成橫板A′B′，且A′B′=2AB，O仍為A′B′的中點(diǎn)，設(shè)B′點(diǎn)的最大高度為h₂，則下列結(jié)論正確的是（）

（A）h₂=2h₁.（B）h₂=1.5h₁.

（C）h₂=h₁.（D）h₂=h₁.

分析首先根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，抓住OC是△ABD，△A′B′D′的中位線，利用中位線定理可得出結(jié)論.

解因?yàn)镺C∥BD∥B′D′，且O為中點(diǎn)，

所以C是AD，A′D′的中點(diǎn)，

所以O(shè)C是△ABD，△A′B′D′的中位線，

所以h₁=h₂=2OC，

故選（C）.

4條件中無(wú)中點(diǎn)時(shí)，完善圖形找中位線

例4如圖4所示，在△ABC中，BE，CF都是角平分線，AG⊥FC，AH⊥BE，G，H為垂足，求證GH∥BC.

分析條件中沒(méi)有中點(diǎn)，延長(zhǎng)AG，AH分別交BC于點(diǎn)M，N，易得G，H分別是AM，AN的中點(diǎn)，則GH是△AMN的中位線.

證明延長(zhǎng)AG，AH分別交BC于點(diǎn)M，N，

因?yàn)椤螦CG=∠MCG，

CG=CG，

∠AGC=∠MGC=90，

所以△AGC≌△MGC，

所以AG=GM.

同理AH=MN.

所以GH是△AMN的中位線，

所以GH∥BC.

5作四邊形對(duì)角線

例5如圖5所示，四邊形ABCD是平行四邊形，AF交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且AE=EF，連接CF，求證BE∥CF.

分析連接平行四邊形的對(duì)角線AC，交BD于點(diǎn)H，則H為AC的中點(diǎn)，由此得HE是△ACF 的中位線.

證明連接AC，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以對(duì)角線AC與BD互相平分，

所以AH=HC，

因?yàn)锳E=EF，

所以HE是△ACF的中位線，

所以BE∥EF.